Si l'on élimine R entre les équations de deux tangentes
U'L— 2|ULR-hM=:0, Ifl'L — 2p'R-hM'==0,
on trouve /ui/^/Lr^zM pour l'équation de la droite qui joint LM à l'intersection de ces tangentes. Si donc on se donne le pro~ duit de deux p., ^ii.':=a, l'intersection des tangentes correspondantes à /:jt et fx' sera sur la droite {\\q ah r= M, et la corde qui les joint passera par le point ^\\q {ah -f- M, R), ainsi qu'il est facile de le voir en remplaçant ay/ par a dans l'équation de la corde.
De plus, puisque l'équation de la droite joignant un point ^i au point LM est /:jl'L= M, les points -f- /Lt et — // sont sur une même droite qui passe par LM.
Enfîn lorsque LM = R% LM= R'^représenienl deux coniques ayant L et M pour tangentes communes, la ligne qui joint le point -h fjL d'une de ces coniques à l'un des points ±:|ul de l'autre passe par Tinlersection LM des tangentes communes, puisque l'équation fjL»L=:M est indépendante de R el de R'. On dit alors que le point -h /x de l'une des coniques correspond directement au point -+■ fx, et inversement au point — /:jl de l'autre; et que la corde joignant deux points de l'une des coniques correspond à la corde menée par les points correspondants de l'autre.
Nous aurons occasion d'appliquer ces remarques dans les Exercices suivants.
I. Les cordes correspondantes de deux coniques se coupent sur une des cordes d'intersection dos deux, coniques.
Les coniques LM — R', LM — R'' ont R' — R'^ pour cordes communes. Mais les cordes correspondantes, ayant pour équations
ptu'L — ( u -h p') R -h M == o, 'j.ii'L - [a H- fx') R' -h M = o,
se rencontrent évidemment sur R — R'; elles se coupent sur R -h R', lorsque fx et /a' sont de signes différents dans la deuxième équation.
II. Trouver le lieu du sommet d'un triangle circonscrit à une conique, et dont les deux autres sommets glissent sur des droites fixes.
Prenons pour lignes de référence les deux tangentes menées à la conique par l'intersection des droites fixes et leur corde de contact :' les équations de ces droites seront alors
</L — M ~ o, fjL — M — o,
et celle de la conique
LM - R' = o.
Mais nous avons prouvé (â72) que lorsque deux tan<;entes se coupent sur «L — M, le produit des fx des points de contact est égal à rt; donc si
un des côtés du triangle est tangent en p, les autres le sont aux points -9 -f et ont par suite pour équations
— -L— 2-Rh-M=o, — , L— a-R-hM = o.
346 CHAPITBB XIY.
En éliminant y. entre ces deux équations, on trouve, pour le lieu cherché,
(a -h by
c'est une conique , ayant avec la conique donnée un double contact suivant la corde R (*).
JII. Un triangle est inscrit dans une conique, deux de ses côtés passent par deux points fixes : trouver l'enveloppe du troisième côté.
Prenons pour R la droite menée par les points fixes, et soit LM — R' l'équation de la conique, les droites qui joignent les points fixes à LM seront représentées par
«L -h M = G, ôL -h M — o.
On sait (272) que le produit des /x des extrémités d'une corde passant par (riL -f- M, R) est égal à rt. Si donc le sommet opposé au troisième
côté est pris pour p, les extrémités de ce côlé seront - et - 1 il aura pour
P JX
équation
«^ L — ( « -1- 6 ) |xR -f- a- M — o ,
et sera, par suite, constamment tangent (270) à la conique
4 ni)
qui a un double contact avec la conique donnée, suivant la droite qui joint les points fixes.
r\'. Inscrire, dans une section conique , un trianglv. dont les côlés passent par trois points donnés.
En prenant, comme dans l'Exercice précédent , pour R la droite qui passe par deux des points fixes, on aura, pour l'équation d'un des côlés du triangle, p indiquant le sommet opposé, '
abL — (a -+- b ) ix'R -h p'-'M = o.
Si l'on exprime que ce côté passe par le troisième point fixe cL — R — o,
(") Le même ruisonnenient s'applique également au cas où le point LM étant à l'intérieur de Ii conique, les tanj^entes L et M sont ima^jinuires. On ])eut aussi démontrer, par les procédés q,ui seront indiqués au paragraphe suivant, que lorsque l'équation de la conique est de la forme L*-hM*= R', le lieu est représenté par L'h-M'=i A*R*.
//R — M = G, on obtient l'équation
ab — (« -f- b) lie ■+- it^cd — o,
qui suffît pour déterminer u.
Et comme on a fxL = R, u*L = M, les coordonnées de f* satisfont à la
relation
abL ~ (rt -h A)cR -h r^M — o.
La question admet donc deux solutions, qu*on obtient en prenant sucsessivement pour sommets du triangle les deux points où cette dernière droite rencontre la conique. Nous indiquerons plus loin (^7, Ex. VII) la construction géométrique de cette droite.
V. La base d*un triangle touche une conique donnée ; ses extrémités glissent sur deux tangentes fixes, et les deux autres côtés passent par deux points fixes : trouver le lieu du sommet.
Soient L et M les deux tangentes fixes, LM — R* l'équation de la conique. Le point d'intersection de la droite L avec une tangente (ix*L — ttfxR + M) aura ses coordonnées L, R, M respectivement proportionnelles à o, I, 2p; et réquation de la droite qui la joint à un point fixe (L', R', M') sera [{M'y)
LM'-L'M --^'Jtf/(LR'-L'R).
De même, l'équation de la droite i\\\\ joint le point fixe (L", R", M") à rintersection (a, p, o) de M avec la même tangente sera
-(RM"- R"M) - alLM"- L"M).
En éliminant (x, on trouve, pour le lieu du sommet, l'équation
(LM'- L'M) (LM"- L"M) - 4(1 R'- l 'R) (RM"- R'M),
qui représente une conique passant par les deux points donnés.
273. La corde qui joini les points a tango, UC019 (9 étant un angle constant) est constamment tangente à une conique ayant un double contact avec la conique donnée; car (270) l'équation de cette corde
fx'L — |:jiR(lang© -4- cot9) -h M^ o,
en vertu de la relation tang9 -h 0019 ^^ ^ coséc2 9, représente la tangente en |ul à la conique LM sin'ao rz= \\\
On prouverait de même que le lieu de l'intersection des tangentes en /!xtang9, yi cot9 est la conique LM = H*sin*2 9.
348 GBAPITRB XIY.
EXERCICE
Dans l'Exercice V du n** 272» on remplace les deux tangentes fiies par une conique ayant un double contact avec la conique donnée et passant par les deux points fixes : trouver le lieu du sommet.
Soient
LM - R' = q, LM sin'2 y — R' = o,
les équations des deux coniques : la droite qui touche la dernière âu point fx, rencontre la première aux points jxtang^, ^cot^; d'ailleurs u et /x" étant les points fixes, les équations des deux côtés sont
P/x'L tang^ — ( fx' -h p langf}') R -h M — o, y-li^Lcolff — {|x"-i- fA colcp) R H- M = o,
et en éliminant p, on trouve, pour Téquation du lieu,
(M — p'R)(.u"L — R) = tang»î»(M~ a''R)(fx'L-R).
274-. Le rapport an harmonique du faisceau obtenu enjoignant un point quelconque y. d*une conique à quatre points fixes [k\ |ul", p/", a" de cette conique est constant (259).
Les droites qui joignent les quatre points fixes il\ //",... dp la conique à un cinquième point [t. ont pour équations
|ui'(|:/.L-R)-h(M-/xR)^o, a'"(//L-R)4-(M-aR) = o. ^"(fxL — R)-+-(M— |7.R)--^o, a^'(aL-R)-i-(M-fiR)^o;
le rapport anharnionique du faisceau qu'elles forment ayant pour valeur (58)
est indépendant de la position du point /z.
Nous appellerons, pour abréger, rapport anharmonique de quatre points d'une conique le rapport anharmonique du faisceau obtenu enjoignant ces quatre points à un point quelconque de la courbe.
275. Le rapport anharmonique des points suivant lesqueh une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant.
DKS SKCTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABBÊGËBS. 349
Supposons que les tangentes fixes soient celles des points y/^ fi", a", /x'^, et que la tangente mobile soit celle du point |ui. Le rapport anharmonique en question est le même que celui du faisceau formé en joignant les quatre points d'iniersection au point LM. Mais les droites de ce faisceau ont pour équations (272)
UL'u.L—M = Oy a^'f/.L— M = o, |ul'"j:xL--M — o, u'\aL— M = o,
et forment ainsi un système homographique {^d) avec celui du numéro précédent. Elles ont par conséquent même rapport anharmonique. Ainsi donc, le rapport anharmonique de quatre tangentes est le même que celui de leurs points de contact.
276. L'expression du rapport anharmonique de quatre points d'une conique /j.', /:jl^ jul'", fx'^ (274.) ne change pas lorsque tous ces points changent de signe; donc (272) le rapport anharmonique de quatre des points {[m', ^" y it!", ^^'') déterminés sur une conique par quatre droites issues du point LM est égal au rapport anharmonique des quatre autres points (— ti'j — p", — a'", — lÂ^") déterminés par ces droites sur la conique.
Pour la même raison, le rapport anharmonique de quatre points d'une conique est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants d'une autre conique. De plus, la valeur du rapport anharmonique (274) ne changeant pas quand on y remplace ^i par fy.tang9, ou p. cotangcp : Lorsque deux coniques S et S' ont un double contact, le rapport an^ harmonique de quatre des points déterminés sur S par quatre tangentes à S' est égal au rapport anharmonique des quatre autres points déterminés par ces tangentes, ainsi qu'à celui des quatre points de contact sur S'. Ce dernier théorème est dû à M. Townsend.
277. Réciproquement, lorsque Ton donne trois cordes aa\ hh\ ce' d'une conique, l'enveloppe d'une quatrième corde dd\ telle que le rapport anharmonique de abcd soit égal à celui . de dV dd'j est une conique ayant double contact avec la co-
34s CHAPITRE XIV.
EXERCICE
Dans l'Exercice V du n** 272, on remplace les deux tangentes fîxes^ par une conique ayant un double contact avec la conique donnée et passant par les deux points fixes : trouver le lien du sommet.
Soient
LM - R' = q, LM sin^a-y - R' = o,
les équations des deux coniques : la droite qui touche la dernière au point jtx, rencontre la première aux points fAtangy, fxcot^; d'ailleurs u' et u" étant les points fixes, les équations des deux côtés sont
f/fi'L tang^ — ( u' -+■■ Il tangy) R -f- M — o, ,u/x"Lcot<p — (/z" -h fx col^) R -h M = o,
et en éliminant p, on trouve, pour Tcqualion du lieu,
(M — p'R) ( u''L — R) = tang'-^ (M - a^R) (/x'L — R).
274- . Le rapport anharmo nique du faisceau obtenu en joignant un point quelconque a d'une conique à quatre points fixes ix\ /x", p.*', u** de cette conique est constant (259).
Les droites qui joignent les quatre points fixes /x', p.",... do la conique à un cinquième point a ont pour équations
Itx'faL — R)-h(M-/zR)r=ro, a'" (uL — R)-I-(M - /xR) r--:i o, /:jl"(/xL — R)-+-(M— |7.R)-=io, a'^(aL--R)-4-(M-fxR)z^-o;
le rapport anharmonique du faisceau qu'elles forment ayant pour valeur (58)
est indépendant de la position du point |ut.
Nous appellerons, pour abréger, rapport anharmonique de quatre points d'une conique le rapport anharmonique du faisceau obtenu en joignant ces quatre points à un point quelconque de la courbe.
275. Le rapport anharmonique des points suivant lesquels une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant.
DUS SKCTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABBÉGÉES. 349
Supposons que les tangentes fixes soient celles des points ^.\ /jl", /ji*, p"', et que la tangente mobile soit celle du point [i. Le rapport anharmonique en question est le même que celui du faisceau formé en joignant les quatre points d'iniersection au point LM. Mais les droites de ce faisceau ont pour équations (272)
u'uL— M = o, //""/zL— M = o, /7/"aL— M[r=o, |ui"aL— M=:o,
et forment ainsi un système homographiqne 1^9) avec celui du numéro précédent. Elles ont par conséquent même rapport anharmonique. Ainsi donc, le rapport anharmonique de quatre tangentes est le même que celui de leurs points de contact.
276. L'expression du rapport anharmonique de quatre points d'une conique fz', fx", /x'", jul'^ (274) ne change pas lorsque tous ces points changent de signe; donc (272) le rapport anharmonique de quatre des points {[j.', ix", [x", /z*') déterminés sur une conique par quatre droites issues du point LM est égal au rapport anharmonique des quatre autres points (—/:*', ~~ /^"> — i^'» "~ Z^'") déterminés par ces droites sur la conique.
Pour la même raison, le rapport anharmonique de quatre points d'une conique est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants d*une autre conique. De plus, la valeur du rapport anharmonique (274) ne changeant pas quand on y remplace [i par fjLtang9, ou u. cotangcp : Lorsque deux coniques S et S' ont un double contact^ le rapport an^ harmonique de quatre des points déterminés sur S par quatre tangentes à S' est égal au rapport anharmonique des quatre autres points déterminés par ces tangentes, ainsi qu'à celui des quatre points de contact sur S'. Ce dernier théorème est dû à M. Townsend.
277. Réciproquement, lorsque l'on donne trois cordes aa', 66', ce' d'une conique, l'enveloppe d'une quatrième corde rfrf', telle que le rapport anharmonique de abcd soit égal à celui de a'b' &d\ est une conique ayant double contact avec la co-
352 CHAPITRB XIV.
rapport aux coniques passant par qnalre points fixes (a', ±:p\ ±v)
RÉPONSE. h ^-^ -f- -^ — O.
II. Trouver le lieu du pôle d^une droite donnée Xx h- up -h vy — o par rapport aux coniques tangentee aux quatre droites fixes /x ± tnp db //y.
Réponse. -^ h ^ h — o.
Le lieu des centres des coniques est donné par les mêmes formules, puisque le centre est le pôle de la droite à l'infini
a sinA -h p sinR -h 7 sinC -- o.
III. Quelle est l'équation du cercle ayant le triangle de référence pour triangle autopolaire?
RÉPONSE. a*sin2.4 -I- ^'sin^B 4- Y^sinaC = O (lâ8, Ex.II).
Il est facile de voir que le centre de ce cercle se trouve au point de concours des hauteurs du triangle, puisque le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments que ce cercle détermine sur une quelconque des hauteurs, rectangle qui a le signe -+- lorsque le triangle a un angle obtus, et le signe — dans le cas contrdire. Dans ce dernier cas , le cercle est imaginaire.
279. La délerminalîon des propriétés des foyers est une des applications les plus remarquables de l'équation qui fait l'objet de ce paragraphe, car si a: rrr o» ^* = o représentent les côiés d'un angle droit dont le sommet est au foyer, et y la directrice, la conique a pour équation
qui n'est qu'un cas particulier de celle que nous étudions.
]| résulte de cette équation que les deux droites imaginaires ^2 ^^j __ Q gQjj^ ^jgg tangentes menées par le foyer, et puisque ces droites sont les mêmes quel que soit y, on voit que : Tontes les coniques qui ont un même foyer ont deux tangentes imaginaires communes passant par ce foyer. Donc : Toutes les coniques homofocales ont quatre tangentes imaginaires cornmunes et peuvent être considérées comme inscrites dans le
même quadriiaière. Les tangentes imaginaires (^' -i-^-'i^o) menées par le foyer se confondent avec les droites qui le joignent aux deux points, d'un cercle, imaginaires et situés à l'inOni (257). De là une conception générale d^s foyers : Si par chacun des deux points d'un cercle, imaginaires et situés à l'infini, on mène des tangentes à une conique, on forme an quadrilatère ayant deux sommets réels et deux sommets imaginaires: les premiers coïncident avec les foy^ers de la conique^ les seconds peuvent être considérés comme les foyers imaginaires de la courbe.
KXERCICE.
Délerminer les foyers de la conique représentée par l'équalion j;énérale.
Il sufBt, pour cette détermination, d'exprimer que la droite
est tangente à la courbe. En remplaçant, dans la formule du n° iol, /,
fA et V respectivement par i, y/-- *? ~(^' -^y \/— 0? ^t en égalant séparément à zéro les expressions réelle et imciginaire, on voit que les foyers sont déterminés par l'intersection des deux hyperboles
C(.r'— r') H- 2F V— aGx -H A — B -- o . C.r> — Fx — G 1 -h H -- <»,
qui sont équilatères et concentriques à la conique donnée. En mettant leurs équations sous la forme
(Cr - G j' - (Cr -- F)' -- G^- AC - F' -+- BC -: Ma - h),
(Cr - G ) (Cj - F) = FG - CH = a;^ ,
on trouve, pour les coordonnées .r,jr du foyer,
(Cx - G)' - -; A (R -h ./ - h), (Cr - F)' z ; A( R -+- /; - a),
en conservantàRel A les significations indiquées aux n** 4M eH37,Ex. III. Lorsque la conique est une parabole, on a C — o, les équations ci-dessus se réduisent au premier degré, et il vient
(P-- G')r = FH "H ;(A - B)G, (F'-h G^).r ^ GH -h{{B - A) F.
280. Les tangentes menées par (y, x) k \a courbe sont évidemment ey -h xeiey ~- x; dans le cas de la parabole, où e= I, elles forment les bissectrices intérieure et extérieure
de Tangle (^r.y). Donc: Les tangentes menées à la parabole par un point de la directrice se coupent à angle droit.
En fjfénéral, on peut prendre x —-- ^y costp, 'j-r^eysin®, ei Ton il
- z= lang©;
9 est donc Tangleque le rayon vecteur issu du foyer fait avec Taxe des x. Celle remarque permet de trouver l'enveloppe d'une corde vue du foyer sous un angle constant; en effet la corde passant par les deux points 9 et cp' a pour équation
X coslf9 -h 9') -hj'sin-H? -^ 9'} = ey cosî((9 — 9'),
et comme 9 — 9' est constant, elle est constamment tangente à la conique
qui a même foyer et même directrice que la conique donnée.
281. L'équation de la droite qui joint le foyer à l'intersection de deux tangentes s'obtient en retranchant Tune de l'autre les équations
arcos9 + vsin9 — ^y r^ o, :i:cos9'-h)'sin9'— ey --- o,
ce qui donne
:r sin ;(9 + 9') — jcos' (9 -f- 9') — o;
celle droite, faisant un angle 1,(9-1-9') avec l'axe des x, est par conséquent la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs allant du foyer aux points de contact 9 et 9'.
La droite qui joint au foyer le point oii la. corde de contact rencontre la directrice a pour équation
^cos-;-(9 -f- 9') -f-rsin|i9 + 9') — o; elle est perpendiculaire à la précédente.
Trouver le lieu de l'intersection des tangentes dont la corde de contact est vue du foyer sous un angle donné ad.
DKS SBCTIÛiNS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 355
Par une élimination analogue à celle du n" 102, Ex. Il, on trouve pour ce lieu î'équalion
(x^ -^X^) cos'o — e^y\ qui est celle d'une conique ayant même foyer, même direr-
irice que la conique donnée, et — ~ pounexcenlriciié. ^ * coso '
Lorsque la courbe est une parabole, Tangle formé par les tangentes se trouve donné; car la tangente xcos(p -f-rsin(p — y est la bissectrice de l'angle compris entre les droites orcoscp -f- jsincp et y. Par suite Tangle compris enlre les tangentes est la moitié de celui que forment les droites jr coscp -f-^sino etarcoso' -f-^^'sino', c'est-à-dire qu'il est égal à i(<p — tp'). Donc : L angle compris entre deux tangentes à une parabole est lu moitié de r angle sous lequel leur corde de contact est vue du foy^er; de plus : Le lieu de l'intersection des tangentes à la parabole faisant entre elles un angle donné est une hyperbole ay^ant même foy^er^ même directrice et dont l'excentricité est égale à la sécante de Vànple donné. L'angle des asymptotes de celte hyperbole est le double de l'angle donné (167).
282. Deux coniques ont toujours un triangle autopolaire commun.
En effet (146, Ex. 1), lorsque deux coniques se coupent aux points A, B, C, D, le triangle formé en joignant les points E, F, 0 de concours de chacun des couples de cordes d'intersection, est autopolaire par rapport à l'une et à l'autre des coniques. Si alors on désigne par a, (3, y les côlés de ce triangle, les équations des coniques pourront s'écrire
aoî' H- 6(3' 4- cy' — o, a' y} 4- //(3^ -i- c'y' — o.
Nous discuterons du reste plus tard les procédés analytiques à employer pour réduire à cette forme les équations des coniques.
Si les coniques se coupent en quatre points imaginaires, les droites a, (3, y sont encore réelles. On sait, en effet, que lorsqu'une équation à coefficients réels est satisfaite par les coor-
356 GHAPITBB XIY.
données x' -^ x" )l — i, y' -v-y'' v^— i , elle Test également
par x' — x" \j' ^ I , j' — j'V — I ' d'ailleurs la droite qui joint ces points est réelle. Les quatre points imaginaires communs
aux deux coniques sont donc [x' ±x" ^1 —1, y' ±y" v^— i ), [x"" àzx^'' \J — \y y"' ±y^'' \i —- \) : et il y a deux cordes communes réelles et quatre imaginaires. Ces dernières, ayant
des équations de la forme LdiMv/— i, L'±M'v —ï» se coupent en des points réels LM, L'M'. Les sommets du triangle autopolaire EFO sont donc tous réels.
Lorsque les coniques se coupent en deux points réels et deux points imaginaires, deux des cordes* communes sont réelles (ce sont celles qui joignent les deux points réels ou les deux points imaginaires) et quatre imaginaires. Chacune de ces dernières passant par un des points réels ne peut avoir un deuxième point réel. Par suite, un des trois points E, F,0 est réeli les deux autres sont imaginaires; le triangle autopolaire a donc alors un de ses côtés réel et deux imaginaires.
EXERCICES
L Un triangle est langent à une conique S; deux de ses sommets <'li8senl sur une conique S' : trouver le lieu décrit par le troisième
sommet.
Soient x'-hj'— 3^ = 0 l'équation de S, a.v^ -^ br^ ^ cz^= o celle de S'. Les coordonnées de l'inlersection des tangentes en a et 7 à S sont (i02, Ex. I) cos-;(x-+-7), sinKa-f-y), cos;(a — 7) : lés conditions du problème donnent la relation
flCOS'^la-hy) -h^sin'{(aH-7) = ccos^;f:« —71, OU
^a-+-Z> — r)-i-(fl — ^ — iOcosaCOS7-H(6 - c — a) sin-y. sin7 — o.
On aurait de même ^a ^ fj ^ c) -^ [a — b — c] cosôcosy -^ [b — c — rt)sinSsin7 =■ o:
d'où
(fl-Hé»— c)COSi(a-hP) = (^-+-C-flr)COS:H« — ?)C0S7,
(a H ^ — c)sini(7. -h ^) = (tf-hc — 6)cos-;(a — P)sin7;
et puisque le point dont on cherche le lieu a pour coordonnées
cos{(cc-hp), sin^(a-Hp), cos^{«-P), l'équation du lieu sera
Cette solution est due à M. Burnside.
1!. Un triangle est inscrit dans une conique jc^-hf- = z'; deux de ses côtés sont tangents à la conique aa:^ -h hr^ — cv : trouver l'enveloppe du troisième côté.
RÉPONSE
(ca -h ab — brV.r^-h [ab -t- bc ^ f^ft]' Y' — (bc -k- ca — abyz*,
§ IV. — Des courbes enveloppes.
283. Lorsque réquation d'une droite renferme une indéterminée [JL d'un degré quelconque, à une série de valeurs de fj. correspond une série de droites toutes tangentes à une certaine courbe, qu'on appelle courbe enveloppe (ou enveloppe) du système formé par ces droites. Ainsi la droite p'L — 2/jlR + m, où |:x est indéterminé, est constamment tangente à la courbe LM — R'(270). La démonstration directe de ce théorème suffira pour indiquer la méthode générale à suivre dans la détermination des courbes enveloppes.
Les deux droites correspondant aux deux valeurs u et /ix -f- A* de l'indéterminée ont pour équations
p.M.— 2/:zR-hM=o, (a.-f-/r)'L— 2(a + /i)R -f-M — o, et leur point d'intersection sera déterminé par les conditions
a^ L — 2 |UL R ^- M = o, 2 (|:z L — R ) -f- /r L = o,
qui ne sont autre chose que l'équation de la première droite, et le résultat qu'on obtient en divisant par /r la différence entre les équations des deux droites.
Ces deux droites sont d'autant plus voisines que k est plus petit. Lorsque k devient nul, elles sont consécutives dans
le système el se coupeni en un point déterminé par les équations
fZ'L — 2^U-|-M=:0, fJiL — R m o,
ou, ce qui revient au même, par les suivantes :
uL — 11 = 0, /xR — M = o.
Mais un point d'une courbe peut être considéré comme Tin-
lerseclion de deux tangentes consécutives à cette courbe (1^7) ;
l'intersection des deux droites consécutives appartient donc à
l'enveloppe, dont Téquation s'obtient, par suite, en élimi-
nant l'indéterminée y. entre les équations précédentes, ce qui
donne
LM =r R^
On démontrerait de même, dans le cas où L, M el R représentent des courbes au lieu de droites, que la courbe définie par |UL^L — 2/:jLR-f-M est constamment tangente à la courbe LM - R^
L'enveloppe delà droite Lcos© H- M sinç — R, où 9 est indéterminé, peut se trouver directement de' la même manière, ou bien se déduire du résultât précédent en posant
tang;a* — ^;
car alors on a
I — u' . ? fA
cosQp — ^ ^1 sino=: — - — -»
et l'équation proposée se ramène à la forme
p.'(L- R)-f-2pM + (L-R), où [M entre au second degré.
284. On pourrait encore arriver au même résultat de la manière suivante. La droite
/jl'L— 2y.R + M
est évidemment tangente à une courbe de la seconde classe (Note du n** 145), puisque, par un point donné, on ne peut
mener que deux droites du système, celles définies par les valeurs de fx tirées de Téquation
a^L'— 2/:jlR'h- M'^o,
dans laquelle L', R' et M' expriment ce que deviennent L, R et M iorsqu*on y remplace les coordonnées courantes par celles du point donné. IVailleurs les valeurs de //sont égales, el ce point est Tinlersection de deux tangentes consécutives lorsque ses coordonnées satisfont à la relation LM = R^ Plus généralement, lorsqu'une indéterminée |:x entre algébriquement au degré n dans Téqùation d'une droite, celte ligne est tangente à une courbe de la n'*'"* classe dont Téqualion s'obtient en exprimant que Téqualion en a a des racines égales.
EXERCICES
1. Les sommets d'un triangle glissent sur trois droites fixes a, [î, 7, tandis que deux de ses côtés passent par deux points fixes (a', p\ 7') et (a*, S", y") : trouver Tenvcloppe du troisième côté.
Soit «-hup=: 0 réqualion de la droite joignant 'fa, P) au sommet (jui glisse sur 7, celles des côtés passant par les points fixes seront alors
et on aura, pour le troisième côté,
puisqu'il passe par l'intersection du premier avec a et du second avec p. En ordonnant, suivant les [Hiissanccs de ft, on trouve, pour l'enveloppe,
(ap'7''-hp7'a''-7y/f"— 7a''fi')''---4a'f-(a7":^;7)(p7'-|V7).
On pourrait aussi résoudre ce problème, en ordonnant suivant les puissances de n l'équation trouvée au n° 50, Ex. lll.
II. Trouver l'enveloppe d'une droite telle, que le pr.oduit de ses distances à deux points fixes soit constant (~ ù^).
Prenons pour axes la droite qui joint les points; fixes el la jjè*|i^ndiculaire élevée en son milieu : les coordonnées de ces points 'seront / = o,- X = ifc c ; d'ailleurs r — /jfx -h n — o représentitnt la droite mobile^ on nura, pour exprimer les conditions du problème,
36o CHAPITRE XIV.
ou
//■- ~ ly^ -i- b'^ni' -t- f^/w' ;
mais donc
/z' -■= r"^ — 'imxy -^- nî^x^ :
m^[x^ ~ ù'* - c^) — 2W.rT H- >•' — b^ — o; par suite, Tenueloppe a pour équation
ou bien
III. Trouver l'enveloppe d'une droite telle, que la somme (/->') des carrés de ses distances à deux points fixes (o, ± c) soit constant»».
IX' ar*
HÉPONSE. 7=- - — L -H -n- — 1 .
IV. Trouver Fenveloppe d'une droite telle, que la différence des carrés de SCS distances à deux points fixes soit constante.
RÉPONSE. Une parabole. ^
V. Par un point fixe 0, on mène une droite OP qui rencontre en P une droite fixe AP : trouver renvclopi)e de la droite PQ faisant avec PO un angle OPQ constant ( == go* — p).
Soient OA =^ /^, et OQ les perpendiculaires abaissées du point 0 sur les droites AP et PQ, Ô et J5 les angles AOP et POQ f^jts par OP avec OA " et OQ, on aura
OP — p sécO, OQ — jj sécO cosp.
Si l'on prend OA pc^r axe des r, () pour origine, l'équation de PQ sera
X cos ( 0 -f- p) -f- ^}'sin( 0 -h fi ) - - p séc 0 cos6, ou
X cos ( 2Ô -h p ) -h }• sin ( '2 0 -H p ) = 'ipcosp —X cosS — >- sin p,
c'est-à-dire de la forme
.•* Lcosîp H- M sin()> = R.
L'enveloppe cherchée sera donc
.r*-h v' - (j'cosp -hrsmp — -jtp cosp )',
c'est-à-dire une parabole ayant 0 pour foyer.
DES SECTIONS CONlQUBfi. NOTATIONS ABRÉGÉES. 36l
VI. Trouver Tenveloppe de la licne - h — ,= i ^ les indéterminées
- f* P étant liées par la relation ^-h u' = C.
En remplaçant ix' par C — f*, et chassant les dénominateurs, on trouve,
pour Tenveloppe, Téquation
A' -h B' -h 0=^ - a AB — 2 AC - aBC = o,
qui peut se mettre sous la forme
Exemples. — i" On donne, dans un triangle, un angle et la so^ime f des côtés qui le comprennent : trouver renvelop[)e du troisième côté. Ce côté a pour équation
et comme « -h ^ = r, on a pour l'enveloppe
x' -H^r' — 'kxy — 1CX — 'icy -t- c* — o,
cVst-à-dire une parabole tangente aux côtés x et y.
a' On donne de position deux diamètres conjugués d'une ellipse, et
la somme r' de leurs carrés : trouver l'enveloppe de l'ellipse.
Si dnns Téquation
on introduit la condition «" -f- //• -- r^ on trouve pour l'enveloppe
X ± y àz c ~ o.
L'ellipse est donc tangente à quatre droites fixes.
285. Lorsque les coefficients de l'équation d'une droite 'ka -h p(3 -+-vy sont liés par une équation du second degré en )., fx et V,
cette droite a pour enveloppe une conique.*
En effet, si l'on élimine v entre Téquation de la droite et celle qui relie les coefficients, on trouve
(Ay^— aGya-h Ca»)X'-+- 2 (Hy»— Fya — Gy(3 4- Cap)>.a
+ ((3y»- 2Fy|3-hGp')|tx> = o,
ce qui donne pour I*enveIoppe
f Ay»— îGya -h Ca'JCBy^'- aFyP -f- C(3') = {Hy'--Fya — Gyj3-+-Ca(3)';
en développant et divisant par y% il vient
(BC — F')a'-|- (CA — G')î3'-h ( AB — H^)y'
2(GH - AF);3y -<- 2(HF-~ BG)ya -h 2(FG-CH)ap =^ o.
équation d'une conique.
On peut encore énoncer ce théorème de la manière suivante : •
Une équation tnngentielle du second degré en X, /Lt et v ve~ présente une conique dont V équation en coordonnées trilinéaires se déduit de l'équation tangentielle, en employant le même probédé que pour passer de l'équation en coordonnées trilinéaires à celle en coordonnées tangentielles.
On peut voir, en effet, comme au n" 151, que la condition pour que Xa -+- a|3 -4- vy soit tangente à
/la' -4- ftp'H- cy'-h 2/(3y H- 2^'ya -f- ihaÇ^.-. o
est exprimée par Kéquation
( bc —p)!^ -f- { crt — g^)ij} -+- ( «6 — A')v'
