P, AA'A'A'") = (P, VV'V'V
résulte de ce que le» faisceaux déterminent des segments de même longueur sur une droite fixe.
Ainsi le lieu du sommet d'un triangle est une conique lorsque, la base de ce triangle étant fixe, les autres côtés interceptent sur une droite fixe des segments de longueur constante.
VI. La démonstration de l'Exercice I peut encore s'étendre au cas où les extrémités de la droite au glissent sur une conique passant par les
4^2 CHAPITRE XTI.
points Â, B. Car en prenant quatre positions du triangle, on a (276)
(aa'a'a'') = [bbVb'"),
par suite
(PL,aa'if^) = (^,bbVb").
VU. La base d'un triangle passe par l'intersection C des tangentes communes à deux sections coniques; les extrémités de celte base ab glissent sur l'une et l'autre des coniques pendant que les côtés pivotent autour de deux points fixes  et B pris sur l'une et l'autre des coniques : le lieu du sommet est une conique passant par A et B.
La marche à suivre pour déterminer ce lieu est analogue à la précédente et s'appuie sur le théorème du n^ 276, dont voici du reste une démonstration géométrique assez simple. Soit (0, ABCD) le faisceau mené par les points correspondants du faisceau (o, abcd). Les droites OA, oa se coupent en r sur une des cordes d'intersection des coniques (272, Ex. I) ; de même BO et bn se coupent en r' sur la même corde, etc. : donc les rapports anharmoniques des deux faisceau}^ ont même mesure (rr'r'r"')-
Vin. On peut supposer, dans l'Exercice YI , que la base, au lieu de passer par un point fixe, enveloppe une conique ayant un double contact avec les coniques données (vo/r n** 276).
IX. Les n sommets (a, 6, c, ...) d'uu polygone glissent sur une conique, tandis que n — i de ses côtés pivotent autour de « — i points fixes, le côté libre enveloppe une conique, ayant un double contact avec la conique donnée.
Prenons quatre positions du polygone abc..., a'b'c',..j a" b' c" . . , , d^b'^c*" , . . : on aura la série d'égalités
{aa'a'a'") = (bb'b"b'") = (rc'cV"),
ce qui ramène le problème à celui indiqué au n" 277 : Étant donné trois
couples de points aa'a"^ dd'd"^ trouver l'enveloppe de «'"«r, de telle
sorte que
(aa'a''a"') = [dd'd'd'"). .
X. Inscrire, dans une conique, un polygone dont les côlés passent par des points fixes.
Prenons un point quelconque a de la conique pour sommet du polygone, et construisons, en partant de ce point, le polygone dont les côtés passent par les points donnés : le point z, où le dernier côté rencontrera la conique, ne coïncidera pas en général avec le point a. Inscrivons ainsi
•quatre polygones qui , partant des points a, a\ «", a", se termineront en 5, «', z\ 2'", nous aurons, comme précédemment,
et si le dernier polygone essayé satisfait à la question, ei" coïncidera
Fifr. io3.
avec z". Dès lors le problème se ramène à celui-ci : Étant donné trois couples de points, aa'a\ zz'sl', trouver un point K tel que
Si nous considérons ^, z", a',z, a" ,z' comme les sommets d'un hexagone inscrit (dans l'ordre où nous venons de les indiquer en prenant alternativement un a et un z, de manière que /i, a\ a" soient les sommets opposés à z, z\ z"), Tun des points où la droite i)assant par les intersections des côtés opposés rencontre la conique sera le point K. En effet, si, dans la ^g. io3, on représente par A, C, E et D, F, B les points cr, a\ o" et z^z\z'^ et si l'on prend les côtés dans l'ordre ABCDEF, les intersections des côtés opposés sont L, M, N, et le rapport (KPNL) mesure à la fois (D, KACE) et (A, KDFB); on a donc
(KACE) = (KDFB),
ce qui justifie la construction (*).
{*) Cette construction du polygone inscrit à une conique cnt due à Poncelet {^Traité des Propriéiés projectives, p. 35 1). \a démonstration que j'en ai donnée m'a été communiquée par M. Townsend. Elle peut sen'ir, en outre, à montrer que la construction de Poncelct s'applique à la solution du problème suivant : Inscrire dans une conique un polygone dont chaque côté soit tangent à une conique aj-ant un double contact avec la conique donnée, l'outes ces coniques, touchées par les côtés du polygone, peuvent être différentes.
II est Lcile de \oir, dapri-s i'Exorcice IX, que K est l'un des points âe contact d'une conique avant un double contact avec la jToposée et tangen'e aux droites az, a' z\ a'z'. La solution précédente peut donc s appliquer au problème suivant : Décrire une conique ayant un doubit» contact a\ec une conique donnée et lan^'cnte à trois droites données.
XI. La propriété an!:armoni(|uc nous [«ermet de donner une démonstration simple du théorème de Pas.al , sur lequel nous nous sommes appuyé dans TExercice précé«ienl.
On a
(E,CDFB ^-- A,CDFB).
D'ailleurs, en comparant les st\i;ments déterminés respectivement >ur Bil et DC par le premier et le second faisceau, on voit que
(CRMB; = ;CDNSj.
Si Ton joint le point L à chacun des points de BC et de DC, on forme deux faisceaux qui ont trois rayons communs CL, DE, AB, les quatrièmes rayons NL, LM ne forment donc qu'une seule ligne droite. On démontrerait de même le théorème de Brianchon, en s'appuvant sur la propriété iinharmonique des tangentes.
XII. Une conique passe par quatre points A, D, F, B : trouver l'enveloppe de la corde CE déterminée par les intersections de la conique avec deux droites fixes DC, DE passant par un des points donnés (/îg. io3).
Les sommets du triangle CEM glissent sur les droites fixes DC, DE, NL, et deux de ses côtés passent par des points fixes B, F. Donc le troisième côté CE enveloppe une conique tangente aux droites fixes DC, DE. (Cette génération de la conique est réciproque de celle indiquée par Mac Laurin.)
XIL Une conique passse par quatre points A, B, D, E : la droite CF qui joint les points où les deux droites fixes AF, CD ( menées chacune par un des quatre points donnés} rencontrent la courbe passe par un point fixe.
Deux des côtés du triangle CFM [Jrg. io3) passent par les points fixes B et E, les sommets glissent sur les droites fixes AF, CD, NL, qui concourent en un même point : donc CF passe par un point fixe (301).
Le lecteur trouvera dans le Chapitre relatif à la méthode des projections les théorèmes bien connus (353, Ex. III et IV), qui ont conduit aux précédents.
XIV. Dans une conique, le rapport anharmonique de quatre diamètres est égal à celui de leurs quatre conjugués.
Ce théorème est un cas particulier de celui du n"" 297, Ex. II : le rapport anbarmonique do quatre points en ligne droite est le même que celui de leurs polaires. Mais on peut le démontrer directement, en observant que le rapport anbarmonique de quatre cordes issues d'un même point de la courbe est égal à celui de leurs cordes supplémentaires (179).
XV. Trouver le lieu des centres dos coniques circonscrites à un quadr angle donné (15i, Ex. III];
Menons dans une conique les diamètres ayant pour cordes les côtés du quadrangle: le rapport anbarmonique de ces diamètres est connu, puisqu'il est égal à celui de leurs conjugués, c'est-à-dire à celui du faisceau dont les rayons sont parallèles aux côtés du quadrangle. Donc le lieu est une conique passant par le milieu des côtés du quadrangle. Dans le cas où la conique se réduit à deux droites, les intersections des diagonales, celles des côtés opposés sont des points du lieu : donc ces points se trouvent sur une conique passant par le milieu des côtés et des diagonales.
329. Nous laisserons au lecteur le soin de former les théo* rèmes réciproques de ceux que nous venons d'énoncer et de les démontrer directement au moy^ de la propriété anbarmonique des tangentes à une conique. Ils sont presque tous renferuiés dans le théorème suivant:
Les droites qui joignent les points correspondants ou Aomoiogues de deux divisions ho mo graphiques a, b, c, rf, ..., «', 6', c', rf',. . . de bases (*) différentes enveloppent une conique. En effet, d'après la propriété anbarmonique des tangentes, la conique tangente aux deux bases et aux trois droites aa',bb', ce' est également tangente à la droite dd'{**).
{*) On appelle base la ligne droite éur laquelle sont situés les points for> mant une division.
(**) Ijù lieu des intersections des droites Fcf, V'd' qui joignent les points de CCS deux divisions à deux points fixes P et P\ est une conique passant par ces points fixes. On sait (277) que si a, b, c, ^,..., a', b\ c\ d' sont deux systèmes homographiques de points pris sur une conique donnée, c'est-à-dire tels, qu'on ait toujours {abcd)=z {a'b'c'd'), l'enveloppe de dd' est une conique ayant un double contact avec la conique donnée. De même : le lieu des intersections des droites ?</, ¥'d' menées à ces deux systèmes homographiques de peints pris sur une conique, par deux points fixes P et P' de la conique^ est une conique passant par P et P'. De plus : lorsque deux coniques S et S' ont
4^6 CHAPITRE XYI.
Ce théorème est le réciproque de celui qui a été donné au n* 297, et peut se démontrer en considérant les équations indiquées alors comme des équations tangentielles. Ainsi P, P'; Q, Q' représentant en coordonnées tangentielles deux couples de points correspondants, P -+- XP', Q -h XP', en représenteront un autre, et la droite qui les joint sera tangente à la courbe donnée par Téquation tangentielle du second ordre PQ' = P'Q-
EXERCICE
Par un point fixe P, on mène une transversale PA' qui rencontre ©n A, A' les deux droites fixes OA, OA'; on prend sur ces droites, à partir de A et de A', des segments Aa, A'a' de longueur donnée : trouver l'enveloppe de a a'.
En donnant à la transversale quatre positions successives A, B, C, D, on a évidemment
(ABCD) = (A'B'C'D'), et comme
(ABCD) = (abcd), (A'B'C'D') = (a'b'c'd'),
la droite enveloppe une conique tangente à OA et OA'.
330. Lorsque, par la méthode précédente, on trouve que Tenveloppe d'une droite mobile est une section conique, il est, en général, utile de rechercher si, dans une de ses positions particulières , la droite mobile ne se trouve pas tout entière à TinOni, car alors elle enveloppe une parabole (254). Ainsi, dans l'Exercice précédent, la droite aa' ne peut être à Tinfini, que si la transversale AA' peut elle-même être à Finfini, c'est-à-dire lorsque le point P est à l'infini. Pour que l'enveloppe à laquelle on arrive dans l'Exercice précédent soit une parabole, il faut donc que les transversales au lieu de passer par un point fîxc soient menées parallèlement à une
un double contact avec une troisième S", les tangentes à S' déterminent des systèmes homographiques abed.,. dans S, et cfh'c'd'.,, dans S', tels que ( o^ci:/) = (a'^V</') (276). Maison ne peut pas dire que, réciproquement, les droites qui joignent les points homolo^^ues de deux systèmes homographiques appartenant à deux coniques différentes enveloppent nécessairement une conique.
PROPRIÉTÉS HAR1I0?(IQUBS ET ANHAHHONIQUES. 4^7
droite donnée. On peul du reste souvent déterminer la nature du Heu décrit par un point mobile, en étudiant quelques positions particulières de ce point (328, Ex. XV).
331. Étant donné un système de points situés sur une droite, on peut toujours former sur une autre droite un système homo graphique tel, qu'à trois points a, 6, c du premier correspondent dans le second trois points «', 6', c\ pris arbitrairement.
Prenons sur chaque droite une origine et désignons par a, b, c, X les distances à l'origine des trois points donnés el d'un point variable de la première droite; par a!, b', c\ x' les distances analogues des points de la deuxième droiie. La condition pour que les points dés deux systèmes se correspondent sera donnée par la relation (277)
qui, développée, conduit à une expression de la forme
A^or'-hB^-h.Cj;' -f-D = o (*).
On peut donc toujours trouver sur la seconde droite un
points' correspondant à un point x de la première, de telle
sorte que l'on ait
abc X ^z a' b' c' x' ,
{*) M. Chasles démontre ce théorème de la manière suivante. Les points X, x' appartenant aux systèmes homojrraphiques, et les points a, b^ a' y b' étant fixes, les rapports des distances ax\bx^ a'x'\b'x' seront liés par une équation linéaire telle que
tix a* x'
Si Ton représente, comme ci -dessus, les distances des points h l'origine fixe par a, ^, x; a\ b\ x\ cette relation devient
et donne, par le développement entre x et x', une expiession de la forme
A.xx^-h'Rx-hCx'-^ D =30.
43o CHAPITRE XTI. •
La solution suivante est basée sur la propriété évidente des rayons d*un faisceau harmonique, de déterminer sur une des lignes de référence une division harmonique. Supposons les coniques définies par Téquation générale en coordonnées trilinéaires, et mêlions sous la deuxième forme indiquée au n** 294 l'équation du couple de tangentes menées à chacune des coniques par le point (a', P', /). Si Ton fait y = o dans réquation du premier couple, on aura, pour déterminer les poinls où les tangentes de ce couple rencontrent la droite y, la relation
(C(3'»-+-B/='-2F;3Y)a'-2(Ca'(3'-Fay-Gp'/-l-H/')a(3
-t-(Ca'H-Ay"— 2Ga'y')P' — o.
On trouverait une relation analogue pour déterminer les poinls où les Tangentes, menées par (a', (3', y') à la deuxième conique rencontrent la même droiie y. Si Ton exprime (332) que les deux couples de points ainsi obtenus forment uno division harmonique, on obtient, pour la condition à laquelle doit satisfaire le point (a', P', y'), la relation
(CP'-HBy' — 2F(3y)(C'a'-hA'y'--2G'ay)
+ (Ca^^.Ay^-2Gay)(C'|3'-+-BV-2F'j3y) =z=2(Cai3~Fay-GPy-hHy»)(C'aP-Fay--G'(3y-hH'y»).
Développanl et divisant par y-, on trouve, pour Téqualion du lieu,
(BC -f- B'C - 2FF')a» 4- (CA' -t- C'A - 2GG')?'
(AB+A'B-2HH')y^-h2(GH-hG'H-AF'-A'F)Py 2(HF -hH'F~BG'~B'G)ya
