Trouver la condition pour que la droite

soit divisée harmoniquement par les deux coniques précédentes.

En éliminant y entre les équations de la droite et de Tune des coniques pour déterminer leurs points d'intersection, il vient

si Ton écrit la condition (332) pour que ces poinis soient conjugués harmoniques des points correspondants de Tautre conique, on trouve

(ic'-f- 6'c— nff )X»H- (ca' -h c'a— ^gg')ii.*

-4-(a6'-4-tf'6— 2AA')v»

-h 2{gh'^g^h-^af-a'f)iJ.v ^2{hf-hh'f- bg'^ b'g)vl

-^^{fg''^fg-ch^--c'/i)'kii. = o.

Il faut donc que la droite enveloppe une conique (*].

336. Involution. — heux systèmes de points a, 6, c,..; a', b', c,... situés sur la même droite sont homographlques (331)

(*) Lorsqu'en remplaçant, dans Téquation de deux coniques U et V, a par Àx-hfioi', etc., on obtient, les résultats

;»u -h a;;*? H- fi^v, ;• v ■+- 1 vq -+- /*' v,

il est facile de voir, comme ci-dessus, que UV'+U' V — aPQ représente les deux droites qu'on peut mener par (a', jS', y'), de manière à ce qu'elles soient divisées harmoniquement par les coniques. On^eut voir, en outre (29G), que le système des quatre droites joignant («'y/S'»*/') aux intersections des coniques a pour équation

(UV'h-L'V— iPQ/=4(UL'— P«)(VV'— Q»),

UU' — P% VV— Q* étant les couples de tangentes menées aux coniques par

432 CBAPITRB Xri.

lorsque les distances j?, :r' à une origine quelconque de deux

points correspondants ou conjugués satisfont à une relation

de la forme

Axx' + Bjc 4- Cx' -h D = o.

Cette équation n'étant pas symétrique en x et a:', un point de la ligne n'aura pas, en général, le même point correspondant suivant qu'on le considérera comme faisant partie de l'un ou de l'autre des systèmes. Ainsi au point situé à une distance x correspondent respectivement les points situés aux distances

— r^3 — -r rrj sclou qu on Ic considcrc comme ap-

AX -\- {j Ax-hii

partenant au premier ou second système.

Deux systèmes homographiques situés sur la même droite forment un système en involuiion lorsqu'on peut trouver sur la droite un point qui, considéré successivement comme appartenant à l'un et à l'autre système, corresponde toujours au même point. L'équàlîon précédente devant alors être symétrique en X et x\ on aura B =: C, et on pourra la mettre sous la forme

Axx' -hUix-h x) -f- B = o.

Lorsque les distances à l'origine des deirx points correspondants sont données par

ax^ -f- 'ihx -+- fc = o,

on a

A6 H- Ba— 2H/1 = o.

337. Un système en involution se compose donc d'un certain nombre de points a, a'; 6, 6',..., en ligne. droite, tels que le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre eux est égal à celui des quatre points correspondants. En exprimant l'égalité de ces rapports, on peut arrivera diverses relations entre les distances mutuelles de ces points. Ainsi, de

{abca') = {a'b'c'a) on tire

ah,ca' a! h', c'a aa'fbc a'a.b'c' '

PROPRIÉTÉS HARKONIQUES ET ANHARMONIQUES. 4^^

par suite,

ab.ca! .b'c' z=. — a'b' ,c'a,bc.

Le développement des diverses relations auxquelles on peut ainsi arriver ne présente aucune difficulté.