FP = PN, FP'=FN', P'R = P'S

5l8 CHAPITRE XIX.

Les angles N'P'P, FP'P sont égaux. La tangente est donc la bissectrice de l'angle FPN.

393. L Trouver l'aire du segment parabolique FVP compris entre la courbe, son axe VF, et un rayon vecteur FP issu du foyer F.

Puisque PS = PR [fig. ii4) et PN = FP, le triangle FPR est la moitié du parallélogramme PSNN'; si Ton prend entre V

Fig. ii/|.

et P un certain nombre de points P', P",..., on formera un certain nombre de triangles et de parallélogrammes dont les aires seront dans le rapport de i à 2; à la limite, la somme des parallélogrammes devient Taire NPDV, et la somme des triangles Taire FPV, qui est ainsi la moitié de la précédente, et, par suite, le tiers de Taire du quadrilatère NPFD.

IL Trouver l'aire du segment PM V rfe parabole limité par une ordonnée PM et son diamètre conjugué V'M.

Par le point T, où la tangente en P {fig. ii5) rencontre le diamètre V'M, par Textrémilé V de ce diamètre, et par le point P' infiniment voisin de P, menons des parallèles TR', V'N' et F M' à l'ordonnée PM ; les parallèles PR, P'R' menées par P et P' au diamètre couperont les précédentes en R, N, R', N'. Les parallélogrammes PR' et PM' sont équivalents (la diagonale TP' divisant en deux parties égales les parallélogrammes RM, R'M'); d'ailleurs, V étant le milieu de TM, le parallélogramme PN' est la moitié de PR'; si donc on prend

MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS. 5ig

entre P el V un certain nombre de points P', P", P*',..., on formera une série de parallélogrammes PM'..., PN'..., et

Fig.iiS.

RZN F.

la somme des premiers sera double de la somme des seconds; Taire V'PM est, par suite, double de Taire VPN; autrement dit. Taire du segment parabolique PMV est les deux tiers de celle du parallélogramme PMV'N.

39i. I. Vaire de l'ellipse est égale à Vaire du cercle qui a pour rayon une moyenne proportionnelle entre les demi-axes de V ellipse.

Si Ton divise Tellipse ABA' (Jig. ii6) et le cercle ADA' décrit sur le grand axe A A' de Tellipse comme diamètre, par

Fig. ii6.

une série de parallèles dbm, d'V m\„. au petit axe BC, on a

la relation

mb:md:\m'V \m' d' \\ b:a,

et les aires des quadrilatères mbb'm', mdd'm',,.. sont entre

elles dans le rapport 6: a; il en est de même de leurs sommes respectives, c'est-à-dire des polygones Bbb'... A,Drfrf'. .. A inscrits dans l'ellipse et le cercle, quel que soit du reste le nombre des côtés de ces polygones. Donc l'aire de Vellipse est à celle du cercle dans le rapport de b à a;ei comme Taire du cercle esi égale à ma^ celle de Tellipse a pour valeur wab.

Corollaire. — On peut prouver, de la même manière, que, si deux figures sont telles, que les ordonnées de Tune soient dans un rapport constant avec les ordonnées de l'autre, les aires de ces figures sont entre elles dans le même rapport.

II. Un diamètre quelconque d'une conique divise l'aire de la courbe en deux parties équivalentes.

Le diamètre, divisant ses ordonnées en deux parties égales, divise, par cela même, en deux parties équivalentes Taire du trapèze formé en joignant les extrémités de deux ordonnées consécutives; le nombre de ces trapèzes augmentant au delà de toute limite, la somme de leurs aires devient égale à Taire de la courbe, qui est ainsi divisée en deux parties équivalentes par le diamètre.

395. I. Dans V hyperbole, Vaire du secteur PCQ, déterminé par les droites qui joignent deux points P et Q de la courbe au centre C, est équivalente à celle du segment PQKL obtenu en menant par ces points des parallèles PK, QL â une asymptote.

D'après la génération de la courbe, les triangles PKC, QLC

{Jig. 117) sont équivalents; donc les aires PQC et PQKL sont équivalentes.

MÉTHODE DBS INFINIMENT PETITS. 521

II. Deux segments PQLK et RSNM sont équivalents lorsquon a la proportion PK : QL : : RM : SN.

En effet, Téquation de In courbe donne la relaiion

PK:QL::CL:CK,

et si l'on mène les droites QR et PS, on a (197)