J II

l'angle à la base ABO est égal à un angle droit diminué de la moitié de l'angle au sommet BOA; à mesure que les points A et B se rapprochent, cet angle au sommet tend à devenir plus petit que touie grandeur donnée ; donc, à la limite, l'angle OBA que la tangente fait avec le rayon est égal à un angle droit. Nous aurons souvent occasion d'employer le principe qui vient d'être démontré, et qu'on peut énoncer de la manière suivante : Deux droites égales, infiniment voisines, et issues du même point, sont perpendiculaires à la droite qui joint leurs extrémités,

II. Les circonférences de deux cercles sont entre elles dans le même rapport que leurs rayons.

Par le centre des deux cercles {fig. m) supposés concentriques (ce qui est toujours possible), menons des rayons OA,

5l6 CHAPITRE XIX.

OB,..., Oa, Ofr,..., el les cordes qui, dans chaque cercle, joignent leurs extrémités; nous formerons ainsi deux polygones inscrits ABCD..., abcd.,, d'un même nombre de côtés, semblables, et dont les périmètres sont, par suite, dans le même rapport que les rayons des cercles; cette propriété, étant indépendante du nombre des côtés, subsiste encore à la limite lorsque les polygones se confondent avec les circonférences circonscrites : donc les circonférences de deux cercles sont entre elles dans le même rapport que leurs rayons.

III. L'aire d'un cercle est égale au produit du rayon par la moitié de la circonférence.

L'aire d'un triangle OAB {Jtg. m), formé par une corde et deux rayons, est égale au produit de la moitié de la corde, par la distance de celte corde au centre; par suite, l'aire d'un polygone régulier inscrit est égale à la moitié de son périmètre multipliée par la distance d'un quelconque de ses côtés au centre; à mesure que le nombre des côtés du polygone augmente, son périmètre tend à devenir égal à la circonférence, et la distance d'un de ses côtés au centre tend à devenir égale au rayon ; les différences respectives entre le périmètre et la circonférence, la distance et le rayon, pouvant devenir plus petites que toute quantité donnée, il en résulte que l'aire du cercle est égale au produit du rayon par la moitié de la circonférence.

392. I. Mener la tangente TV en un point P de l'ellipse. Considérons sur la courbe deux points P, P' infiniment voi-

sins (Jig. 112); en les joignant aux foyers F et F' de l'ellipse,

il vient

FP-t-PF = FP'-hP'F'.

MÉTHODE DES INFINIMENT PETITS. Si']

Prenons sur FP', FR = FP, el sur F'P, F'R' = F'P'; on aura ainsi P'R = PR'. Les deux triangles PRP' el PR'P' sont rectangles en R et R' (391, I); d'ailleurs ils ont une base commune PP', et les côtés P'R, PR' sont égaux : donc les angles PP'R et P' PR' sont égaux. Mais à la limite TPF=PP'F, la différence PFP' entre ces deux angles pouvant devenir plus petite que toute quantité donnée; par suite, TPF = P'PF'; la tangente, fait donc des angles égaux avec les rayons vecteurs menés du foyer au point de coptact.