BL CL
CM
Si
Ajf' + Br'-HC
A:r*'-hB.r*-i-C
AN
AN BN
Ax' kx'
Br'
Aar'-hB/''-+-C Fig. ao.
Le ihéorème est dès lors évident.
*43. Trouver le rapport dans lequel la droite joignant les deux points {xiyjri\ (Xi^y^) est coupée par la droite passant par les deux autres points ( x,, ri )> ( ^'4. X^ )•
L'équation de cette dernière ligne est (n** 29)
(r»— rO*^ — (^a— '«•4)7 -+- ^3^4— "^^^3 = o;
donc, d'après le numéro précédent,
__ (r» — .^'« )^i --{^i — Xi )ri + X, r« — ^iji
(r* — r*)^^ — (-^3 — ^4)/» -h JTs/, — :r4 r,
ii est à remarquer (n^ 36) que ce rapport est égal à celui des surlaces des triangles ayant pour sommets (xi,Xi), (*»f /j)> (x«, X*) c* (^>»rO> i^if r»)' («^4» ^4) î ce qui, d'ailleurs, est évident au point de vue géométrique.
Comme application nous pouvons établir le théorème suivant :
Si les droites joignant un point donné aux sommets A, B etC d'un iriangle coupent les côtés opposés à C0S sommets BC
52 CHAPITBB 11.
CA, AB aux points D, E, F, on aura la relation
BD.CE.AF DC.EA.Ffi
Soient en effet (^r,, 74) le point donné, et (:r,,j,), (j:,,^,), i^ifX*) les sommets du triangle, on aura
BD __ jr,(r»— ,r<
CE j:,(j3 — n EA a:,(/,--/4
AF __ X, (.r« — r,
FB -i;(^3-:^4
■+- ^ii.ri — rO
ce qui démontre le théorème.
kk. Équation de la ligne droite en coordonnées polaires.
Prenons pour axe fixe la perpendiculaire à la droite, et soit OR {Jig. 2 1 ) un rayon vecteur quelconque mené du pôle 0
Fig. 3 I .
à la droite donnée PR. Posons
Mais
OR i^ p, ROP ^ 0.
ORcose = OP.
L'équation de la droite est donc
pcos0 ==p.
Dans le cas où Taxe (ixe fait un angle a avec la perpendiculaire, elle devient
pcos{9 — a)=.p.
Cette équation peut aussi s'obtenir en transformant Téqua
Dl LÀ LIGRB DBOITB* 53
Uon du n"" 5K3
En y remplaçant x par p cosO, et y par p sin d ( n** 12 ), on obtient
p(cos6cosa + sind sinde)=: p»
ce qui revient à
pcos(0 ^ a)=^p.
Une équation de la forme
p{AcoseH-Bsine) = C
peut (n* 23) se ramener à la forme pcos(0 — «)=/?; car, en la divisant par v^A^H- B% on peut poser
V^A»H-B» VA'-hB' V^A«h-B*
EXERCICES
