BB LA LIGRB DROITS
On peut résoudre cette question en substituant à x* et/' dans réquation /•— r'=m(a: — jr') du n^ 28, les coordonnées de Tîntersection des deux droites, déterminées d'après le n^'Sl. Mais on arrive plus facilement au résultat en s*appuyant sur le principe suivant, qui est d'une grande importance.
SiS= o, S'=o sont les équations de deux lieux ^ le lieu représenié par l'équation S + /» S' = o ( dans laquelle le est une constante) passe par les points communs aux deux premiers.
Il est évident, en effet, que tout couple de coordonnées qui satisfera à la fois aux équations S=:o, S'=:o satisfera aussi à réquation S -*- kS'= o.
Il résulte de là que l'équation
( Ax -+- B/ -+- C) -f. k[k'x 4- B'x -+- C) = o,
qui est du premier degré, représente une droite passant par Fintersection des deux droites
A JT -f- B/ -h C = o, A':f -h B'7 H- C -r o.
Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites satisfont évidemment à l'équation
( A ^ -h Bj 4- C ) -»- /r ( A':r -4- B> 4- C ) — o,
puisqu'elles annulent séparément chacune des deux parties de cette équation.
EXERCICES
I. Trouver l'équation de la droite joignant à Torigine rinterseclion de
Ax -h B/ 4- C = o, X'x H- B> -4- C = o.
RÉPONSE. Multipliant la première équation par C\ la seconde parC, et soustrayant, on obtient Téquation cherchée
( AC- A'C)a: -h (BC' - CB')/ = o.
La droite qu'elle représente passe en effet par Torigine (n"" 18) et par rinterseclion des deux droites (n** 40). '
H. Trouver Féquation de la droite menée par rinterseclion de ces deux mâmes droites parallèlement à l'axe des x.
BÉP05SB. (BA' - AB')^ -h CA' - AC = o.
III. Trouver Téqualion de la droite passant par le point d inlerseclinn de ces deux mêmes droites et par le point (j:',^').
RÉPONSE. Déterminant dans Téquation générale donnée ei-dossus la ronstanio À-, de manière que cette équation soit satis^faile par .r', } ', on trouve pour Téquation cherchée
(Ax-+-Bv-hC)(AV-hB>'-+-C')= (A'j:-f-B>-KC')(A.r'-HBv'-hC).
IV. Trouver l'équation de la droite joignant le point (a, 3) à l'interseclion des deux droites a j: -+- 3 r -f- i = o, 3j: — 4j' = '».
RÉPONSE
11(20; -H 3/-»- i) H- i4(3j: — 4/— 5) = o, ou G4-i' — '^3 » — 59.
41. Le principe établi au numéro précédent donne, pour reconnatire si trois droites se coupent en un même point, un critérium souvent plus commode dans la pratique que celui du n* 34 :
Trois droites A .r -h B^ -t-C=:o, A'a:-t-B'^-4-C' = o, A^x -+■ B^j*-f- C^r^: o passent par un même point, lorsque la somme de leurs équations multipliées respectivement par une constante est identiquement nulle ^ c'est-à-dire si la relation suivante, dans laquelle /, m, n représentent trois constantes, est vraie, quels que soient x et j,
/(Ax-+-Bv-t-C)-hm(A'x-+-By-hC')-h/î(A'x-+-B"r4-C'') = o.
Car alors les valeurs des coordonnées qui annulent séparément les deux premiers termes de Téquaiion annulent aussi le troisième.
EXERCICES
I. Les trois médianes d'un triangle se coupent en un mémo poinf . Leurs équations sont (29, Ex. IV)
H- (xV*- r"x') -+- (.r>'- j'>) = o..
^ (x'^"— j V) -h (xO"'— /"x'") = o.
DE LÀ LIGNV DIOITI. 49
La somme de ces équations est identiquement nulle, les droites qu'elles représentent se coupent donc en un seul point, dont les coordonnées sont
D. Démontrer le même ihéorème en prenant pour axes les deux côtés du triangle dont les longueurs sont a ei b.
Réponse . h v — > = o, - -+- -j- — i = o, t — o.
m. Les hauteurs d'un triangle se coupent en un même point. Il en est de même des perpendiculaires élevées sur le milieu des celés. La somme des équations (n° 3i, Ex. Y, VI) est identiquement nulle.
IV. Les bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un méms point.
Elles ont, en eflet, pour équations,
(xcosa H-j^sina — p) — (xcosp H- jsinô ~ /?')= o, (xcosp H-jsinp— />')— {a:cos7 -h^siny —/?*)= o, (jpcosy H-^sinS — //) — (xcosa-h/sina —p) = o.
■4.2. Trouver les coordonnées de V intersection de la droite joignanl les points {x',jr')^ (^'^y) «^^^* i<^ droite \x H-B/-h C^= o.
Le but de ce problème est d'exposer une méthode (que nous aurons souvent occasion d'employer dans la suite) pour déterminer le point où un lieu donné rencontre la droite joignant deux points donnés. Nous savons (n" 7) que les coordonnées d*un point de la droite passant par ces points peuvent s'exprimer par les formules
mx'' -h nx' my" H- nr'
Nous prendrons pour inconnue le rapport — des segments dé-
terminés par le lieu sur la droite joignant les deux points, et nous en chercherons la valeur en exprimant que les coordonnées ci-dessus satisfont à l'équation du lieu. Ainsi dans le
5o CHAPITRE II.
cas actuel nous aurons
r -+- nx' . my -4- w^^
hB-^ s
d'où
m^ A:r'H-Br'4-C
l'ordonnée du point cherché sera donc
(Aa-^H-Br^4-C)3:^— ÇA^^-i-Br'^-hClx^ ^"" (Aar'H-B^'H-C)-(Aar"4-B7"4-C) '
et Ton aura une expression analogue pour Tabscisse. La valeur du rapport — peut s'obtenir géoméiriquemenl, en remar-
quant que le rapport dos segments de la ligne joignant (jr', r'), [^fX") csl égal à celui des distances de ces points à la droite donnée. Ces distances sont (n® 3b],
si h} -4- B' ' v^ A^ -f- B»
Le signe — qui se trouve dans Texpression de — donnée
plus haut tient à ce que, dans le cas de la section intérieure
auquel correspond le signe -h pour le rapport— (n"7), les
points [x\y'), (x*,/'^)ne se trouvent pas du même côté de la droite, et que par suite les distances de ces points à la droite doivent être de signes contraires ( n"" 34-).
Nous pouvons dès lors démontrer facilement le théorème « suivant :
Si une droite coupe les côtés d'un triangle BC, CA, AB (Jtg. 20 ) aux points L, MyV, on aura la relation
