PROBLÈMES SUR LA LIGNE DROITE

45. Après avoir, dans le dernier Chapitre, exposé les principes qui permettent d'exprimer algébriquement la position d'un point ou d'une droite, nous allons donner quelques exemples de leur application à la solution des problèmes de géométrie. Nous recommanderons d'éludier avec soin ces questions, jusqu'à ce qu'on ait acquis habitude et facilité dans l'emploi de ces principes. Généralement les équations auxquelles nous serons conduit pourront être simplifiées par un choix judicieux des axes de coordonnées, puisque, en choisissant pour axes deux des lignes les plus remarquables de la figure, nous serons amené à des expressions plus simples. Cependant, il arrivera quelquefois que, en prenant des axes indépendants de la figure, les équations gagneront en symétrie plus qu'elles n'auront perdu en simplicité. Il suffit, pour s'en convaincre, de comparer les deux solutions que nous avons données de la même question (n° 41, Ex. I et II). La première est la plus longue, mais elle présente cet avantage que, l'équation d'une des médianes étant déterminée, on peut écrire immédiatement les autres sans faire de nouveaux calculs.

L'emploi des coordonnées obliques conduisant à des expressions assez compliquées dans les questions relatives aux angles, il sera presque toujours préférable de se servir dans ce cas de coordonnées rectangulaires.

46. Lieux géométriques, — La géométrie analytique se prête avec une facilité toute particulière à la recherche des lieux géométriques. Il suffit, en effet, de déterminer les conditions auxquelles les données de la question assujettissent les coordonnées du point dont on veut trouver le lieu géomé-

PROBLfiMES SUR LA UGNB DROITE. 59

irique : la traduclion algébrique de ces conditions donne immédiaiement réqualion du lieu cherché.

EXERCICES

I. On donne la base AB et la difTérence m* des carrés des côtés AC, CB d'un triangle ABC; trouver le lieu du sommet C.

Prenons la base du triangle pour axe des x, et la perpendiculaire élevée sur le milieu de celte base pour axe des y. Désignons par c fjpj^. vx) la moitié de la base, et par x, y les coordonnées du sommet.

Tlg. 32.

Nous aurons alors

L'équation du lieu est donc 4^-r = ///'. Elle représente une per|)er.diculaire élevée à la base du triangle en un point distant du milieu do

relie base de la quanti té x= — • Il est facile de voir que la différence dos

carrés des segments que ce point détermine sur la btise est é^alo à la différence des carrés des côtés.

n. On donne la base AB et la quantité cotA -+- m cotB = p [fis- ^^,1 , trouver le lieu du'sommet.

(*) On Tait quelquefois le raisonnement suivant : la li^ne AR so ooiiii)0!»o de deux parties AM = — cet MR = ^, sa longueur est — e-^-x et non pas

cH-x; donc AC =^*-t-(jr— c)'. Mais on doit observer que le signe d'une longoeur ne dépend pas du câté de l'origine où elle se trouve, mais bien du -sctis suivant lequel elle est mesurée. Nous allons de A à R dans le sons positif, en prenant d'abord dans cette direction AM = r, puis ensuite MR=^.r; donc AR = C-+- -r. Pour aller de R à B, nous suivons d'abord le sens négalif en prenant RM = — jr; puis, revenant en sens contraire, nous prenons MB = c ; donc RB = <r — X.

Il est évident, d'après la figure, que

.. AR c -h X ^ r — .r

CR j X

L'équation cherchée est donc

Elle représente une ligne droite.

III. On donne la base AB et la somme m des deux autres côtés du triangle (y^. sia); on prolon.^e la hauteur RC au delà du sommet C de telle sorte, qu'elle devienne égale à un des côtés : trouver le lieu des extrémités de la hauteur ainsi prolongée.

Prenons les mêmes axes et cherchons la relation qui existe entre les coordonnées du point dont on demande le lieu. L'ordonnée de ce point est évidemment MR, et son abscisse est, par hypothèse, é^alo à AC;

on aura donc

BC = //i — r; mais

k'=ÂB -hÂc'—aAB.AR,

ou

et en réduisant,

équation d'une ligne droite.

lY. Deux droites fixes OA, OB sont coupées par une parallèle à une troisième droite fixe OC; trouver le lieu des points P qui partagent les droites ÂB dans un rapport donné, c'est-à-dire tel que PA= //AB.

Prenons OA et OC pour axes (Jîg, 23 ) : soil r = mx l'équation de OB.

Fig. Qj.

Puisque le point B se trouve sur cette droite, nous aurons

AB=//i.OA, dtfhc