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PEOBLÈXB» SUR LA LIGMB DROITE. 67

Ms XV est Tordonnée^ du point P, OA en est l'iib8ci»8e x; le lieu du foÎDl P est donc une droite passant par l'origine et ayant pour équation

y = mnx.

V. La droite PÂ, parallèle a OC, comme ci-dessus, rencontre un certain nombre de droites fixes aux points B, B', B',. . ., on prend PA proportionnel à la somme des ordonnées BA, B'A,... ; trouver le lieu des poÎBls P.

RÉPO.'iSB. Les équations des droites fixes étant

celle du lieu sera

Ajr = mx -¥- [m'x -h n') -+- ( m''x h- //*) -h . . . .

VI. On donne les côtés a, b,c,.., et la somme m^ des aires d'un certain DOffibre de triangles ayant le sommet^ opposé à ces côtés, commun; trou- ^er le lieu de ce sommet.

Soient a, ù^ c les longueurs des côtés, et

JTCOSa -Hj^sina — // = o, xcos^ -*- jsinji — //— o,... ;

lears équations. Puisque (n^Si) xcosa -i-/sina — p représente la distance du sommet (j",^) à la première droite, i7(j:cosa -h jbin a— /^) sera le double de Taîre du premier triangle, etc. L'équation du lieu seia

«(xcosa-t- j- sin a — /?)-+- ^ (xcosf H-j'sinp — y^')-H.. .= a/w*;

et comme elle ne contient x et y qu'au premier degré, elle représente Qoe droite.

VII. On donne un angle 0 d'un triangle [fs-'^^) ®^ '* somme dos <^tés qui le comprennent; trouver le lieu du point P où le côté opposé à ^l angle est partagé dans un rapport donné.

m PT

Prenons pour axes les côtés qui comprennent l'angle; soit — = p^r lo

Fig. a/}.

rapport donné. Nous déduirons de la similitude des triangles

OK=i^^i^, OL = iiîL±jZ)l .

Le lieu cherché est par suite une droile ayant pour équation

m u m -H n Vnr. D'un point P on abaisse des perpendiculaires PM, PN sur deux

Fig. aj.

/ Il

droites fixes OM, ON (fg. 25) ; trouver le lieu du point P, tel que

OM -h ON = const. Prenant les droites fixes pour axes, on a évidemment OM = jT-hjrcosw, ON = J-+- -ccosw; l'équation du lieu est donc

jr -h / = const.

IX. Trouver le lieu du point P dans le cas où MN est parallèle à une droite fixe.

RÉPONSE. /-h JTCOSW = /w(x -hJCOSw).

X. Trouver le lieu du point P dans le ras où MN est divi?é en deux parties égales (ou dans un rapport donné) par la droite j= ntx -+- n.

Les coordonnées du point milieu de la droite MN, exprimées en fonction des coordonnées j: et / du point P, sont

- (ar-*-jrcosw), - (^•-h.rcosw),

et puisqu'elles satisfont à Téquation de la droile, les ccordonnées du point P satisferont à Téqualion