X -+- ^ = fl H

V. Sur la base AB d'un triangle ABC, et à chacune de ses extrémités, on prend des segments AT, BS, dont le rapport est constant; par les points T,S, on mène des parallèles TE. SF, à une droite fixe CR : trouver le lieu de Tintersection 0 des droites EB et FA.

Prenons AB et CR pour axes {fi^, 29) , et soient AT = X , BR = j, AR = s\ CR = />, BS = /w . AT = mk. Les coordonnées du point S seront ( j — /wX,o) ,

Fig. 29.

et celles de T ( — (/ — X), o) ; les ordonnées de E et F s'obtiendront en

Bubstiluant ces valeurs de x dans les équations de AC et de BC; noustrouverons ainsi , pour E et F,

Les équations des transversales £B^ AF seront alors

, , ,. mpk mpks'

(s -¥■ S — mk) y -— x = o:

en les retranchant Tune de l'autre et divisant par /-, nous trouvons pour l'équation du lieu

Elle représente une ligne droite.

VI. On mène aux deux côtés AB, AC d'un parallélogramme doux parallèles quelconques PP', QQ'; trouver le lieu de rinlerscction des droites PQ et P'Q'.

Prenons ces deux côtés pour axes, et soient </, b leurs longueurs {Jîg, 3o) ^

posons AQ' = w , AP = n,

Fig. 3o.

ri — f-

L'équation dePQ joignant P (o, «) à Q(w, ^) est

{b — n) xmjr -h wn = o.

Celle de P'Q' joignant P' [a,n)-à Q' (/w, o) est

nx — [a — m) y — mn — o.

Il y a deux indéterminées m et /?, et on ne saurait à priori affirmer la possibilité de les éliminer au moyen de deux équations. Cependant si l'on ajoute les deux équations ci-dessus, m et n disparaissent à la fois, et on trouve pour l'équation du lieu

bx — ajr = 0.

Elle représente la diagonale du parallélogramme.

PllOBL.tLHBS SUR LA LIGNE DROITS. 67

Vil. On donne un point et deux droites fixes; par le point, on mène deux droites que\conques, et on joint transversalement les points où elles coupent les droites fixes : trouver le lieu du point d'intersection des transversales.

Prenons les droites fixes pour axes; soient

JC Y X Y

Ws équations des droftes passant par le point fixe [-r'^f] : nous avons alors les conditions

par :»uite

\m m) '^ \n n' J Les équations des transversales sont

d'où

Eliminant ; et ; entre celte équation et celle obtenue

plus haut, il vient

x'jr-^ y'x = o

pour réquation du lieu. Cest celle d'une droite passant par l'origine.

VQI. Par un point de la base d'un triangle^ on mène, parallèlement à une droite donnée , une droite de longueur fixe , de manière qu'elle soit coupée par la base dans un rapport donné; trouver le lieu de l'intersection des lignes joignant ses extrémités à celles de la base.

&9. Toutes les fois qu'un point est assujetti à une condition géométrique déterminée, ses coordonnées doivent satisfaire à une équation correspondante : c'est là Tidée fondamentale de la géométrie analytique. 11 est important, pour celui qui en entreprend l'étude, de se pénétrer de cette idée, et de faire tousses efforts pour arriver à trouver facilement l'équation correspondant à une condition géométrique. Aussi ajouteronsnous ici, comme exercices, quelques problèmes touchant les

66 GHAPITHB 111.

lieux géométriques, et conduisant à des équations d'un degré supérieur au premier. L*ihterprétation de ces équations sera l'objet d'autres Chapitres ; mais la métliode à employer, la seule chose que nous ayons actuellement en vue, est exactement la même que celle qu'on emploie lorsque le lieu est une ligne droite, et, en réalité, le degré de l'équation du lieu est inconnu jusqu'au moment où l'on arrive à cette équation.

Les exercices suivants ont été choisis de manière à ce que l'on puisse en calquer la solution sur celle des problèmes qui viennent d'être exposés, et en suivant un ordre analogue. Les axes et les notations sont les mêmes dans les exercices correspondants.

EXERCICES

I. On donne la base d*un triangle et la somme des carrés des deux autres côtés; trouver le lieu du sommet.

RÉPONSE. • j:*-h r' = - w' — c'.

II. On donne la base, et m fois le carré d'un côté ■±. n fois le carré de l'autre.

■ RÉPONSE. (/W=fc/l)(x'-hj') -h2(/7l i;: /l)cX-h(/W±/?) C*=//.