PROBLÈMES SUE LA LIGNE DROITE

Prenons CR et AB pour axes [Jig, a8). Soit CR = p, DR = s, AR = s'\

les éqnalions de AC et BC seront

Menons une parallèle FS à la base, à une dislance FK = k de cette base; nous trouverons les abscisses des points F et S, où cette parallèle rencontre AC et BC, en faisant/ = / dans les équations de AC et de BC. Nous tirons ainsi de la première

p s' et de la seconde

, X = RX==:-f'^l--^,

Des abscisses de F et S, nous déduisons ( n"" 7) celle du point milieu deFS, X = ( I ) , qui est évidemment l'absciss*; du centre du rectangle; d'ailleurs l'ordonnée de ce centre est j = -k. Pour trouver la relation qui subsiste enire cette abscisse et cette ordonnée, quel que soit X-, DOQS n'avons qu'à éliminer /* entre leurs expressions. En portant, par aemple, la valeur /* = u^, tirée de la seconde, dans la première, nous obteDons

'kx ar

poor l'équation du lieu cherché. Elle représente une droite joignant le milieu de la hauteur au milieu de la base, ainsi qu'il est facile de le voir en examinant les segments qu'elle détermine sur les axes.

II. On mène une parallèle FS à la base AB d un triangle, et on joint par des droites FT et SV les points F, S où elle rencontre les c<»tés CA et CB à deux points fixes T, Y de h base : trouver le lieu de rinlei-seciion de ces droites.

Prenons les mêmes axes que dans Texemple précédent, etc. Soient ///, o; /i, o, les coordonnées respectives des points fixes T et V de la base.

Léquation de FT sera

et celle de SV

I .V' \r^j.j-i- mK -h Ax - hfi = o, I .V ( f J — n \f^Âx-hAn = o.

Puisque le point dont on demande le lieu se trouve sur les deux lignes FT et SV, chacune des équations précédentes exprime une relation à laquelle doivent satisfaire ses coordonnées; et, comme ces équations renferment /-, elles ne sont vraies que fiour le point particulier du lieu correspondant au cas où on a mené la parallèle FS à une distance / de la base. Si donc nous éliminons entre ces équations Pindéterminée / , nous trouverons une relation no renfermant que les coordonnées du point et des quantités* connues, et qui, étant satisfaite quelle que soit la position de la parallèle FS, sera l'équation du lieu. Pour éliminer X-, on peut mettre les équations ci-dessus sous la forme

(A'-+-//l)j-/f^J — X-+-/;ij=:0,

On trouve alors pour celle du lieu

Elle représente une ligne droite.

m. On mène une parallèle FS à la base AB d'un triangle, et on joint par des droites transversales les points F et S où elle coupe les côtés CA et CB aux extrémités A et B de la base; trouver le lieu du point d'intersection de ces droites.

Ce problème nVst qu'un cas particulier du précédent; maison peut en trouver une solution pins facile en prenant pour axes les côtés AC et CB du triangle. Soient a, 6, les longueurs de ces côtés; pi^, f^^ les sei;ments proportionnels interceptés par la parallèle. Les équations des transver-

PaOBLfeHBS 8CR LA LIGNE DROITE. 65

st\« wront a\ora

a fiù ua o ^

Botranchaiit ces équations l'une de l'autre , et divisant le résultat par ( I ] « nous aurons, pour Téquation du lieu,

Cette équation, ainsi que nous Tavons vu (41, Ex. Il), représente la médiane de la base du triangle.

IV. On donne deux points A et B, situés chacun sur un des axes; on prend sur ces axes les points A' et B', de telle sorte que

OA'-f-OB'=OA-+-OB;

irouver le lieu de l'intersection de AB', A'B.

Soient OA = a,OB =x b^ OA' = « -h X- ; d'après les conditions mêmes du problème, on a 0B'= b — A\ Les équations de AB' et de A' B sont respectivement

a b — k ' rt-hX- b '

bx -^ ajr — ab -h k (a ^ x) ^ Oj

bx-^ay — ab-^ k[jr — b) ~ o.

En éliminant k par soustraction, nous trouvons pour Téquation du lieu