X. On prend pour PA la moyenne harmonique entre AB et AB

RépONSB. a mx ( m*x ■+- n*) = jr( mx -+- m'x -♦-/?').

XI. On donne Vangle o) au sommet d'un triangle; trouver le lieu du point P où la base est coupée dans un rapport donné m :n, lorsque Faire est constante.

RÉPONSE. XX = const.

Xn. Trouver le lieu du point P lorsque la base b est constante.

-., x* r* aoTCOsw

RÉPONSE. — ^ -+- "^^

/«* n* mn [m -^ n)*

XŒ. Trouver le lieu de ce point P lorsque cette base passe par un

point fixe [x^,y'),

n . mx' ny' Réponse. h — ^^ = m-^ n.

XrV. Trouver le lieu du point P (46, Ex. VIII) lorsque MN est constant.

RÉPONSE. X* -H r ' -+- a 2*j cos w = const.

XV. Trouver le lieu de ce point P lorsque MN passe par un point fixe (x\y).

RÉPONSE. '- 1 •^— = I

JT-h^COSW J-HJTCOSW

XVI. Trouver le lieu de l'intersection des parallèles menées aux axes par les points M et N lorsque MN passe par un point fixe (x', r').

x' y' RÉPONSE. h — = I .

XVII. Trouver le lieu du point P (47, Ex. I] dans le cas où CD n'est pas parallèle à AB.

XVni. On donne la base CD d'un triangle PCD , et le segment AB dé-

70 CBAPITBB III. /

terminé par ses côtés PC, PD sur une droite donnée; trouver le lieu du sommet P.

RÉPONSE

50. 'Problèmes oà il faut démontrer qu'une droite mobile passe toujours par un point fixe.

Nous avons vu (40) que la droite représentée par l'équation

Aa: 4- B/ -+- C -+- /»' ( A';r -+- B> -4- C) =r o, ou, par la suivante,

( Ax 4- A-A') X -h (B -t- /f B') j -+- C 4- A-C = o ,

dans laquelle k est une indéterminée, passe par un point fixe, autrement dit, par Tintersection des droites

Aa: -h Bj -+- C == o, A' j: -h B'j -h C = o.

Donc : Si V équation d*une droite contient une indéterminée au premier degré, cette droite passe toujours par un point fixe.

EXERCICES

I. On donne, dans un triangle, un angle et la somme — des réciproques des côtés qui le comprennent; prouver que le côté opposé à l'angle donné passe par un point fixe. '

Prenons pour axes les côtés qui comprennent Tangle, l'équation du coté opposé sera (en désignant par ^ et & la longueur des autres côtés),

Mais on a

I f I III