PROBLÈMES SUR LA LIGNB DROITE. 7I
€( renferme rîndéterminée - : la droite qu'elle représente pa^se donc toujoors par un point fixe, qui est l'intersection des deux droites
H. Les trois sommets d'un triangle ABC glissent sur trois droites fixes OÂ, OB, OC, issues du même point; deux de ses côtés AC, CB passent par deux points fixes (j^', 7'), [x\ y") : démontrer que le troisième eôté AB passe aussi par un point fixe.
Prenons OA et OB pour axes (fig. 3i) : l'équation de OC sera j — mx.
Fig. 3 1 .
Soit a Tabscisse du sommet C dans une position quelconque, l'ordonnée correspondante sera ma. L'équation de AC sera alors
(x' — «) J— (.>'' — nia) X ■+- a{y* -— mx') — o,
<%lle de BC sera de même
(x^— a)y ^ (/'-" /Wfljo: -H « ( j'— mx") = o.
Si Ton Tait x = o dans Téquation de AC, on trouve, pour la longueur deOA,
On obtient de même pour la longueur de OB , en faisant / = o dans réquation de BC,
j — nia L'équation de AB est donc
r ' — ma x' — a
y — mx jr — mx
Puisque a est une indéterminée et n'entre qu'au premier degré dans cette équation, la droite AB passe toujours par un point fixe. En mettant réquation sous la forme
y x' / mx Y \
y' — mjtf^ y* — mx'^ ^ V/" — /"-c" y' — mx' J ~~ '
on voit que le point fixe se trouve à l'inlersection des deux droites
y" x' mx y ^
m. La droite sur laquelle glisse le sommet C (Ex. précédent) ne passe plus par le point 0 : à quelle condition doivent satisfaire les autres données du problème pour que le côté AB passe toujours par un point fixe.
Conservons les mêmes axes et les mêmes notations que ci-dessus : l'équation de la droite sur laquelle glisse le sommet C sera j = mx h- n, et les coordonnées du point C dans une de ses positions seront a^ ma + //. L'équation de AC sera
(x' — a)y— [y' — ma^n)x -h a{y — mx') — nx = o,
et celle de BC
{x" — a) y — (y" -^ma — n)x-^ a (y" — mx") — nx" = o;
d'où
/^ * ^(y'— 'wjc') — nx* ^ air"— mx" ) — nx" OA = ^ ; — , OB = ^- „
X' — a y"— ma — n
L'équation de AB est donc
r " — ma — n x'— a __
a\^f — mx") — nx* ^ (^' — mx') — nx'
En chassant les dénominateurs, on obtient une équation dans laquelle a entre au second degré : en général , le côté AB ne passera donc pas par un point fixe. Mais si les points [x\y')^ [^"j x") ^^^ •*"'' ""^ firoite (y= Âx) passant par le point 0, on peut remplacer, dans les dénominateurs/", par Xx", et/' par Ax' : l'équation devient alors
y" — ma -— n x' — a , . ,
et ne renfenne plus l'indéterminée a qu'au premier degré : donc, dans ce cas particulier, le côté AB passe par un point fixe.
lY. Si la somme des distances d'un certain nombre de points fixes (•^'» j')ï ("^j/")--- à une droite, multipliées chacune par un facteur constant m\ m", est nulle, la droite passe par un point fixe.
Soit xcosa-h/sina — /? = o réqudtion de la droite, la distance du point (j:', /') à cette droite sera
X* cos a -h /' sina — /?,
FHOBLlllIBS 8Un LA UGMB DBOITB. 7 3
el VéqaaUoii suivante exprimera les conditions du problème «'^x'cosx-4- r'sina— y») -»-/ii'(*'cosa H- j'sina — ^) -h ... — o. En posant, |>oiir abréger (*),
2 ( /wx' ) = m'x' -h m" x" -+- m'^.r"' -h . . . , 2 (my)= m' y -h m'x" -+■ m'^x'" -h . . . , Z (///) =z m' -+- ni' -+■ m"' ■+■
on peut écrire Téquation précédente
2 (mx') cosa -h I (/wy ) sina — ;?2 (/«) = o.
En portant la valeur de p qa*on en déduit, dans l'équation primitive de- la droite mobile, on trouve
jrS (/w) cosa H-/2(/ii) sina — 2 (wjp') cosa — Z ( wj') sin a = o,
ou bien
ar2{/ii) — 2(/nx')-^[(^2(m)— 2{/n/')]tanga^o.
Celte équation renferme l'indéterminée tangaau premier degré; la droite qu'elle représente passe par un point fixe, qui est déterminée par TinterseciioD des droites
xl[m) — l(mx')==Oy x'^(m) —l(mjr') = o,
et qui, par suite, a pour coordonnées
M'x'-h wVh- /wV-4- . . . . m'y' -h m'/" -h m'"Y'"-¥- , . .
'^~ /»j'-+-/w*-i- w**-»- ... ' ^ ~~ m'-h m"-hnr-h,..
Ce point s appelle quelquefois centre des distances proportionnelles,
51. Lorsqu'un point (a:',/) glisse sur une droite, la droite, dont l'équation renferme les coordonnées du point [x\y) au premier degré, comme la suivante
(Ax'-+-B/-+-C)^-h(AV+By-f-C')r-f-A"^'-hB'y-+-C''=°' passe par un point fixe. Caries coordonnées du point satisfont
(•) La ioinme ÎDdiquée par Tabrévialion 2(w), par exemple, est une wmmealgébHque; car pluaieup» des quantités m', m\.., peuvent être néga tive*.
•;4 CHAPITRE m.
à une équation de la forme
La:'-4-M/-hN=o,
et en éliminant x' entre celte équaiion et la précédente, nous retombons sur une équaiion ne renfermant plus qu'une indéterminée j' au premier degré, et représentant par suite une droite passant par un point fixe.
Si donc les coefficients de l'équation Ax -\- By-i- C = o sont liés entre eux par la relation aA-f-6B-f-6"C=:o {dans laquelle a, b et c sont des constantes , et A^B et C des variables) la droite qu'elle représente passe par un point fixe.
Car la relation donnée nous permet d'éliminer C et de mettre réquation sous la forme
{ex — a) k-h [Cjr — 6)B=:0,
on voit alors qu'elle représente une droite passant toujours
par le pomt ( a: = -? ^ == - 1 •
52. Coordonnées polaires, — Les coordonnées polaires sont en général d'un usage commode, lorsqu'il s'agit de trouver le lieu des extrémités des droites menées par un point Vwe suivant une loi déterminée.
EXERCICES
I. A et B sont deux points fixes; par le point B, on mène une droite quelconque BP, sur laquelle on abaisse une perpendidulaire ÂP du point A ; on prolonge AP jusqu'en Q, de manière que le rectangle PA.AQ soit constant et égal à A^ : trouver le lieu du point Q.
Prenons AB pour axe fixe (fig. 82) , et A pour pôle : ÀQ = p sera le
rayon vecteur, et QAB = d, l'angle qu'il fait avec l'axe 6xe. L'équation du lieu sera la relation qui lie p et 9.
PROBLÈHBS SUR LA LIGNE DEOITB. ']S
Posons AB = r. Le triangle rectangle APB donne ÂP = cco8d; mais, d'après les conditions du problème, ÂP.AQ = P : l'équation du lieu est donc
prcosO = À* ou pcosO = — ;
nous avons vu (44) que cette équation représente une droite perpendi-
X' culaire à AB, et menée à une distance — du point A.
n. On donne les angles « , ^ , 7 d'un triangle ABC ; le sommet A est fiie, tandis que le sommet B glisse le long d'une droite BP : trouver le Hea du troisième sommet C.
Prenons le sommet fixe A pour pôle (^g. 33), et la perpendiculaire AP
Fig. 33.
fil- '
a la droite fixe BP pour axe, on a alors AC = p, et CAP = 0. Puisque les angles du triangle sont donnés , le rapport m de AB à AC
sera constant ; d'ailleurs, BAP = 0 — a ; mais
AP = AB cosBaP = /w . AC cos^AP ; en posant AP = a, nous aurons, pour Téquation du lieu,
/wpC03(Ô-- a) = fl; c'est une ligne droite (44), faisant un angle a avec les droites données, et passant à une distance — du point A.
m. On donne la base AB = c d'un triangle ABC, et la somme AC + CB = m des deux autres côtés; à l'extrémité B de la base, on élève la perpendicoiaire BP au côté adjacent EC : trouver le lieu du point P où cette perpendiculaire rencontre la bissectrice extérieure CP de l'angle ACB.
Prenons le point B pour pôle {Jtg. 34), et le prolongement BD de la
base pour axe fixe; alors BP= p, PBD= 0.
IVsignons par a, 6, c, les côtés du triangle opposés aux angles A, B, C, .on a
BCP = 90^ - -C, BC = « = p tang-C.
76 CHAPITRE Ilf.
Mais, dans le triangle ABC, on a
^'= «'-h c — a^/ccosB.
Fiff. 34.
et en raison des conditions du problème
h — m — a^ cosB = sin 0 , donc
m'— afl//n-û^= ft'H-c' — 2^csinO;
d'où
21 //i — csinô)
Nous avons ainsi deux expressions de a : Tune en fonction de 0 et des constantes du problème; l'autre en fonction de p et de tang -C : si donc
nous pouvons exprimer tang - C en fonction de 0 et des constantes du problème, noua pourrons éliminer a et trouver l'équation du lieu. Mais
I ^ ^ gin C
tang - C = Yi ?M '
'^a 4>(i-HcosC)
et
^sinC = c8inB = ccosô, 6cosC = «--rcosB=: a — rsinô;
donc
1^ ccosG tang-C = ^-r-
L*équation du lieu sera ainsi
m^^c^ __ pc.cosÇ a(w — c-sinô) "" /w — csinG' ou
pcos0 =
Elle représente une droite perpendiculaire à la base du triangle et
ïf} — c
passant à une distance — ^ du point B.
On trouverait, en suivant la même marche, le lieu du point P, dans le
PmOBLÈMBS SUR Lk LIGNE DB01T8. 77
cas OÙ CP serait ia bissectrice iniffneure^ et où on donnerait la différence au lieu de la somme des côlés.
IV. On donne n droites fixes et un point fixe 0 ; par ce point, on mène on rayon yecleur qui roupe les droites en r, , r„ r,,. . ., /*,, et on prend sm ix rayon vecteur an point R, tel que
OR Or, Or, Or, Or,
trouver le lieu du point R.
Soient
pcos(0- a)=;>„ pcos(9-P) =/?„...
les équations des droites, il est facile de voir que Téquation du lieu est
P Pi I\
qui représente une ligne droite (44). Ce théorème n'est qu'un cad particulier d*un autre plus général que nous démontrerons par la suite.
Nous ajouterons ici, comme au n** 49, un petit nombre de problèmes conduisant à des équations de degré plus élevé.
V. Soit BP une droite fixe [fig. Zi) ayant pour équation p cosO = m\ sur chaque rayon vecteur AQ, on prend une longueur constante PQ = </ : trouver le lieu des points Q.
Par hypothèse AP = — ^ ; donc AQ = p = — 7 ■+- d, •*^ cosô' ^ r çQgô
Cette équation, rapportée à des coordonnées rectangulaires, devient
VI. Trouver le lieu des points Q, lorsque le point P décrit, non plus une droite BP, mais un lieu ayant pour équation en coordonnées polaires
La longueur AP est égale au rayon vecteur p du lieu cherché, diminué de d\ l'équation s'obtiendra donc en remplaçant, dans celle du lieu du point P, p par p — </ : on trouvera ainsi
Vn. Le point P décrit le lieu p = <p (9) ; on prolonge AP jusqu'en AQ, de manière que AQ = aAP : trouver le lieu du point Q.
Il suffit de remplacer, dans Téquation du lieu de P, p par - p pour avoir Téquation cherchée.
