FP = /:! ! , FP
2 I-H6'C08f^ 2 1— eCOSÔ'
d'où
FP ¥?'~Jj'
IL Le produit des segments déterminés par le foyer sur une corde focale est dans un rapport constant avec la corde entière.
Ce théorème n^est qu'une autre manière d'énoncer le précédent ; mais on peut l'établir directement en calculant le produit FP.F'P' ei la somme
FPh- FF. On a ainsi
FP.FP'-^ 1 j., FP-+-FP'= — 1 — --:
d'où
FP.FF lhl p FP-hFP'~ a fl ~ 4'
m. Une corde focale est troisième proportionnelle à Taxe transverse et au diamètre parallèle à la corde.
La longueur R du demi-diamètre, faisant avec l'axe transverse un angle 6, est donnée par Téquation (16i ]
1 — c'cos'ô'
aR»
par suite, la longueur de la corde FP -+- FP' est
lY. La somme de deux cordes focales menées parallèlement à deux diamètres conjugués est constante.
Cela résulte du théorème précédent, et de ce que la somme des carrés des deux diamètres conjugués est constai^te (173).
V. La somme des inverses de deux cordes focales se coupant à angle droit est constante.
1%. L'ellipse rapportée à son sommet a pour équation
(x — aY r '
OU
Donc, dans une ellipse, le carré de l'ordonnée est plus petit que le rectangle du paramètre et de Tabscisse.
On trouverait de même, pour l'hyperbole rapportée à son sommet,
Dans l'hyperbole, le carré de l'ordonnée est donc plus grand que le rectangle du paramètre et de l'abscisse*
DE l'ei.lip8b bt d« l'btpiibolb. aSg
Nous verrons plus loin que, dans la parabole, ces quantités sont égales.
C'est en raison de ces propriétés que les noms ie parabole, hyperbole et ellipse furent donnés autrefois aux courbes qui nous occupent (*).
§ V. — Asymptotes.
195. Les propriétés que nous venons d'étudier sont communes à l'ellipse et à Thyperbole; il n'en est pas de même des suivantes, relatives à l'hyperbole seulement, parce qu'elles dépendent des asymptotes, qui, dans l'ellipse, sont imagi* naires.
Nous avons vu (136) que l'équation des asymptotes s'obtenait en égalant à zéro l'ensemble des termes du deuxième degré, le centre étant pris pour origine. L'équation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués étant
celle des asymptotes sera
DU
Les asymptotes sont parallèles aux diagonales du parallélogramme ayant pour côtés adjacents les deux demi-diamètres con* jugués. Soient CA et CB (Jig. 69) les deux diamètres conjugués a' et b' auxquels est rapportée la courbe. L'équation de la dia-
r b' gonale CT est — = -7; CT coïncide donc avec une asymptote.
X y L'autre diagonale AB, ayant pour équation -7 + p = 1, est parallèle à l'autre asymptote. ( roir au n* 167.)
(«) r«> Papros, Math, ColL, liv. VII.
2l6o CHAPITRE XI.
On peut donc, étant donnés deux diamètres conjugués d'une hyperbole, trouver les asymptotes, ou bien déterminer le dia-
mètre conjugué d'un diamètre donné, connaissant les asymptotes. Si CA est le diamètre donné, on mènera par le point A une parallèle AB à une asymptote, de manière que cette parallèle AB soit divisée en deux parlies égales par Tautre asymptote : la droite CB sera le diamètre conjugué de CA.
196. Le segment déterminé par les asymptotes sur une tangente est divisé en deux parties égales au point de contact et est égal au diamètre parallèle de la tangente.
Ce théorème n'est qu'un corollaire du précédent, puisque AT = 6' = AT'; mais on peut le démontrer directement. Prenons pour axes le diamètre passant par le point de contact et son conjugué, l'équation des asymptotes sera
Pour X = a\ elle donne
mais la tangente en A étant parallèle au diamètre conjugué, cette valeur b' de l'ordonnée n'est autre chose que le segment déterminé par l'asymptote sur la tangente.
197. Si une droite DG coupe une hyperbole, les segments DE, FG déterminés sur cette droite par la courbe et les asymptotes CD, CG sont égaux.
DE l'ellipse et DE l'hTPEBBOLE. 26 1
Prenons pour axes le diamètre CB, parallèle à DG, et son conjugué CA (Jig, 70) : il résulte du numéro précédent que le
segment DG est divisé en deux parties égales par le diamètre CA; il en est de même de la corde Ef. Donc DE = FG.
Les longueurs de ces lignes peuvent se trouver facilement, car de l'équation des asymptotes
nous déduisons
r(=DM = MG):=:=L^^,
et de réquation de la courbe
nous tirons
donc
DE(^FG):=-6'(|-y/|rr;)
et
198. De ces équations, il résulte que le rectangle DE.DF est constant et égal à V^\ par suite, plus DF sera grand, plus DE sera petit. Mais à mesure que la droite DF s'éloigne du centre, sa longueur augmente, et en prenant x suffisamment grand
nous pouvons rendre DF plus grand que toute quantité donnée. Donc :
Plus une sécante sera éloignée du centre, plus la portion de cette sécante comprise entre Vasymptote et la courbe sera petite; et en augmentant la distance de la sécante au centre, on peut rendre cette portion plus petite que toute quantité donnée,
199. Si l'on prend les asymptotes pour axes, les coefficients ^ et A de l'équation générale, ainsi que les coefficients a et 6 disparaissent: les premiers, parce que le centre de la courbe est pris pour origine; les seconds, parce que les axes rencontrent la courbe à l'infini (138, Ex. IV). L'équation de l'hyperbole prendra donc la forme
qui exprime que Vaire du parallélogramme formé par les coordonnées est constante.
L'équation d'une corde passant par (^',7')» (-^'^ X") ^st alors (86)
OU
En y faisant x' =x'\ j'= j", on aura pour l'équation de la
tangente en (^', j')
x'y-hy'x = 2 A"',
qui devient, en remplaçant A"' par x'x\
Les segments faits sur les asymptotes par une tangente ont ainsi pour valeur 2^7', 2j'; leur rectangle est égal à t^lo. Donc :
Vaire du triangle formé par une tangente et les asymptotes est constante et égale au double de Vaire du parallélogramme construit sur les coordonnées»
DE l'bllipsb et DE l'hypeebolb. ^63
EXERCICES
I. Les droites joignant à deux points fixes (x', y'), (x', jr") d'une hyperbole un point quelconque (x'", j''") de la courbe, déterminent sur une asymptote un segment de longueur constante.
L'équation d'une de ces droites est
en y faisant^ = o, on trouve pour le segment qu'elle détermine sur l'axe des X à partir de l'origine, x'^-i-x'; on trouverait, de môme, pour le sèment déterminé par la deuxième droite x^'-t- x*. La différence x'— x* entre ces deux quantités est le segment cherché. Sa valeur est indépendante de x", c'est-à-dire de la position du point mobile.
n. Trouver les coordonnées x et / de l'intersection des tangentes menées aux points (x', j^'), (x", j*).
En résolvant par rapport à x et / les équations des tangentes
on trouve
et en observant que
on a
On trouverait de même
ax'x"
'Aj-y
200. Exprimer la quantité It^ en fonction des axes de la courbe.
Puisque Taxe Iransverse est la bissectrice de l'angle formé par les asymptotes, les coordonnées du sommet s'obtiendront en faisant x^zy dans l'équation xy=zfi^. On a ainsi pour le sommet
X =y = If ;
maïs, 6 étant l'angle compris entre Taxe et Tasymptote, on a
a=:2/rcos6,
puisque a est la base d'un triangle isoscèle ayant /r pour autre côté et d pour angle à la base; d'ailleurs (165)
