De l'équation de la courbe nous déduisons

dy (EE) LS Vie dx 2 eC. Cc

(ee)

Nous sommes ainsi conduits à la construction suivante. Du

Pied de l’ordonnée M (fig. 55), menons la tangente MT au Cercle décrit du point C comme centre avecc pourravon. Alors

MC=y, CT=c, MT=y)?—e?,

tang MCT — tang MTL —

4o2 CHAPITRE VII.

de branches réelles, les points-dont il est ici ques les points d’intersection de branches. imaginaires devoir, avec juste raison, être regardés comme Nous avons déjà vu qu'une courbe transcendante | ume infinité de points doubles ou conjugués, et, € des épitrochoides, que ces: points peuvent être ra manière discontinue sur certains lieux (').

345. La chatnette est la forme que prend un élastique. de densité uniforme quand elle est considérations mécaniques très simples condr priété que nous prendrons pour définition m cette courbe, à savoir que l’arc mesuré à partir bas est proportionnel à la tangente trigonon que la tangente à l'extrémité supérieure d tangente horizontale. Si donc les axes sont ligne horizontale passant par le point le:

cw. Mais, en coordonnées rectangu dx

est la base d’un triangle rectangle. d:

côtés et ds? = dx? + dy?. L’équation

nera donc ds?

s+c—c—;) dx da Cc — te]

(') L'exemple employé ici est dû au D’ de M. Vincent, et qui méritent l’attenti M. Gregory (Cambridge Journal, 1, (qu'il écrit de préférence exp. æ) :

seule valeur; il admet qu'il n’y a rien que les valeurs à considérer sont cel'

++ de i I . Pe

COURBES TRANSCENDANTES. 405 On la rend rationnelle en posant 52 = c? — y?, ce qui donne

cds ci st

dx = ds;

nous avons ainsi

æ = clog SENS ve — Ve y.

On verra facilement que la courbe se compose de quatre portions semblables, comme dans la courbe ponctuée de la fig.55; et la construction géométrique du numéro précédent montre immédiatement comment on peut mener géométriquement une tangente à la courbe.

La syntractrice est le lieu d'un point Q situé sur la tangente à la tractrice et qui divise en segments de longueur donnée la droite constante SN. Soient x’, y les coordonnées du point de la tractrice, x, y celles du point du lieu cherché; soit QN = d; nous aurons alors

, ——___ —t ——— yd=ye ed yer—y?—ydt—yor—27; et comme, d'après l’équation de la tractrice,

e+y c— y* NOT

z'+Ve— y'*=c log l'équation de la syntractrice sera

——— d+Vd — 31 r+VE— = clog — —— La tractric? est un cas particulier du problème général des courbes équitangentielles, où l'on demande de trouver une

courbe telle que‘ le segment de la tangente compris entre la courbe et une directrice fixe soit constant.

318. Le problème des courbes de poursuite a été présenté pour la première fois sous cette forme : Trouver la piste d’un chien qui court pour atteindre son mattre. Ma-

thématiquement, 1l s’énonce ‘comme il suit : Le point A décrit une courbe connue ; on demande la courbe décrite par un point B, dont le mouvement est toujours dirigé vers A. Nous supposons que les deux mouvements s'effectuent d'une manière uniforme et que À se déplace sur une droite que nous prendrons pour axe des y (‘). Le segment déterminé par la

tangente sur cet axe des y est y — x di par hypothèse son

accroissement infiniment petit est proportionnel à celui de

l'arc; ou bien, en posant os = Pp,

— zdp=hvi + p'dx,

logx* + log (p+ V1 + pi) + log A =0, 2p—=A tx #4 — Ar, A A—t “-—C — Atl WL op hl, ay=C hai? A—i” *

La courbe sera donc algébrique, excepté dans le cas où À =1. ° —h+1

où nous aurons à remplacer —; a ——.

319. La développante de cercle est une autre courbe transcendante dont l'équation peut être formée sans beaucoup

Fig. 56.

(') Voir Borcren, Mémoires de l'Academie, 1:32. Correspondance il! l’École Polytechnique, t. H, p. 275; Saixt-Lavnenr, Annales de Gergont: t. AU, p. ajo.

COURBES TRANSCENDANTES. 407 de difficulté. La question se ramène à la solution du problème suivant : Si, sur la tangente en un.point P d’un cercle, on prend une longueur PQ telle qu'elle soit égale à l’arc PQ mesure à partir d'un point fixe A, trouver le lieu du point Q. Soit.a le rayon du cercle, le centre étant C, et soit p le rayon vecteur CQ; soit PCA = +, QCA = 9; alors,

PQ = pt — a’;

mais il est aussi égal à a+ par-hypothèse ; et comme |

a = 6 + arc cos 3?

l'équation polaire du lieu est

a = 0 + arc cos —a p

La développante de cercle est le lieu des intersections des langentes menées aux points où une ordonnée quelconque rencontre un cercle et la cycloïde correspondante dont le sommet est en A.

32. Nous allons terminer ce Chapitre par.quelques mols sur les spirales. Quand ces courbes sont rapportées à des coordonnées polaires, le.rayon vecteur est une fonction non périodique de l’angle qui donne une infinité de valeurs différentes quand nous faisons w= §,w = ar+9,w=—427-+6,.... La même droite rencontre donc la courbe en un nombre infini de points et cette dernière est transcendante. Prenons d’abord la spirale d’ Archimede qui est le lieu décrit par un point qui s'éloigne de l'origine d’un mouvement uniforme, tandis que le rayon qui le porte tourne autour de l'origine d'un Mouvement uniforme. L’équation polaire de la courbe est donc

P—au.

La spirale est le lieu des pieds des perpendiculaires abaisstes

COURBES TRANSCENDANTES. 409 Va + p?

devient infini. La forme de la courbe est celle que nous indiquons ci-contre (fig. 57). La sous-tangente polaire est constante. L’arc AB du cercle décrit avec le rayon vecteur OA, en un point quelconque de la courbe, est évidemment constant. Une autre spirale digne de remarque est celle dont l'équation est »?w = a?; elle a aussi une asymptote : c’est la droite à partir de laquelle on mesure w. En effet, la distance d'un point a? sinw pu décroit indéfiniment quand 2 augmente et quand, par conséquent, w diminue. |

donc la perpendiculaire est qui est égale 4 a quand 9

quelconque de la courbe à cette droite, o sinw =

322. Nous mentionnerons en dernier lieu la spirale logarithmique 9 = av. Dans cette courbe, p croît indéfiniment avec w; quand w = 0, o = 1; il diminue ensuite pour des valeurs négatives de w et ne devient nul que pour w = — x. La courbe fait donc une infinité de tours avant d'atteindre le Pôle: Une des propriétés fondamentales de cette courbe, c'est qu'elle coupe tous les rayons vecteurs sous un angle constant; car 9 devient le module du système de logarithmes qui 4a pour base; donc l'angle que fait le rayon vecteur avec la tangente a toujours ce module pour tangente trigonométrique. Cette propriété conduit immédiatement à la rectificaion dela courbe; car, si nous considérons le triangle élémentaire qui a pour hypoténuse l'élément d'arc et pour côté l'accroissement infinitésimal du rayon vecteur, nous voyons que l'élément d’arc est égal à l'accroissement infinitésimal du Ta von vecteur multiplié par la sécante de cet angle constant, €t par conséquent un arc quelconque est égal à la différence es rayons vecteurs extrêmes, multipliée par la sécante du Même angle. La longueur entière, mesurée d'un point quel- “Onque P jusqu’au pôle, étant s séc4, on la construit en éle-

L10 CHAPITÉE VII.

vant au pôle la droite OQ perpendiculaire à OP jusqu'à la rencontre en Q de la tangente en P; PQ est alors la longueur cherchée. Le lieu de Q sera évidemment une développante de la courbe; mais les angles du triangle OPQ étant constants, OQ est proportionnel à OP; il fait un angle droit avec OP; le lieu de Q est donc une spirale logarithmique, construite en faisant tourner tous les rayons vecteurs d’un angle droit et les changeant suivant un rapport donné. Réciproquement, la développée d’une spirale logarithmique est une spirale logarithmique. Le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée sur la tangente est aussi une spirale logarithmique; car cette longueur est dans un rapport constant avec le rayon vecteur el fait avec lui un angle constant. Les caustiques par réflexion et réfraction, dans l'hypothèse où la lumière émane du pôle, sont de même des spirales logarithmiques (').

(') Cette courbe a été imaginée par Descartes, qui reconnut quelques-nacs de ses propriétés. La propriété de se reproduire elle-méme de diverses manières, comme on l'a montré ci-dessus, a été découverte par Bernoulli et excita sa vive admiration.

être respectivement égales aux coordonn:

second couple d'axes; nous obtiendron-~ sistème dans lequel un point quelce: correspondra à un point P'du second Nous pouvons supposer les deux

l'autre, de manière à former un ji | cl pur UR poim

rapporlantarme - montré CSections co:

vons celle opération effectuée, il :

pendront de la superposition ad:

de ceux-c1, 1l en subsistera d'- | ;

os . que de quatre droites.

deux plans étaient distinels., «! ; |

ne fonction de &, /, m,n

le même que le rapporl

De même a quatre points

ure points dont la fonction

pas altérée. En d'autres teri.

dans des plans différents. »:

dans le mème plan; et pr:

désigner un système qu

courbes; ou bien ence: .

- iwlconques de la première

désigner tous les poin | qui leur correspondent dans

qu'on a surtout “ti À sores cela comment nous pon-

. 'rrespondra à un autre poinl

. yeauvons par conséquent con-

c'est-à-dire celle en général à une de Pa une seuil:

ce genre est L.

nous allons | .. , ; ~ + astrulrions de méme les droite

.. wa ‘oites Concourront évidemmenl ~ 2: point PY. Cette construction ~ cast ans sorent distinets ou super

32 | tom: eat tes plans superposés, et cher celi RE zcomélrique pour exprimer la Con ~ > os ides points correspondants, Soiet! qi ~ matte formé par lesdroites ov. 3 | .. cme par lesdroites correspondante-

A ot ote issues de A forment un system

+." iis correspondantes menées par À:

— Ne 7 -

TRANSFORMATION LINÉAIRE. Arid

le lieu des points d’intersection des droites correspondantes est une conique. Analytiquement, comme la droite y + ks correspond à y’+ k’z, on peut éliminer # et le lieu du point d’intersection sera y3’ = y's. De même, toutes droites menées par B et par C rencontrent les droites correspondantes sur Jes coniques fixes sz’ — xz', xy'— ya’. La construction suppose donc que, outre les trois couples de points correspondants A, A’; B, Bf; C, C', on nous donne trois coniques: fixes qui passent chacune par un couple de T Y 8 a ys montre que ces trois coniques ont aussitrois points communs. Pour construire le point du second systéme qui correspond à uw point quelconque P du premier, nous mènerons donc la droite AP qui rencontrera la courbe yz! — y'3 au point F; AF sera la droite qui correspond à PA; si nous supposons de méme que PB, PE rencontrent respectivement les coniques &— xs', ry' — yz' aux points G, H; B’G, C’H seront.respectivement les. droites. correspondantes. Les trois droites AF, B'G, C’H auront un point commun P’ qui sera le point Correspondant demandé de P. La droite qui correspond: à ue droite donnée quelconque s’obtiendra en construisant les points correspondant à deux points de la droite donnée.

points correspondants; et la forme des équations

327. Dans la méthode qui précède, la relation qui existe entre deux points n’est pas réciproque:en général; c'est-à-dire que si P, point du premier système, a pour correspondant le point P’ du second, il ne sera pas vrai que P’, considéré comme Point du premier système, aura P pour correspondant dans le second. En effet, si nous,considérons P comme appartenant au second système, nous construirons le point correspondant, €n joignant P à A’, B’, C'; supposons que ces droites rencontrent les coniquesrespectives enF’, G’, H'; alors PA’, PB’, PC’ auront pour correspondantes dans le premier systéme les

414 CHAPIT affaire qu'aux rapports muiu. HTONL ER at gant P.faire disparaître une coust::

de transformation homu::1…

comprenant huit constu.

- saints Ly M, N commun:

— 23, AV — vu la con - A, LB, LC correspondront .. LB, LC’. Il en résulte que