C,;=160L + P?— 2P?L — 66P*R + PL

+ 64PLR + 12 PR? + 34L*?R + 232 LR! + 296R°.

301. Nous allons maintenant chercher les invariants du douzième ordre par rapport aux coefficients. Nous pouvons former l’invariant cubique de la quartique S au moyen des formules

L'= 216R', P'—6(Q? — 2PQR — 4R*Q +2 P*R?

— 3PLR? + 4PR*+ 6LR? + 3R‘), R'= Q? — aLKQ — Pp? RR? — aPR3 + L? R? + 4 LR? — R;

D, — 4Q* + Q(— 6RP — 2LR — 12R?) + 5P? R? — 6PLR* +10PR? + L? R? + 22LR*+ 44Rt.

En effectuant l'opération + sur C,, nous obtenons D, = 24Q?+ Q(4P* — 4PL — 84PR — 20 LR — 248 R?)

— 4P?R — 14P?R*+ 4PLIR + 144PLR?

+ 444 PR? — 18L?R*? — 84 LR? + 216R‘

et, en combinant ces deux derniers résultats, nous avons . D, — 6D, — ADs, où D, = Q( P? — PL — 12 PR — 2LR— 44R?)— PSR— 11 P*R? + PL?R + 45 PLR? + 96PR? — 6L?R* — 54LR? — 12R,.

Au moyen de ces invariants et des autres que nous avons déjà donnés, nous pouvons exprimer les autres invariants du dou-

ème ordre, tels que (C2) et le discriminant du contrava- Mane +.

INVARIANTS ET COVARIANTS DES QUARTIQUES. 383

Les trois autres invariants du systéme de coniques sont aussi des invariants du méme ordre de Ja quartique; et en outre nous pouvons aussi calculer D,, D2, .... Toutes ces quanlités s'expriment en fonction de E, et de Ez, cette dernière quantité étant FE, — 16(L — P — 2R)Q?

+ (3P3 — 5P?L — 6P?R + PL* — 228PLR — 2172 PR? + L3 + 298L*R -- 2636 LR?— 4296 R*)Q --R(— 12 P* +- 44 PSL — 52 P?IE* - 20PL*) -~- R?( 348 P? — 852 P?L — 308 PL? + 324L*) + R3(1320 P? — 416 PL — 216L?) + 720PR* + 11376 R* — 864R°.

[lv a aussi deux invariants indépendants du dix-huitième ordre; le premier, qui est le C, du contravariant du quaème degré, est Fy = 12803 + Q?

(— 48P? + 80PL + 368PR + 32L*? — 528LR — 160R?) + O(gP* — 12 P?L — 108 P?R — 2 PPL? + 324P*LR - 240 P*R? + 4 PL? + 60 PL?R — 288 PLR? + 528 PR? «- L* — 20L5R — fooL? R? — 2512 LR? — 144R°) — 18P5R —24 P*LR — 27 P* R? — 4 P?L?R + 180 P3 LR? - 60 P? R?-+-8 P? L? R--114 P?L? R? -|-- 716 P? LR? + 288 P°R° — 2PL*R — 44 PLR? -+ 52 PL? R* — 592 PLE + 288 PR! — 21 L'R? — 60 L?R? — 720 L? R* — 2076 LRS + 240 R°. B= 198Q3-- Q?(— 8P? — 240PL — 5312PR + 312 L° + 9936LR + 11680R?) + Q(—18P§+ 54P5L + 1146P?R — 54 P?L?

— 1978 P?LR - 7548 P? R? + 18PL? + 262PL?R — 4432 PLR*-— 49272 PR? + 570 L?R + 1620 L? R? + 6648 LR? + 77808 R') + 24P3R—76P*LR — 1224 P*R?+ 84P°L?R + 2622 P? LR? — 13032 P? R3 — 36 P? L?R — 946 P? L? R? +. §268 P? LR? — 30192 P?R*+ 4PL'R — 822 PLSR* — 368 PL? R° — 53584 P LR — 5472 PR? +114 L'R?— 1524 LR?

— 14712 L?R* — 113904 LR° + 25920 R°.

. ‘ene pe

COURBES TRANSCENDANTES. 387 dit, la courbe peut être engendrée en prolongeant les ordonnées d'un cercle jusqu’à ce que la partie prolongée soit égale à l'arc correspondant mesuré de l’extrémité du diamètre. En représentant l’angle PCN par 4, la courbe rapportée aux axes AM et MN est représentée par les équations

y=a(i+ cost), r—a(8 +sin8).

304. Il est facile de voir comment on peut mener une tangente à la courbe; en effet, à un instant quelconque du mouvement du cercle générateur, zr (son point le plus bas) est en repos, et le mouvement de tout point du cercle est pour ce moment le même que s’il décrivait un cercle ayant m pour centre; donc la normale au lieu du point p doit passer par m et'sa tangente doit être parallèle à NP. On arrive au même résultat analytiquement à l’aide de l'expression

La tangente fait donc avec l’axe des x un angle qui est le complément de CNP, ou qui est égal à $9.

llest si facile de donner des démonstrations géométriques de quelques-unes des principales propriétés de la cycloïde que nous les citerons ici. L’aire de la courbe est égale à trois fois l’aire du cercle générateur. En effet, l’élément de l'aire extérieure (pp'rr' = pp'tt' = PP’QQ’) est égal à l'élément de l'aire du cercle: l’aire extérieure tout entière AENFB est donc égale à celle du cercle, et par conséquent l'aire intérieure ANB est trois fois l'aire du cercle.

L'arc Np de la cycloide est le double de la corde NP du cercle.

Il est facile de voir que le triangle PP’L est isoscèle et que, Par conséquent, si l’on abaisse une perpendiculaire MK sur la base PL, l’accroissement infinitésimal de l'arc de la cycloide est double de l'accroissement PK de la corde du cercle.

Donc, si s représente l'arc de la cycloide, b le diamètre du cercle générateur, x l’abscisse NQ comptée à partir du sommet, l'équation de la courbe est s?= 46x; cette forme est très utile en Mécanique.

Le rayon du cercle de courbure est double de la normale.

En effet, le triangle formé par deux normales consécutives a ses côtés parallèles à ceux du triangle PMP’. Mais la base du premier triangle est égale à PL, et, comme nous l'avons démontré, elle est le double de la base PK du second; donc le rayon de courbure est double de MP.

La développée de la cycloide est une autre cycloide.

En effet, si nous supposons qu'un cercle soit tangent à la base en m et passe par le centre de courbure R (fig.53), il sera

égal au cercle générateur et l’arc mR sera égal à NP = nD: donc le lieu de R est la cycloïde décrite par le cercle mRa roulant sur la base EF (‘).

(') Les propriétés de la cycloïde ont été beaucoup étudiées par l plus grands mathématiciens de l'Europe, pendant la première moitié dt xvu* siccle. Leur attention a été appelée la première fois sur ces pr

Nous pourrions aussi chercher le lieu d’un point quelconque du plan du cercle générateur, entraîné par celui-ci dans son mouvement de roulement; quand le point est hors du cercle, le lieu s'appelle une cycloïde allongée; quand il est en dedans, une cycloïde raccourcie. Ces lieux ont aussi été appelés trochoides. Il n’est pas difficile de calculer leurs équations ou de déterminer leurs figures, mais il ne semble pas nécessaire de nous y arrêter. La méthode donnée pour mener des tangentes à la cycloïde s'applique également à ces courbes. Ces dernières peuvent (le lecteur s’en assurera facilement) être engendrées par un point de la circonférence

d'un cercle qui roule de telle manière que l’arc pm soit dans un rapport constant avec la droite Am. |

305. Après avoir recherché les propriétés de la cycloide, on était conduit par une extension toute naturelle à discuter la courbe engendrée par un point d’un cercle qui roule sur la circonférence d'un autre cercle. Quand le point est sur la circonférence même du cercle, la courbe engendrée s'appelle épicycloïde ou hypocycloide selon que le cercle roule à l'extérieur ou à l'intérieur du cercle fixe. Si le point générateur n’est pas sur la circonférence même, la courbe a reçu le non d’épitrochoide ou dhypotrochoide.

Prenons pour axe des x la position du diamètre commun aux deux cercles, qui passe par le point générateur ; soient CO a

blèmes par Mersenne. Mais Galilée a des droits à être regardé comme l’in- Veateur de la description de cette courbe. N'ayant pu obtenir la quadrature de la courbe par des méthodes géométriques, il essaya de résoudre le pro-

meen pesant l'aire de la courbe et en comparant le résultat obtenu au Poids du cercle; il arriva à cette conclusion que la première aire était à Peu près, mais pas exactement trois fois la dernière. Le problème de la qua-

lure a été résolu d'une manière exacte par Roberval en 1634. La méthode Pour mener les tangentes à été découverte par Descartes, la rectification Par Wren, la développée par Huygens, plusieurs autres propriétés imporlantes par Pascal.

COURBES TRANSCENDANTES. 391 qu'à faire d = + b, ce qui nous donne

y =b(msine + sinme), z= b(m cosy + cosme);

le signe inférieur correspond au cas où l’axe des x passe par le point générateur quand il est sur le cercle fixe; le signe supérieur, quand il en est à la plus grande distance.

306. Les coordonnées pour le cas de l’hypocycloïde et de l'hypotrochoïde s’obtiennent, comme le lecteur le vérifiera asément, en changeant le signe de b dans les équations données ci-dessus. Elles se trouveront comprises dans les équa-

tions dont nous ferons usage, si nous donnons à m des valeurs

. . . a—b négatives, OU Si NOUS SUPPOSONS M — — A, OUR = >’

Si, dans les équations ci-dessus, nous changeons b en mb

el men ~? elles deviennent mb( — sine + sin = — §1 — y m Sing + sin 9); I I r= mb (= cose + cos me ) ’ m m

tl,en posant © = mv, nous voyons que les équations apparlennent au même lieu que les précédentes. Nous pouvons ainsi démontrer qu’on engendre la même hypocycloïde en Prenantb—{(c+a)[Eurer, Deduplicigenestepicycloidum (Acta Petrop., 1784)]. Quand le rayon du cercle généraleur est plus grand que celui du cercle fixe, l’hypocycloïde Peut aussi être engendrée comme épicycloïde; car alors m( = — >) est positif.

307. On peut facilement mener les tangentes à ces courbes; Car le même raisonnement que celui du n° 304 montre que la droite NQ est normale à la courbe. Nous pouvons aussi

392 > CHAPITRE VI voir de cette manière que, quand une courbe est engendrée par un point de la circonférence d'une figure roulant sur une autre figure, il doit y avoir un rebroussement en tout point où le point générateur rencontre la courbe fixe. En effet, - d'après cette construction, en chaque point de cette espèce, le point générateur s'approche de la courbe fixe suivant la direction de la normale et s'en éloigne dans la même directions ily a donc là un point stationnaire. Uneépicycloïde secompose . d'un nombre de portions similaires, dont chacune est réunie à la suivante par un rebroussement; et les rayons menés du centre aux extrémités de l'une de ces parties sont inclinés l'un sur l’autre d’un angle égal à aah Quand les rayons des cercles sont commensurables et par suite quand la courbe est algébrique, le nombre des rebroussements est fini ; mais, quand la courbe est transcendante, le nombre des rebroussements est infini. Tout point de la base devient à son tour un point de | rebroussement, et par conséquent cette base peut être dite le lieu des points de rebroussement de la courbe; il est chit | toutefois que deux points consécutifs de la base ne sont pas. des points consécutifs du lieu.

308. Ces courbes, de même que les épitrochoïdes en généril, ont en outre un certain nombre de points doubles crunodaux ou acnodaux ; ce nombre est fini pour les courbes algébriques, infini pour les courbes transcendantes, et tous les points doubles sont rangés sur des lieux circulaires, Considérons les équations (n° 305) 4 i

y=mbsing—dsinmg, 2 =mbcosy — doses où 2 = 0 correspond à ce que nous pouvons regarder comme la position initiale du point générateur, c'est-à-dire celle où il est sur la droite qui réunit les centres; nous supposons que cette droite ait été prise pour axe des æ et que la distance initiale de l'origine au point générateur soit mb — d, Maisil

Se MR DR + nd

mt ee. sp,

(c) quand m est une fraction dont le numérateur et le dénominateur diffèrent d'une unité. Si nous élevons au carré et ajoutons les équations

r= mbcosne— dcos(n+'1)9, y= mbsinng — dsin(n +1)? nous avons z+ y? = mb? + d*— 3 mbd cose.

En déduisant cos ® de cette équation et le portant dans la

valeur de x, l'élimination se trouve effectuée.

Exempte I. — Trouver l’épitrochoide en général pour d = mb. Les équations sont alors réductibles a la forme

t=adsin + (m—1)9sini(m+1)9, y=2 dsinl(m—i)?cosi(m+1)z;

il est donc évident que 4 (m+ 1)9 est langle w que le rayon vecteur

N ’ , . . . MA — 1 fait avec l’axe des y; et l'équation polaire est p = adsin pure

Exempce II. — Trouver les équations de l’épitrochoide et de l’épicycloïde quand les rayons des cercles sont égaux et par conséquent m = 2. En opérant comme dans (c) avec les équations

x=2bcose—dcos29, y=2bsing — d'sin2e, hous trouvons (zt+ y? —2 bt — dt}? = {63( 01 + 2d? —adz),

equation d’une Cartésienne ayant + — 0, x =d pour points doubles, Comme on peut facilement le vérifier; c'est donc un dimacon. Nous Yoyons, d’après la théorie déjà exposée, que ce point correspond à la

Valeur cose = 2. Quand donc d est plus grand que b, c’est-à-dire

quand le point générateur est en dehors du cercle mobile, le nœud torrespond à deux positions réelles du cercle mobile et par suite est ‘runodal; mais si le point est intérieur au cercle mobile, le nœud ne ‘orrespond à aucune position réelle de ce cercle et la courbe est acnodale.

Le cas de l'épicycloïde s'obtient en posant d= 6, ce qui donne

(x? + y?— 301} = 5 63(3b—azr).

1 iy

COURBES TRANSCENDANTES. 397 Cette forme se ramène aisément à celle qu'on a considérée dans cet exemple.

Exempte VI. — Trouver Uhypocycloide quand le rayon du cercle fixe est égal à quatre fois celut du cercle mobile.

Nous avons m = — 3. L’équation de la tangente est 2 sing +y cose = 2bsin29, et celle de l’enveloppe 2 2 2 vt + y? =(46)?.

311. Il est facile de former l’équation de la réciproque dune épicycloide. En effet, l’équation de la tangente étant rcosi(m+1)9-+ y sing (m+ 1)9 =(m-+1)bcost(m— 1)9,

lest évident que la perpendiculaire à cette tangente fait un angle $(m-+-1)9 avec l’axe des x et que sa longueur est (m+ 1)b cos$(m — 1)9; par conséquent, le lieu du pied de cette perpendiculaire est __ ; ) W }»

. m—t el la courbe réciproque est p cos (= = ») =(m-+1)b.

m p=(m+ 1) boos (7

Le rayon de courbure est donné par la formule R = pap | dp Dans la courbe primitive, nous avons

P= 2+ y?— 6 [m*+ 1+ 2mcos(m— 1)9]

ou pt= b*(m — 1) + 4mb*cos*)(m— 1)9, p? = a? + ante donc R= ai EP (9.

qq

(') L'invention des épicycloïdes est attribuée à l’astronome danois Ramer Wi, en 1674, fut conduit à étudier ces courbes en cherchant la meilleure forme à donner aux dents d’engrenages. La rectification de ces courbes té donnée par Newton (Principia, Liv. 1, prop. 49).

CR ee sent d

th wep st. -

des ordonnées positives et constamment croissantes jusqu’à

Te . e e ® a x=; les ordonnées décroissent ensuite de la même manière

jusqu’à x == x, où la courbe coupe l'axe des x sous un angle de 45° et présente une portion négative semblable comprise entre 2 = net x — an. La courbe se compose donc d’une infinité de portions semblables qui alternent de chaque côté de l'axe des x.

De même, y = tang, représente une courbe dont les or-

données croissent régulièrement depuis x = o jusqu’à x = -;

wo | al

pour cette valeur, y devient infini et la droite x = = est une

asymptote. Pour des valeurs plus grandes de x, y devient négatif et croit de l'infini négatif à zéro, pour x = x. La courbe secompose donc d’une infinité de branches infinies, ayant une

“pe, T infinité d’asymptotes x = DIS an, y= n,...et, comme

on le voit facilement, une infimité de points d'inflexion en t= 0, TT, LT==2TN,....

De même, le lecteur pourra discuter la figure de y sécx qui se compose aussi d’un nombre infini de branches infinies : seulement chaque branche, au lieu de couper l’axe, comme dans le dernier cas, est tout entière d’un même côté de cet axe. Les branches sont alternativement du côté positifet néguf de l'axe des x. A la même famille appartient une courbe appelée la compagne de la cycloïde. Elle est engendrée en prolongeant les ordonnées d’un cercle, non pas comme dans le cas de la cycloïde, jusqu’à ce que la partie prolongée soit égale à l'arc, mais jusqu’à ce que l’ordonnée tout entière soit égale à l'arc. Si le centre est l’origine, la courbe est représentée par les équations

y x=acos6, =a, r=acos (2);

C'est une courbe de la même famille que la sinusoide.

côté positif de l'axe donee e

valeur positive et réelle de ef

ponde à cette valeurnégati tinue dans celte région car, le

réelle et positive. expression ‘les valeurs de l'ordonnée, s’o sions numériques de e* par lee dont l'expression générale est devant recevoir successivement

RTE eS —

COURBES TRANSCENDANTES. hor

i représentant, comme d'habitude, la quantité : —1. Ceci revient à dire que l'équation y = e* doit être considérée comme représentant non seulement une branche réelle, mais encore une infinité de branches imaginaires comprises dans la formule y = e*{+?#i®, Une quelconque de ces branches imaginaires contient un nombre de points réels : ce sont ceux où elle rencontre la branche e*"*+*”'™ et qui doivent être considérés comme des points conjugués sur la courbe. Il y a une infinité de ces points qui se trouvent tous sur la branche réelle de la courbe ou sur la branche similaire du côté négauf de l’axe des x. Cette dernière branche est curieuse: car, bien que chacun de ses points puisse ètre considéré comme appartenant à la courbe logarithmique, il n’y a pas deux points qui soient consécutifs, puisque deux points consécutifs appartiennent à des branches différentes. On a icice que M. Vincent appelle une courbe pointillée. Cependant M. Vincent me parait être tombé dans une grosse erreur sur un point. Il dit que les points de cette branche doivent être soigneusement distingués des points conjugués; car, en un point conjugué, les coefficients différentiels ont des valeurs imaginaires, tandis qu'en un de ces points, du côté négatif de l'axe, les quotients diférentiels, étant tous égaux à e*, sont tous réels et diffèrent seulement par le signe des points correspondants situés du côté positif de l’axe. Il est vraiment étonnant que M. Vincent n'ait pas observé que, si les coefficients différentiels étaient tous réels, il résulterait du théorème de Taylor que le point immédiatement consécutif serait un point réel de la courbe, etque la branche négative serait une branche ordinaire de la même courbe. Mais, par le fait, un quelconque de ces points doit être considéré comme appartenant à une branche dont l'équation est y —e"(+2#V-1) et le quotient différentiel Correspondant sera yGi+omr ÿ—1). Si donc on considère Un point acnodal en général comme l'intersection de branches imaginaires, de même qu’un point crunodal est l'intersection S. — Courbes planes. 26

la constante étant prise de manière que s et z s’annulent en même temps. Il en résulte que

LT r 2 2 x LT e +e = e —e = — .

Mais l'équation de la courbe donne, de la même manière,

s'+c? ds dv— s ds ® dy! PT VJrre

Donc y? = 5? + c?, pourvu qu’on suppose les axes pris de manière que, pour zou s = 0, on ait y = c. Cette valeur de y donne immédiatement l’équation de la courbe, à savoir :

c ( ra -@) = — é — e e JY à Une notation très commode est la suivante :

5 (e7 +e ~*) =cosha, 3 er 6 *) = sinhe

(lisez sinus et cosinus hyperboliques). Nous avons alors pour la chainette

x T y =ccosh =? æ—ccosh 2