CHAPITRE III. ENVELOPPES

Les deux formes sous lesquelles se présente le probléme des enve-

loppes ......... wee c eee cere eect ener ester enna wee ccc reece wees 96 Enveloppe d'une courbe dont l'équation ne renferme qu’un seul para-

métre................ ses cesser Th Enveloppe de a cos" —- bsin®6 == c.....,........................... gy Equation de la courbe paralléle à une conique.................. . 101 Enveloppe d’une droite dont l'équation ne renferme algébriquement

qu'un scul paramètre; ses caractéristiques......................... 102 Enveloppe d’une courbe dont les paramètres sont liés entre eux..... 104 Méthode des multiplicateurs indéterminés............,.............. 103 Enveloppe d'une courbe dont l'équation renferme des paramètres indé-

CG | 44e. cnrs 106 Explication d'une difficulté qui se rencontre dans la théorie des enve-

CY 0 0 oo de ett e eee reer eeees 107 Courbes reciproques ................................ nosssessssss.e 109 Méthode pour former l'équation de la réciproque...... sos. css... 110 Réciproque d'une cubique .................... ..............,..... 111 Forme symbolique de l'équation de la réciproque............. sou... 111 Réciproque d'une courbe du quatrième degré...............,..,.... 112 Equation du système de tangentes issues d'un point................ ° 113 Equation de la réciproque en coordonnées polaires.................. 114

Condition de contact entre deux courbes............... cosssnossss 119

XVI TABLE DES MATIERES

Son ordre par rapport aux coefficients de chaque courbe..... cor Deéveloppees............... wee e eens vee e ee eeee sors css mo: Définition comine enveloppe de normales ..... cos wee cece ee ees Coordonnées du centre de courbure...................... ces morue Expression générale du rayon de courbure................ ......... Longueur d'un arc de développée... ..................,..,......... Rayon de courbure en coordonnées polaires.......... ccc eee wee eee Développées des courbes délinies par des équations tangenticlles..... Quasi-normales ct quasi-développées ........... desereseeesersees Quasi-déveluppée d'une conique ........ sossssssreserssesessesesse Forme générale de l'équation d’une quasi-normale......... eee e eee Normale d'un point à Pintini................. des cece cece e eee ee ees Caractéristiques d'une développée................................... Genre d'une développée... ........................ soso. soso wee

Condition pour que quatre points consécutifs d'une courbe soient situés

sur un même cercle.......................444 ses Caustiques............................4444 esse Caustique par réflexion d'un cercle............................... .… Méthode de Quetelet..........................................42. Podaire d'une courbe................, sossrsessssesessessesesesesees Caustique par réfraction d'une droite et d'un cercle................. Développée d'une Cartésienne.......................,..,44..44..... Courbes parallèles et podaires negatives.......................... Formules de Cayley pour les caractéristiques des courbes parallèles. . Problème des podaires négatives... ............,...,......,....,..... Méthode de Roberts.............................. bce eee eee eeees Méthode des courbes inverses..............,............,........... Caractéristiques d'une courbe inverse et d'une podaire............... Caustique par réflexion d’une parahole.............................. Podaire négative d'une ellipse rapportée à son centre ou à son foyer.

Théorème de Newton................................... eee eee eee

Théorème de Carnot sur les transversales.......... bce e cece eee .

Les trois points d’inflexion d'une cubique sont situés sur une même droite . sunsssssesessses sossssesssrosese beeen tence tence

Les deux espéces de bitangentes dune courbe du quatriéme degré... Diamètres.................,....,,.,44 esse. wees Généralisation de la notion “des diamètres par Newton. Lecce eee eee . Théorème sur les segments d’une sécante compris entre une courbe et ses asymptotes............ steve eee eeeees

TABLE DES MATIÈRES. XVII

Pages Diamètres curvilignes.............................,....... sossorsse 166 Centres.......................,..444 css sessssssscsee so... 167 Pôles et polaires.......................... ss sus 165 Théorème de Cotes sur la moyenne harmonique des rayons vecteurs. 168 Courbes polaires...........................,..4.... ses. 169 Polaires des points à l'infini........................................ 169 Pôle de Ja droite à l’infini............................,............. 170 Généralisation donnée par Maclaurin au théoréme de Newton....... 170

Pôle de la droite à l'infini par rapport à une courbe de la ni classe. 171 Ses propriétés métriques; centre des moyennes distances des points

de contact de tangentes parallèles................................ 1-2 Foyers...................,.. snnoorssosessesssssssssesessse css 153 Définition générale des foyers...................................... 153 Nombre de foyers d’une courbe.............,...... ete cec cence ss. 174 Antipoints........................... css rensesensee énssssresuses 179 Détermination des coordonnées des foyers............ sors. sos... 179 Lieu d’un point tel que les tangentes issues de ce point fassent avec

une droite fixe des angles dont la somme soit constante........... 178 Tout foyer d’une courbe est un foyer de sa déveluppée............ eee 17 Théorémes relatifs aux perpendiculaires abaissées des foyers sur les

LANFENUES. 00. cece cence reece cee r cree renee erase eeesenee vue. 17 Théorèmes relatifs aux angles compris entre les ravons foraux et une

To 0 secs 181

Théorèmes relatifs aux distances focales d’un point situé sur la courbe. 182 Lieu du foyer double d’une courbe circulaire déterminée par N —3points. 183 Lieu du foyer d'une courbe de n*™* classe définie par N — 1 tangentes. 184 Théorème de Miquel sur les foyers des paraboles tangentes à quatre quelconques de cinq droites données.............................. 185

Division générale des cubiques............................,........ 186 Section I. — Intersection d’une cubique donnée avec d’autres courbes. 187 Définition du tangentiel d’un point et de la satellite d'une droite..... 188 Les asymptotes rencontrent la courbe en trois points collinéaires a

distance finie..............,.......,,.. és ssssessseesssessssese 188 Les quatre points de contact des tangentes issues d’un point de la

courbe; leurs relations. ...... ..........,.....,.......,,,.....,.. 199 Théorie de Maclaurin sur la correspondance de points sur la courbe.. 101 Corésiduel de quatre points d'une cubique..................,....... 193 Mener unc conique ayant un contact quartiponctuel avec une cubique

el tangente à celte courbe en un autre point....................... 194

S. — Courbes planes. b

XVI TABLE DES MATIERES

Conique à contact quintiponctuel; sa construction................... Points à contact sextiponctuel sur une cubique..................... Théorie de la résiduation de Svlvester.............................. Deux points corésiduels doivent coïncider........................... Deux systèmes corésiduels à un autre même système sont corésiduels

CRÈTE QUX.......... eee eos essences Théoremes de la théorie des cubiques analogues aux théorèmes anbar-

moniques des ConIques..................... esse... Lieu du sommet commum de deux triangles dont les bases sont don-

nées et les angles opposés égaux ou avant une différence donnée.

Secriox II. — Pôles et polaires............... ..................... Construction de la polaire d'un point par rapport à un triangle..... Construction à l'aide de la régle de la polaire d'un point par rapport

à une cubique.......... .................... wee eee cee eee eee Le rapport anharmonique du faisceau des quatre tangentes issues d'un

point situé sur une cubique est constant. ...................... . Deux classes de cubiques non singulières.............. ............

Les seize fuyers d'une cubique circulaire sont situés sur quatre cercles. Les cordes issues d'un point d'une cubique sont divisées harmonique-

Toutes les cubiques inenées par les neuf points d'inflexion ont aussi

ces points pour points d'inflexion.......................,......... Correspondance de deux points sur la Hessienne.................... La Steinérienne d'une cubique est identique avec sa Hessienne....... La Cayleyenne; ses différentes définitions....... ssesssssesss sos La droite polaire par rapport à une cubique d'un point de sa Hessienne

est tangente à cette Hessienne........................... 4...

Tangentes communes à une cubique et à sa Hessienne.............

It y a trois cubiques qui ont la même Hessienne....................

Règle pour trouver le point de contact d'une tangente quelconque à la Cayleyenne........................,....... eee cence eee eens

Points de contact des tangentes stationnaires avec la Cayleyenne.... Coordonnées du tangentiel d'un point d'une cubique; comment on les calcule..........................,.4.4 ses.

Conique polaire d'une droite par rapport à une cubique...... ....... Ses relations avec le triangle que forment les tangentes aux points où

la droite coupe la cubique.............................,..,..... Points doubles; leur situation par rapport à la droite et à la conique

0) ED ss sons Conique polaire de la droite à l'infini............................... Autre méthode pour former l'équation tangentielle d'une cubique... Points dont les polaires par rapport à deux cubiques sont les mèmes. Centres critiques d'un système de cubiques..........................

Lieu des points doubles des cubiques nodales qui passent par sept points.

TABLE DES MATIÈRES

Classification de Plücker pour les cubiques........................... Section III. — Classification des cubiques........... weet eee ee cence Toute cubique peut ètre projetée suivant l’une des cinq paraboles di-

vérgentes................... ssusonsu.e eee eee e cece nes cocevces oe Et suivant l’une des cing cubiques à centre......................... Classification des cônes du troisième degré............ ee cece ee eees . On ne peut mener d'un point d’un ovale aucune tangente réelle à la

courbe.......... wee cece cece een cee ee cece ee cece reece sous. Cubiques unipartites et bipartites................. sossssessessse wee Méthode de Newton pour réduire l'équation générale............. wee Groupes de Plücker..................,........... sesossessssessssse Secriox IV. — Cubiques unicursales. ...... wee eee eee e ae etee rene - Inscription de polygones dans les cubiques unicursales............ os Cissoide; ses propriétés............ css. soso. ssnosee wee Une cubique acnodale a trois points d'inflexion réels; ils sont imagi-

naires pour une cubique crunodale............ soso sus. sv... Construction d’une cubique acnodale, connaissant trois tangentes d’in-

flexion.............,...............,.. sous sosssssssssssssee eee.

Expression générale des coordonnées en fonction de parameétres...... Secriox V. — Jnvariants et covariants des cubiques.................

Forme canonique d’une cubique...................... sors. sons Notations pour l'équation générale............. wee cece eee ss ce Equation générale de la Hessienne et de la Cavleyenne........ ss... L'invariant S et sa forme symbolique............... sonnsssossosess L'invariant T...... sonores we cee cence sou. soso wees cece eeees Equation générale de la réciproque........... eee eee ee cece eee Calcul des invariants au moyen d'une équation différentielle........

Expression du discriminant en fonction des invariants fondamentaux. Hessienne de AU +uH............................,,..,4.4.20 Conditions pour que l’équation générale représente trois lignes droites. Réduction de l’équation générale à la forme canonique. cece eee cece Expression du discriminant en fonction des invariants fondamentaux. Rapport anharmonique des quatre tangentes issues d'un point situé

sur la courbe......... eect cece eres bee cee cece eee eees eee te eees Expression des covariants cubiques sous la forme AU + aH. soso Covariants du sixième degré..... sorosimressseses nero soso. Le covariant gauche........... ...............,................... Équation des neuf tangentcs d'inflexion............. eee cree eee ies Equation de la Cayleyenne en coordonnées ponctuelles .............. Identité utile dans la théorie des cubiques..... .......... ..... eee

Conique qui passe par cing points consécutifs d'une cubique.....

Equation de la cubique en fonction de quatre droites coordonnées... Conditions pour qu'une cubique représente une conique et une droite. Expression sous forme de déterminant du discriminant d'une cubique? Hessienne de PU et de UV... .... .......................... so...

XX TABLE DES MATIERES

Pages.

Les différentes espèces de quartiques....................,........... 302 Formes spéciales de quartiques..................................... 303 Exemple des différentes formes..............................,...... 305 Distinction entre le réel et l’imaginaire............, ............... 307 Points flecnodaux et biflecnodaux ....................,. .........., 308 Une quartique peut avoir quatre points d’ondulation réels........... 309 Les quartiques peuvent être quartipartites.......................... 311 Classification des quartiques par Zeuthen............................ 312 Nombre des bitangentes réelles....................,................ 312 Points d’inflexion; combien il y en a de réels......... Lossesessssese 313 Classification des quartiques eu égard à leurs branches infinies...... 315 Tangentes doubles...........................................4..... 319 Discussion de l'équation UW = V?.......... ccc cece cee eens Los 317 Il y a 315 coniques passant par huit points de contact de bitangentes. 322 Tableau de ces coniques..................... .. ................... 323 Algorithme de Hesse pour les bitangentes............... enrosssonse 327 Méthode de Geiser pour rattacher les bitangentes à la géométrie de AY 0:0 esse messes 327 Règle de M. Cayley pour la substitution bifide...................... 328 Bitangentes dont les points de contact sont situés sur une cubique.. 330 Discussion des bitangentes par Aronhold............................ 331 Etant données sept bitangentes, on peut trouver les autres au moyen de constructions linéaires........................................ 334 Recherches algébriques d’Aronhold................................. 336 Quartiques binodales et bicirculaires.............................. 339 Les tangentes issues des nœuds forment des faisceaux homographiques........................... crete eect esssscsssses cos 310 Les foyers d'une quartique bicirculaire sont situés sur quatre cercles. 342 Génération des quartiques bicirculaires de Casey................... 343 Il y a deux classes de quartiques bicirculaires............ ......... 346 Relation entre les distances focales d'un point situé sur une quartique bicirculaire...............,.,44 eee eee eee eee eee eee cease teen eens 347 Les quartiques bicirculaires homofocales se coupent à angle droit.... 348 Recherches de Hart...................,...,........................ 350 Cartésiennes............................,........... Lenseserseseree 353 Le limaçon de la cardioïde.....................,.,......,... 4... 355 Propriétés focales obtenucs par inversion............................ 355 Inscription de polygones dans tes quartiques binodales.............. 356 Quartiques unicursales.....................,... ss. 359

Correspondance entre les coniques et les quartiques trinodales...... 359

TABLE DES MATIÈRES. XX

Pages.

Les tangentes aux nœuds ou issues des nœuds sont tangentes à une ‘ mème conique........... ssssse css: ses RESTE .…... 361 Quartiques tacnodales et oscnodales................... cote c cece eee . 363 Points triples....................,.............. bec e eee e cee enes 365 Expression des coordonnées en fonction d’un parametre............. 366 Invariants et covariants des quartiques........................... 3-0 L'équation générale ne peut pas être réduite à la somme de cinq bicarrës.......,...,.....,..44 ccc ce teen eee e cnet eee nneteeeeneeeee 392 Quartiques covariantes..............,..........................s.. 376 Examen d’un cas particulier......................,..,..... ee eccees 399 Coniques covariantes............................................... 382 CHAPITRE VII.

COURBES TRANSCENDANTES, La cycloïde.......................................,.,. 8. 385 Démonstration géométrique de ses propriétés........................ 384 Epicycloides et épitrochoïdes....................................... 389 Leurs développées sont des courbes semblables...................... 394 Examen de cas particuliers..........,......................,....... 395 Le limaçon engendré comme épicycloïde............................ 399 Enveloppe de la droite de Steiner.................................. . 396 Réciproque d'une épicycloïd=.,..................................... 397 Rayon de courbure des roulettes..............,............,........ 398 Courbes trigonométriques...................................,..,... 398 Courbes lagarithmiques............................................ 400 Chalnettr......................4 esse seeeesecnceceeces ho2 Tractrice et syntractrice....................... ess... 404 Courbes de poursuite..............,..... vette eee e cence bocce cree cece 405 Développante d’un cercle.................,..,.......,............ 406 Spirales ............................................... cece eee cece 407 CHAPITRE VIII.