DES

COORDONNEES.

COORDONNEES DE POINT.

1. Le plan renferme une droite toute spéciale, la droite de l'infini; sur celle-ci sont situés deux points particuliers (imaginaires) : ce sont les points circulaires à l'infini. Un théorème de Géométrie peut n'avoir aucun rapport avec cette droite et ces points: on dit alors qu'il est descriptif; dans le cas contraire, il est métrique.

2. Les coordonnées dont on fait usage pour déterminer la position d’un point dans un plan sont les coordonnées cartésiennes (rectangulaires ou obliques) ou les coordonnées trilinéaires; ces dernières comprennent toutefois les premières comme cas particulier. D’une manière générale, nous pouvons dire que les coordonnées cartésiennes (rectangulaires) sont celles qui se prêtent le mieux à la discussion des propriétés métriques; tandis que les coordonnées tri-

(') Ce Chapitre a été rédigé par M. Cayley.

S. — Courbes planes. t

COORDONNÉES. 3 donner à la définition les diverses formes qui suivent et qui ont le même degré de généralité : les coordonnées trilinéaires (x, y, 2) d’un point du plan sont proportionnelles à des multiples donnés des distances perpendi-

culaires.................. ss des muluples des distances mesurées suivant des | gy point directions données....................... à trois

des multiples donnés des distances mesurées | droites suivant une seule ct même direction donnée.. | données.

aux distances mesurées suivant des directions données......,........,.......s.sscse.

Les trois droites données, par exemple les droites z = 0, y = 0,3 = 0, sont appelées les axes de coordonnées, ou simplement les axes ; et le triangle qu’elles constituent a reçu le nom de triangle fondamental, triangle de référence, ou smplement de triangle.

Remarquons que, tant que les quantités (x, y, 2) restent indéterminées, en ce qui regarde leur grandeur absolue, il ne peut exister de relation identique qui les lie les unes aux autres ; et, comme les équations dont nous faisons usage sont nécessairement homogènes, elles expriment des relations entre les rapports mutuels des coordonnées.

5. Il n’y a pas, en général, d'avantage à fixer les grandeurs absolues des coordonnées ; mais nous pouvons le faire, si nous voulons, et spécifier que les quantités (z, y, 2) seront respectivement égales à (ap, Bq, yr). Dans ce cas, les coordonnées sont liées par la relation

cette relation sert à déterminer les grandeurs absolues des coordonnées (x, y, 3) d’un point particulier quelconque, quand leurs rapports sont connus.

XVIII TABLE DES MATIÈRES

Conique à contact quintiponctuel ; sa construction....... nsssososess Points à contact sextiponctuel sur une cubique..................... Théorie de la résiduation de Sylvester................ sonner Deux points corésiduels doivent coïncider............,.............. Deux systèmes corésiduels à un autre même système sont corésiduels entre eux.......................... ns soon Théorèmes de la théorie des cubiques analogues aux théorèmes anharmoniques des coniques....................,...... . cesse Lieu du sommet commum de deux triangles dont les bases sont données et les angles opposés égaux ou ayant une différence donnée... Section II. — Pôles et polaires......................,........ ss... Construction de la polaire d’un point par rapport a! un triangle..... Construction à l'aide de la régle de la polaire d’un point par rapport à une cubique..... eee eee eet eee ee ten eees ses. ete cece eevee Le rapport anharmonique du faisccau des quatre tangentes issues d’un point situé sur une cubique est constant. .............. sun. Deux classes de cubiques non singuliéres............. beam ee eceenes Les seize foyers d’une cubique circulaire sont situés sur quatre cercles. Les cordes issues d'un point d’une cubique sont divisées harmoniquement par la conique polaire...................................... Polaire harmonique d’un point d’ inflexion weer eee e ee eeees soso Toutes les cubiques menées par les neuf points d’inflexion ont aussi ces points pour points d'inflexion.................,............... Correspondance de deux points sur la Hessienne......,...,......... La Steinérienne d’une cubique est identique avec sa Hessienne....... La Cayleyenne; ses différentes définitions....... beet e eect eee encs eos La droite polaire par rapport 4 une cubique d’un point de sa Hessienne est tangente à cette Hcssienne................. sonore sous Tangentes communes à une cubique et à sa Hessienne................. Il y a trois cubiques qui ont la même Hessienne.................... Règle pour trouver le point de contact d'une tangente quelconque à la Cayleyenne........... nrssosseesses essor cossssessossesssees Points de contact des Langentes stationnaires avec la Cayleyennc.. Coordonnées du tangenticl d’un point d’une cubique; comment on les

calcule........... css wee eee eeeeeees toe e eee neeee sence cence Conique polaire d’une droite par rapport à une cubique...... ....... Ses relations avec le triangle que forment les tangentes aux points où la droite coupe la cubique....................................... Points doubles; leur situation par rapport à la droite et à la conique polaire............. sn... soso corses sonores soso. Conique polaire de la droite à l’infini.............. soso css. .

Autre méthode pour former I’équation tangentielle d’une cubique.... Points dont les polaires par rapport à deux cubiques sont les mêmes. Centres critiques d'un système de cubiques..........,...... soso Lieu des points doubles des cubiques nodales qui passent par sept points.

TABLE DES MATIÈRES

Classification de Plücker pour les cubiques........................... Secriox IIT. — Classification des cubiques................ css. . Toute cubique peut ètre projetée suivant l’une des cinq paraboles di-

vergentes................... nossssssressssre sonores css. Et suivant l’une des cinq cubiques à centre........................, Classification des cônes du troisième degré............ neue wee On ne peut mener d'un point d'un ovale aucunc tangente réelle a la

0 ag 0 cece cece ee sons Cubiques unipartites et bipartites................. sce c cece eee ence Méthode de Newton pour réduire l'équation générale........... wees Groupes de Pläcker..............,............................ cece Secnox IV. — Cubiques unicursales. ........ wee eeeees sussssssssese Inscription de polygones dans les cubiques unicursales............. . Cissoïde; ses proprictés..... css. ss. sussessssssssese wee eteeee Une cubique acnodale a trois points d'inflexion réels; ils sont imagi-

naires pour une cubique crunodale..... ss... wee cece eee cenees . Construction d’une cubique acnodale, connaissant trois tangentes d’in-

flexion........ cece we cence ec ee en cace coe ec cee cence cee een ee eeees Expression générale des coordonnées en fonction de parametres...... Section V. — Invariants et covariants des cubiques.......... ss... Forme canonique d'une cubique.................................... Notations pour l'équation générale.........,......... conso ses

uation générale de la Hessienne et de la Cavleyenne.............. L'invariant S et sa forme symbolique................... ss... so... L'invariant T........ css. sosnressesssserensesssesesesee css. Equation générale de la réciproque........... weet cece e ee sers Calcul des invariants au moyen d'une équation différentielle........ Expression du discriminant en fonction des invariants fondamentaux. Hessienne de AU +uH.........................................0 Conditions pour que l’équation générale représente trois lignes droites. Réduction de l'équation générale à la forme canonique.............. Expression du discriminant en fonction des invariants fondamentaux. Rapport anharmonique des quatre tangentes issues d’un point situé

sur la courbe ....... seossssssssssse wee eee eee ee eeee an Expression des covariants cubiques sous la forme AU + uH......... Covariants du sixième degré..... ...... PRESSE snssssessesseee Le covariant gauche........... .................. eect cee etceeceees Equation des neuf tangentes d'inflexion......................,...... Équation de la Cayleyenne en coordonnées ponctuelles .............. Identité utile dans la théorie des cubiques..... .......... ....... .… Conique qui passe par cinq points consécutifs d’une cubique........

Equation de la cubique en fonction de quatre droites coordonnées... Conditions pour qu'une cubique représente une conique et une droite. Expression sous forme de déterminant du discriminant d'une cubique? Hessienne de PU et de UV... .... ....................... soso.

COORDONNEES. 5

En général, il n’y a pas avantage a faire usage des équalions que nous venons d’écrire; le procédé le plus commode consiste 4 considérer les coordonnées comme fixées de telle sorte que le point (1:11) soit un point donné de la figure, ou que la droite

soit une droite donnée de cette même figure.

7. Il faut remarquer que nous pouvons, sans incorrection, parler du point (a, $, y); nous entendrons par 1a le point dont les coordonnées ont leurs rapports mutuels 7: y:5 égaux à & : 8 : y. Et quand nous dirons que les coordonnées d'un point sont (x, 8, y), ou que les (x, y,z) sont égaux à (x, 8, Y), nous ne ferons qu’exprimer la même chose; c’està-dire que nous ferons seulement connaître que les rapports de ces quantités sont égaux, pour la raison toute simple que les grandeurs absolues sont indéterminées. Ainsi, dans le numéro précédent, au lieu de parler du point (1:1:1) nous aurions pu dire le point (1, 1, 1).

8. Le point (1, 1, 1) et la droite x + y + 3 — 0, ou plus généralement le point (x, $, y) et la droite

ont, parrapport au triangle fondamental, une relation géométrique bien connue. Si le point en question est O ( fig. 1), la droite correspondante LMN est celle qui joint les points d'intersection des côtés du triangle fondamental ABC avec les côtés du triangle DEF ; ce dernier est formé par les points où les droites, qui joignent O aux sommets du triangle ABC, rencontrent les côtés opposés. Réciproquement, étant donnée la droite LMN, nous pouvons construire le point O en jois

gnant les points L, M, N, où la droite coupe les côtés du triangle ABC, aux sommets opposés de ce triangle; ces droites forment un nouveau triangle et les droites qui joignent ses sommets aux sommets correspondants du triangle

Fig. 1.

fondamental se coupent au point O. Par le fait, le point et la droite sont des éléments harmoniques, et nous montrerons dans la suite qu’ils sont dans la situation de pôle et polaire par rapport au triangle considéré comme courbe du troisième ordre ou, comme nous pouvons le dire plus simplement, par rapport au triangle. Si donc l’on donne l’un des deux éléments, point ou droite, l’autre est connu; et il revient au même de supposer que le point (1, 1, 1) soit un point donné, ou que la droite

soit une droite donnée.

Si nous regardons la droite x + ÿ + z — o comme une droite donnée, nous avons en tout quatre droites données ; et si nous posons pour plus de commodité |

T+FY+3+w—o

(c'est-à-dire, si nous considérons w comme remplaçant — x—7 — 5), les coordonnées se trouvent déterminées de

COORDONNÉES. 7 telle manière que

sont des droites données.

9. Les coordonnées peuvent être choisies de telle sorte que le point (1, 1, «) soit le centre de gravité du triangle et

que la droite .

Z+ryts=—o

soit la droite à l'infini. Si nous nous reportons à l'équation ap + bq + cr — 34, ceci revient à supposer æ:y:3—=ap:bq;: cr,

c'est-à-dire que, si nous joignons le point aux trois sommets, en divisant ainsi le triangle fondamental en trois triangles, les coordonnées x, y, 3 sont proportionnelles à ces trois triangles composants (ou, ce qui revient au même, chaque coordonnée est proportionnelle au quotient de la perpendiculaire abaissée du point sur un côté et de la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur le même côté). On peut remarquer que, si nous fixons les grandeurs absolues des coordonnées et si nous posons

ap ___ bq cr

c'est-à-dire si nous prenons z, y, 3 égaux aux rapports des triangles composants a la surface du triangle fondamental, la relation que vérifient les coordonnées est

T+yY+s—=I.

10. Le triangle fondamental équilatéral constitue un cas particulier; dans ce cas, si x, y, 2 sont proportionnels ‘aux

COORDONNEES. 9

cette suite de rapports équivaut à

TY:3—=1:w:ui oua T:Y:3—=1: 0:00.

11. Supposons que l’un des axes, celui des 3 par exemple, soit la droite à l'infini; la distance r a dans ce cas la valeur oo , qui doit être regardée comme une constante infinie; yrest donc une constante que nous pouvons supposer finie et égale à l’unité, sans nuire à la généralité de nos raisonnements. Nous avons alors les relations

Tiy:s3—=ap:pq'i.

Les coefficients « et 8 peuvent être déterminés de telle manière que ap et Bg représentent les distances d’un point aux droites x — d et y — 0, ces distances étant mesurées chacune parallèlement à la direction de l’autre droite ; c’est-à-dire que, si X, Y sont les coordonnées cartésiennes du point, nous

avons æiy:3—=Y:X:1,

ou, ce qui revient au même, si nous fixons les grandeurs absolues des coordonnées, x, y et 3 (= 1) seront les coordonnées cartésiennes du point rapporté à deux axes quelconques de coordonnées. |

12. Dans tout ce qui précède nous nous sommes seulement servi de la droite à l'infini, mais nous n’avons fait aucun usage des points circulaires à l'infini; aussi les coordonnées cartésiennes résultantes sont-elles généralement obliques; elles peuvent cependant être rectangulaires; en effet, si nous prenons pour les droites x =o et y =o deux droites en relation harmonique avec les points circulaires à l’infini, ou, ce qui revient au même, deux droites perpendiculaires l’une sur l’autre, les coordonnées seront rectangulaires. La relation harmonique à laquelle nous faisons allusion consiste en ce

COORDONNEES. 11 les deux points circulaires les relations

eiy:s=L:M:N, e ~-—!., I .!

TYEÉ—E-M'N

Soient A, B, C les angles du triangle fondamental; nous avons entre A, B, Cet À, a, v un système de relations telles

que ~ A= T+u—v, B=—x-+y —A, C= nr+dA—uh.

Posons

cosA + sin A(ouei)— a2, cosB + csin B(oue®)— 8, cosC + ssinC(oueit)— »;

il vient alors

= “ae

| = | rm

et les coordonnées des points circulaires à l’infini deviennent ansi

< e to] e | w

| R wm rin ee | om R

“ol e

e R | eu

Il est évident que les expressions de chaque système de coordonnées sont identiques en vertu de la relation aSy = — 1.

Les mêmes formules s’appliquent évidemment au cas où les coordonnées x, y, 3, au lieu d’être égales aux perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle, leur sont seulement proportionnelles; ce sont donc les formules qui se rapportent au système de coordonnées dans lequel l’équation

de la droite à l’infini est

zsinA + 9sinB + zsinC =0.

15. On peut ajouter que le système primitif de relations entre x, y, 3 et X, Y donne

(y+ q)(s+r)snA+(s + r)(x + p)sinB + (2+ p)(y + q)sinC = sinA sinB sinC (X? + Y?); ou, ce qui revient au méme, on a yssinA + sxsinB +zxysinC = sin Asin BsinC( X?+ Y*) + (une fonctionlinéairedeX, Y, 1); c'est-à-dire que ]’équation yssinA + szsnB+ rysinC =o est |’équation d’un cercle qui évidemment est circonscrit au triangle fondamental. La formule subsistant dans le cas où z, y, 2 sont proportionnels aux distances perpendiculaires

d'un point aux côtés du triangle de référence, les points circulaires à l’infini sont alors les intersections du cercle

yssinA +s3zrsinB + xysinC =o avec la droite à l'infini xzcsinA+ ysnB+ssinC =o (comparez Sections coniques, n° 359). Il est facile de vénfier que les coordonnées des points circulaires à l'infini, données plus haut, satisfont effectivement à ces deux équa-

tions. Remarquons aussi que l'équation générale d’un cercle est

(ys sinA + zrsinB + 2y sinC) + (Px + Qy + Ks)(xsinA + y sinB +2 sinC)=0,

P, Q, R étant des coefficients arbitraircs.

COORDONNEES. 13

16. Dans le système de coordonnées où les quantités x, y, 3 sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle de référence, multipliées chacune par le côté correspondant, et où l'équation de la droite à l'infini est r+ y + 3 —= 0, nous n'avons qu'à remplacer dans ce qui précède x, y, 3 respectivement par Æ , x? ate a CG" - Les

coordonnées des points circulaires sont alors données par les relations

Zz e JY e s ——1:4+:8 sin À * sinB ‘ sinC — "+ =e Tes — I. — | a * et 2. y . 3 eye!

sinA ‘sinB'sinC 1-3 {1x Ÿ | =8:+

et l'équation générale d’un cercle est

(yssin?A + zx sin?B + zy sin?C) +(Pxr+Qy+Rs)(2+y+3)=0.

COORDONNEES DE DROITE.

17. Les coordonnées considérées ci-dessus sont des coordonnées destinées à déterminer la position d’un point; on dit que ce sont des coordonnées de point. Nous avons aussi des coordonnées de droite (coordonnées tangentielles, voir Sections coniques, n° 70) pour déterminer la position d'une droite; si, par exemple, dans un système quelconque de coordonnées trilinéaires (x, y, 3), l'équation d’une droite est Ex + 7y + C6: = 0, nous avons alors un système corres-

pondant de coordonnées de droite, dans lequel on dit que (E,n, £)sontles coordonnées (coordonnées tangentielles) de la droite en question. Observons que, d'après cette définition, (&, 7, €) sont données seulement en ce qui regarde leurs rapports et que leurs grandeurs absolues sont indéterminées ; elles ressemblent par là aux coordonnées ponctuelles prises dans leur sens le plus général.

48. Les coordonnées (£, n, €) se rapportent à une droite; une équation linéaire a§ + bn + cf =o entre ces coordonnées s'applique à toute une série de droites telles que les coordonnées de l'une quelconque d’entre elles vérifient cette équation ; mais toutes ces droites passent par un même point : c'est le point dont les coordonnées dans le système correspondant de coordonnées ponctuelles (x, y, 5) sont (a, b, c); en effet, l'équation linéaire af + bn + ct = o exprime que l'équation en coordonnées ponctuelles Ex + y + fs = 0 est satisfaite quandon yremplace(z, y, <) par (a, b, c). On en conclut que l'équation a§ + bn + cf = o en coordonnées de droite (€, , &) représente un point; c'est celui dont les coordonnées trilinéaires dans le système correspondant sont (a, b, ce). Et, en général, toute équation homogène en coordonnées de droite (&, n, €) représente la courbe qui est l'enveloppe de toutes les droites Ex + ny +s — 0 dontles coefficients (£, n, ¢) vérifient la relation en question. On dit que cette relation est l'équation tangentielle de cette enveloppe. En d'autres termes, l'équation tangentielle d’une courbe est l'équation entre (E, 4, £) qui exprime que la droite Ex ny + Cs = 0 est une tangente à la courbe.

49. Dans ce qui précède, les coordonnées de droite (& 4, €) sont définies au moyen d’un système correspondant de coordonnées trilinéaires (2, y, 3), et la signification des rapports §:7:¢ se trouve par là même complètement déter-

COORDONNÉES. 19 minée; c'est la marche la plus commode à suivre. Cependant il convient de donner du systéme de coordonnées de droite une définition quantitative indépendante, moins pour les applications dont elle est susceptible que pour établir d'une manière plus complète l’analogie qui existe entre les deux genres de coordonnées. Nous pouvons dire que les coordonnées trilinéaires (§, n, 6) d’une droite sont proportionnelles à des multiples donnés des distances, mesurées suivant des directions données, de la droite à trois points donnés. Supposons, pour fixer les idées, que nous premions ces coordonnées proportionnelles aux distances perpendiculaires de la droite aux trois points donnés. Si nous rapportons la figure à des coordonnées cartésiennes, les coordonnées des points sont (a, 8),(x', B’),(2”, B”) et l'équation de la droite est

Ax + BY +C—o.

Nous avons alors les relations E> $ = Az + BB+C:Aa+ B8+C:A«+Bf"+C,

ou, ce qui revient au même, l'équation de la droite est

ne $ 1 api

Les coefficients de &, r,, € sont ici des fonctions linéaires données de (x, y, 1); si nous désignons ces coefficients par (x, y, 3), nous aurons (x, y, 5) comme système de coordonnées trilinéaires, et l’équation sera Ex +71y+ 0s =0; cette définition concorde donc avec celle qu’on a donnée plus haut.

Nous pouvons, exactement comme au n° 7, déterminer les coordonnées de droite (§, 7%, €) de manière que la droite (t 21 1)soit une droite donnée, ou que le point § + 7+ 6 = 0 soit un point donné de la figure.

20. Il peut étre bon d’indiquer ici quelques systémes particuliers. Si a, 8, y représentent respectivement les distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite variable

aux points A, B, C (fig. 2), par exemple (2=Aa, B=Bb), y=Ceo), les coordonnées &, 7, § peuvent être prises proportionnelles à

Fig. 2.

ces distances, §: n : 6 — x : 8 : y. Imaginons que le point C s'éloigne à l'infini suivant la direction donnée; ya une valeur infinie qui doit être regardée comme une constante; et,

e . 4 e si nous posons Ein: =—a:f$:1, nous pouvons, au lieu des | Y coordonnnées primitives Eon, Gs prendre comme coordonnées En, î, c'est-à-dire «, 8, 1. Nous avons ainsi un système de Y

deux coordonnées a, 8 qui sont respectivement égales aux distances, comptées suivant une direction donnée, de la droite aux deux points fixes.