De même, dans la fig. 3, nous avons

y Cp + Cg ou bien, ce qui est la même chose,

Ap ‘Ba Cp'Cq'.

COORDONNEES. | 17

Imaginons que A, B s’éloignent à l'infini en suivant respeclivement les directions pC et gC; Ap,'Bg ont des valeurs infinies qui doivent étre regardées comme des constantes; et, au lieu de coordonnées proportionnelles à a, B, y, nous pou-

vons prendre des coordonnées proportionnelles à kp’ i y;

Fig. 3.

aw, f£\-

c'est-à-dire que nous pouvons choisir comme coordon-

, 41 I . ; nées —» ——» 1. Nous avons ainsi un systéme de deux coor- Cp Cg

données qui sont respectivement les inverses des distances, comptées suivant deux directions données, de la droite à un

point fixe.

22. On a peu d'occasions de faire un usage explicite des coordonnées de droite; mais la théorie en est trés importante; elle sert en effet à prouver que, en démontrant en coordonnées ponctuelles un théorème quelconque de nature descriptive, nous établissons en même temps le théorème corrélauf qu’on peut en déduire par la théorie des polaires réciproques (ou celle de la dualité géométrique). Par le fait, nous ne prouvons pas l’un des théorèmes, pour en déduire ensuite l’autre, mais nous les démontrons tous les deux en même temps. Nos (x,7, z), au lieu d’être des coordonnées ponctuelles, représentent des coordonnées de droite, et la démonstration se trouve être, dans chacune de ses parties, une démonstration du thévrème corrélatif.

S. — Courbes planes. 2

93. De la méme manière, si un théorème est établi en coordonnées de droite, on possède par là même la démonstration de son corrélatif; la seule différence qui existe ici consiste eh 66 que uaux passons de la théorie des coordonnées de droite, qui nous est un peu moins familière, à celle plus vailde dea coordonnées de point. La transition se trouve rendue plus claire si nous considérons les coordonnées primitivos de droite (§, n, $) comme les coordonnées ponctuelles du pout qui est le pôle de la droite par rapport à la coque ae pvt az 0.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES DU n*** DEGRÉ.

Section I. — Du nombre des termes dans l'équation générale.

24. Le premier pas à faire pour connaître les propriétés générales des courbes du n'*™* degré consiste à déterminer le nombre des termes contenus dans l’équation générale. Étant donnée une équation quelconque du n"*"° degré, nous pourrons ainsi, en comptant simplement le nombre des constantes indépendantes que renferme cette équation, savoir si la forme donnée est ou n’est pas l’une de celles auxquelles on peut ramener toutes les équations du n*™° degré. Par exemple, l'équation générale du second degré contient cinq constantes indépendantes. Si donc on nous donne une autre équation quelconque du second degré contenant cinq constantes, par exemple

(æ—2} +(y —8)} =(axr+by+ 0)!

ou

1 L [(2 —2)*+ (y —8YT + [f(x — 2) + (y — BY)? ]J2=e,

nous pouvons la développer; et, en comparant cette équation H ad e e o™ 3 9° ° ’ 4

voir Sections coniques, n° 11) à l'équation générale du second degré, nous obtiendronsun nombre d'équations suffisant pour déterminer 4, 3, ..., en fonction des coefficients de l'équation générale. Nous voyons alors qu'une équation quelconque du second degré peut, en général, être réduite à l'une des formes ci-dessus, et nous pourrions établir ainsi les

PROPRISTES GÉNÉRALES DES COURBES. at coordonnées) ne contient qu'une constante explicite; elle doit donc entrainer quatre conditions implicites; c’est du reste ce qui a lieu, comme on le sait, puisque la conique représentée par celte équation passe par quatre points fixes.

25. Il faut agir avec quelque circonspection quand on applique ces principes. Par exemple, l'équation

(xz—2} +(y —8}=axz+by+e

paraît contenir cinq constantes et, par conséquent, être une forme à laquelle on peut ramener une équation quelconque du second degré. Cependant, en effectuant les développements, nous verrons que les constantes ne figurent pas dans les termes du degré le plus élevé dans l’équation et que nous n'avons réellement par le fait que trois équations pour déterminer 2, 3,.... L’équation ne peut donc être mise sous cette forme, à moins que deux autres conditions ne soient satisfaites. De la même manière, l'équation

aS, + bS, + cS,+ dS, + eS,+ fS = 0,

où S,, ... sont six coniques; est une forme à laquelle on peut ramener l'équation d’une conique quelconque. Supposons néanmoins que trois des équations de ces coniques soient liées entre elles par la relation

S;= kS, + IS,;

en remplaçant S; par cette valeur dans |’équation précédente, on trouverait que cette équation ne renferme plus que quatre constantes indépendantes, et l’équation générale ne pourrait être réduite à cette forme à moins de satisfaire à une autre condition.

26. Après avoir ainsi cherché à donner au lecteur une idée de la nature des avantages qu’on peut retirer de la con-

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. a3 sera définie d'une manière complète, si nous pouvons déter-

Ainsi, une courbe du n'*™ degré est en général déterminée quand on donne ;n(n + 3)de ses points; en effet, en substituant dans l'équation générale les coordonnées de chacun des points par lesquels passe la courbe, nous obtenons une relation linéaire entre les coefficients. Nous aurons donc $ n(n + 3) équations du premier degré pour déterminer un nombre égal d’inconnues; ce problème n’admet en général qu’une seule solution. Nous voyons ainsi qu'on peut décrire une courbe du troisième degré, quand on connaît neuf de ses points, une courbe du quatrième degré quand on en a quatorze points, et qu’en général par 5 n(n +3) points on peut décrire une courbe du degré n et une seule.

miner les + n(n + 3) quantités ms

28. Quand nous disons que + (n+ 3) points déterminent une courbe du n°" degré, nous n’entendons pas affirmer qu'ils déterminent une courbe propre de ce degré. Tout ce que nous avons démontré, c’est qu'il existe une équation du n*™* degré vérifiée par les coordonnées des points donnés; mais cette équation peut être le produit de deux ou plusieurs autres expressions de degré moindre. Par exemple, cinq points déterminent en général une conique; mais, si trois d'entre eux sont situés sur une ligne droite, la conique dégénère en la courbe du second degré formée par cette droite et par la droite qui joint les deux autres points. Et, d’une manière générale, il est évident que si, parmi les n(n + 3)points, ilyena plus de zp sur une courbe de degré p(p étant moindre que x), on ne peut, par ces points, faire passer une courbe propre du n"°"° degré; car nous serions alors conduits à cette absurdité que deux courbes de degré rn et p se coupent en plus de np points (Sections coniques, n° 238). Le système de degré n mené par un pareil système de points se compose

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 25 points donnés sont alors insuffisants pour déterminer la courbe, et l’on peut faire passer par ces points une infinité de courbes du degré n. Il est nécessaire d'expliquer géométriquement comment de pareils cas peuvent se présenter.

Pour plus de simplicité, prenons d’abord pour exemple des courbes du troisième degré. Soient U—0o, V=o les équations de deux de ces courbes, qui passent toutes les deux par huit points donnés ; l'équation d’une courbe quelconque du troisième degré passant par ces mêmes points doit être de la forme U—kAV=o. En effet, d’après sa forme même, cette équation représente une cubique passant par les huit points donnés, et elle renferme une constante arbitraire A que l’on peut déterminer de telle manière que la courbe passe par un neuvième point quelconque. Par le fait,

U' nous aurons dans ce cas k = wy U! et V’ étant les résultats

que l'on obtient en substituant les coordonnées du neuvième point dans U et V. Cette relation fournit pour * une valeur bien déterminée dans tous les cas sauf un, celui où leneuvième point est à la fois situé sur U et V. En effet, comme deux courbes de degré m et n se coupent en mn points, U et V se rencontrent non seulement suivant les huit points donnés, mais encore suivant un autre point. Pour les coordonnées de

ce point, * prend la valeur : set en effet la forme de l'équa-

ion montre suffisamment que toute courbe représentée par l'équation U — kV — o passe par toutes les intersections de U et V. Nous déduisons de là ce théorème important : Toutes les courbes du troisième degré qui passent par huit points fixes passent aussi par un neuvième point. Et nous voyons que neuf points ne sont pas toujours suffisants pour déterminer complètement une courbe du troisième degré; car nous pouvons faire passer une courbe du troisième degré par les intersections de deux courbes de ce même degré et par un dixième point.

PROPRIETES GÉNÉRALES DES COURBES. 27 cour.:cs en question soient des courbes propres de ce degré ; en effet, la démonstration du n° 30 subsiste également, même quand U et V peuvent se décomposer en facteurs. Comme application du théorème de ce numéro, nous ajoutons la proposition suivante : Si un polygone de an côtés est inscrit dans une conique, les n(n — 2) points où chaque côté impair coupe les côtés pairs non adjacents seront situés sur une courbe du (n — 2)" degré. En effet, le produit de tous les côtés impairs forme un système du n*™* degré, et le produit de tous les côtés pairs en constitue un autre; les deux systèmes se coupent en 7? points (puisque chaque côté impair a deux côtés pairs adjacents et n — 2 autres côtés pairs non adjacents), qui sont les az sommets du polygone et les n (nm — 2) points qui sont l’objet du présent théorème. Mais comme, par hypothèse, les an sommets sont sur une conique, les n(n—:2) points qui restent sont, d'après ce numéro, sur une courbe du (nz — 2 )*"° degré.

32. Le théorème de Pascal est un cas particulier de celui que nous venons d'établir; mais, comme il importe que le lecteur comprenne bien clairement le principe des démonstrations qui précèdent, nous croyons utile de répéter en d’autres termes la démonstration que nous avons déjà donnée.

Représentons les côtés de l’hexagone par les six premières lettres de l’alphabet, À — 0, ...; l'expression ACE — 4 BDF =o est alors l'équation d’un système de courbes du troisième degré qui passent par AB, BC, CD, DE, EF, FA et aussi par AD, BE, CF. Si les six premiers points sont sur une conique S, la courbe du système, déterminée par la condition qu’elle passera aussi par un septième point de la conique S, doit nous donner ACE — k’BDF = SL, car cette courbe ne peut être une courbe propre du troisième degré, puisque aucune courbe de cette espèce ne peut avoir plus de six points commun

PROPRIÉTÉS GRNERALES DES COURBES. 29 33. Bien que deux courbes du n'*"° degré se coupent en n? points, on a cependant démontré que n? points, pris arbitrairement, ne seront pas les intersections de deux de ces courbes; mais que, n? —$(n—1)(n— 2) d'entre eux étant donnés, le reste sera déterminé. Il existe un théorème semblable pour les np points d’intersection de deux courbes, l’une du degré 7, l’autre du degré p. Ainsi, bien qu'une courbe du troisième degré coupe une courbe du quatrième en douze points, cependant, par douze points pris arbitrairement sur une courbe du troisième degré, il sera, en général, impossible de décrire une courbe propre du quatrième degré. En effet, la ligne du quatrième degré qui passe par ces douze points et par deux autres points ne sera, en général, rien autre chose que la courbe du troisième degré et la droite qui joint les deux points. Et généralement, toute courbe du nie degré, menée par np — +4 (p— 1)(p — 2) points situés sur une courbe du degré p(p étant moindre que n), rencontre cette courbe en} (p — 1)(p — 2) autres points fixes. En effet, dans le n° 31, nous avons eu occasion de voir que

np—4(p—1)(p—2)+4(n2—p)(n—p+3)=tn(n+3)—1.

Donc (d’après le n° 30) tout système du n"°"° degré mené par les points donnés et par 5 (nr — p)(n— p +3) autres points passe encore par 5 (nm —1)(7 — 2) autres points fixes. Or un système du n*™ degré pouvant passer par les points est la courbe donnée du degré p etuneautre courbe dedegré (n—p) passant par les points additionnels. Les $(n—1)(n— 2) nouveaux points doivent donc se trouver, les uns sur l’une de ces courbes, et les autres sur l’autre. Et ilest évident que ces points doivent être distribués entre elles de telle manière que le nombre total des points soit np dans le premier cas et n (n — p) dans le second. Ceci démontre l’exactitude du théorème énoncé.

section de ces deux systèmes seront communs à toute courbe du degré r qui passera par ces points. Mais

tr(r+3)—1—$(r—m)(r—m-+3)—1(r—a)(r—n+3) = mn—i(m+n—r—i)(m+an—r—a),

comme le lecteur peat le vérifier sans difficulté. L’exactitude du théoréme se trouve ainsi démontrée. Pour que notre raisonnement soit applicable, il faut que r soit au moins égal au plus grand des deux nombres m et n; il faut aussi que (r— m) soit moindre que 7; car, s’il en était autrement, il ne serait pas possible de faire passer, par les points pris sur la courbe du n*™° degré, une courbe de degré (r — m) dis- ‘uncte de la courbe de degré n, ou qui ne la contint pas comme partie intégrante; et comme le théorème est illusoire

pour r= m-+-n—1 ou m-+n— 2, lacondition à remplir consiste en ce que r ne doit pas être plus grand que mt+n—3/(').

(*) Euler paraît avoir remarqué Je premier ce paradoxe que deux courbes du ni*™* degré peuvent se couper en un nombre de points plus considérable que celui qui suffit pour déterminer une pareille courbe (voir un Mémoire dans les Transactions de Berlin pour 1758 : Sur une contradiction apparente de la théorie des courbes). La mème difficulté est indiquée par Cramer dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algebriques, publiée en 1750. Cependant c'est à une date relativement toute récente qu’on a remarqué les importants théorèmes de Géométrie qui dérivent de ce principe. En 1827, Gergonne a donné le théorème du n° 31 (Annales, vol. XVII, p. 220). Le théorème général du n° 30 a été trouvé à peu prés à la même époque par Plücker (Entwickelungen, t. 1, p. 228; et Annales de Gergonne, Tome XIX, p. 97 et 129). C'est quelques années aprés qu'on a étudié la relation qui existe entre les points d’intersection de courbes et de surfaces de degrés différents (comme dans le n° 33). Ces cas ont été discutés dans deux Mémoires envoyés en même temps pour être publiés dans le Journal de Crelle, l'un par Jacobi (t. XV, p. 285) l'autre par Pliicker (t. XVI, p. 47). En outre des articles qu’on vient de mentionner, le lecteur peut aussi consulter un Mémoire de M. Cayley. (Journal mathématique de Cambridge, t. AI, p. 211). La notice his-

racines doit être p = 0, quelle que soit la valeur de 8, et, dans ce cas, l’un des a points suivant lesquels une droite quelconque menée par l’origine rencontre la courbe coincidera avec l’origine elle-même. Les (7 — 1) autres peints seront en général distincts de l’origine; il existe cependant une valeur de 6 pour laquelle un second point coïncidera encore avec l'origine ; ce cas se présentera quand sera tel qu'on ait

B cos + Csin0 — o.

L’équation devient alors (Dcos?6 + E cos 6 sin 6 + F'sin?8)p?+...— 0 ;

elle est divible par p? et, par conséquent, deux de ses racines ont pour valeur p =o. La droite qui correspond à cette valeur de 6 rencontre donc la courbe en deux points qui coincident; autrement dit, elle est la tangente à l’origine.

Comme nous n'avons qu’une seule équation pour déterminer tang 9, nous voyons qu’en un point donné d’une courbe on ne peut en général mener qu'une seule tangente. Son équation est évidemment

p(Bcosô +Csin8ô)—o ou Be+Cr=o.

Done, si l'équation dune courbe est u,+ u,+...=0 (l’origine étant un point de la courbe), l'équation de la tangente à l’origine est u, =o.

Si B= 0, l’axe des x est une tangente; si C=o0, c'est l'axe des 7.

37. Supposons maintenant que À, B. C soient tous nuls; le coefficient de p sera égal à zéro, quelle que soit la valeur de 9. Donc, dans ce cas, toute droite menée par l'origine rencontre la courbe en deux points qui coincident avec l'ori-

gine. On dit alors que l'origine est un point double. S. — Courbes planes. 3

34 ww CHAPITRE 11 : Nous pouvons encore voir ici, exactement commé dans le numéro précédent, que dans ce cas l'on peut mener par l'origine des droites qui rencontrent la courbe en. trois points coincidents. En effet, supposons que 4 soit tel qu'il annule le coefficient de p?, où que ‘ D cos?0 + Esin9cos0 + F sin? — 0,

l'équation devient alors divisible par 7, et trois des valeurs de ¢ sont égales à zéro. Comme nous avons une équation du second degré pour déterminer tang§, il s'ensuit que par un point double on peut mener deux lignes droites rencontrant chacune la courbe en trois points qui coincident. Leur équation est

g*(Deos* 0 + Ecos 0 sin + Fsin?0) —o,

ou L Da +Exy +Fy*=0.

Ceci nous montre que, bien que toute droite menée par un point double rencontre la courbe en deux points coïncidents, il y a cependant deux de ces droites dont le contact avec la courbe est plus intime que celui des autres droites; on a pour cette raison l'habitude de dire qu'en un point double d'une courbe on peut mener deux tangentes. Si l'équation de la courbe (l'origine étant un point double) est mise sous la forme us + us +... —0, y =0 est alors l'équation du couple de tangentes à l'origine.

38. Il est nécessaire de distinguer trois espèces de points doubles, suivant que les droites représentées par l'équation w, — 0 sont réelles, imaginaires ou coincidentes.

1° Dans le premier cas, les tangentes sont toutes deux véelles; le point double ou nœud est tel que le représente la seconde figure (n° 39). Un simple examen de la courbe montre que le nœud est le point d’intersection de deux branches dont chacune a sa tangente propre; et l'équation du

PROPRIETES GENEBSLES BES COURBES. 35 second degré qui précède détermine par le fait les directions de ces deux langentes, un point de ee genre est nommé um nœud en croix ow point crunedal.

On se trouve er présence d'un exemple simple de points doubles de: cette sorte, quand l'équation donnée est le produst de deux équations de degrés moindres, e’est-à-dire quand U = PQ. L'équatien U = o représente alors les deux courbes P—oetQ=o. Mais si. l’on eonsidère ees deux dernières comme constituant ensemble une courbe du 2"*"° degré, on dest dire que ceite courbe a pg points doubles (ce sont les points où P coupe Q), et en chacun de ces points il y a évidemment deux taagentes (les tangentes à P et à Q).

a L’équation u, — 0 peut avoir ses deux racines imaginawes. Dans ce cas, th n’y @ pas de pomt réel consécunf à l'origine, qui est alors appelée unpoint conpaguéou aenodal. Ses coordonnées satisfont bien à l'équation de la courbe, mais il ne semble pas être situé sur cette courbe; et, par le fat, on ne peut seulement faire ressortir géométriquement l'existence de points de cette espèce, qu'en montrant qu’il existe des points tels que toute droite menée par eux ne peut rencontrer la courbe en plas de (nz — 2) autres points.

3° L'équation 4, peut être un earré parfait; dans ce cas, les tangentes au point double coincident et la courbe prend la forme représentée dans la quatrième figure (n° 39). Des points de ce genre sont appelés points cuspidauz ou points de rebroussement. On les appelle aussi quelquefois points stalionnaires ; en effet, si gousimagmons que lacourbe soit engendrée par le mouvement d’un poant, en tout point cuspidal le mouvement qui s'effectue dans un sens déterminé éprouve un arrêt el se change en un mouvement dans le sens opposé.

Le lecteur pourrait se figurer qu'il est facile de donner des exemples de ces points, comme dans le numéro précédent, en supposant que ka courbe U se décompose en deux aotres courbes P et © tangenses entre elles; car tout pomt de

par l'exemple suivant. Prenons la courbe

ÿ'=(x—-aK{z—-b\(r —c).

Dans cette équation, nous supposons que a est plus petit et c plus grand que b. Cette courbe est évidemment symétrique par rapport à l'axe des x, puisque chaque valeur de x donne des valeurs de y égales et de signe contraire. La courbe coupe l'axe des z aux trois points r=a, x—b, x=c. Tant que + est moindre que a, y? est négatif et par suite ÿ est imaginaire. y? devient positif pour des valeurs de x comprises

Fig. 5. a nA of KZ À

entre a et b, puis devient de nouveau négatif pour des valeurs de x entre b et c; et enfin il est positif pour toutes les valeurs de x plus grandes que c. La courbe ( fig. 5) se compose donc d’un ovale silué entre A et B, et d’une branche qui commence en C et qui s'étend indéfiniment au delà. Supposons maintenant b = c; l'équation deviendra

Y=(rz—aXx—b6), où 6 est plus grand que a. Le point B se confond maintenant

Fig. 6.

avec le point C; B s’approchant de C, l’ovale et la branche infinie prennent une forme en pointe en marchant l’un vers l'autre; et, quand enfin les deux points B et C sont réunis,

triples, selon que les trois tangentes sont ( fig. 9): (a@) toutes trois réelles, et (1) toutes trois distinctes, (2) deux coinci-

Fig. 9.

RRS

dentes, (3) toutes trois coincidentes, ou bien (6) qu'il y en a une réelle et deux imaginaires.

Un point triple peut étre considéré comme provenant de la réunion de trois points doubles : dans les cas (a), ce sont: (1) trois nœuds en croix, (2) deux nœuds en croix et un point cuspidal, (3) un neeud en croix et deux points cuspidaux; c’est ce que montrent les figures ci-contre ( fig. 9), qui représentent les trois points doubles sur le point de se réunir pour former un point triple. Le cas (3) diffère d’une manière à peine visible d’un point ordinaire de la courbe; mais, quand la figure est dessinée avec soin, il y a quelque chose d’un peu anguleux dans la courbe en ce point singulier. Dans le cas(b), il y a de la même manière une branche réelle qui vient passer par un point conjugué; mais, à l'œil, le point singulier ne paraît pas différent d'un autre point quelconque de la courbe.

Nous pouvons, d’une manière analogue, rechercher les conditions pour que l'origine soit un point multiple d’un degré quelconque plus élevé k. Les coefficients de tous les termes de degré inférieur à 4 s’annuleront et l'équation

de la forme Ug + Usa + +. — O.

Au point multiple en question on peut mener & tangentes représentées par l'équation u; —0o; et la nature du point multiple variera selon que les racines de cette équation seront

4o CHAPITRE He toutes réelles et inégales, ou que deux ou plusieurs d’entre elles seront égales ou imaginaires.

Un point multiple de l'ordre k peut être considéré comme résultant de la réunion de ! $k(k —1) points doubles. On peut, comme exemple, considérer le cas de # lignes droites qui doivent être regardées comme formant un système ayant $k(k—1) points doubles, à savoir les intersections mutuelles de ces droites. Mais, si toutes les droites passent par le même point, ce point devient dans le système un point multiple de l'ordre & et prend la place de tous les points doubles. Le principe est le même, que les lignes qui se coupent soient droites ou courbes. Une courbe peut, par le croisement mutuel de Æ branches, avoir $k (—1) points doubles; mais, si toutes ces branches passent par le méme point, ces points doublessont remplacés par un point multiple d'ordre #.

M. Savoir qu'un point particulier est un point double d'une courbe équivaut à trois conditions.

En effet, si nous prenons ce point pour origine, trois termes de l'équation s’annulent (n° 37), et nous avons à notre disposition trois constantes de moins que dans le cas général. Si, de plus, on nous donne les tangentes au point double, ceci équivaut à deux conditions de plus; car, maintenant, en outre de Ao, B—0, C —o, nous connaissons aussi les rapports D; E, D:F.

Donner un point triple équivaut à six conditions; car, en le prenant pour origine, les six termes de degré inférieur disparaissent; et de même, en général, donner un point multiple de l’ordre Æ équivaut à ? Æ(Æ + 1) conditions,

42. Il existe une limite pour le nombre de points doubles que peut posséder une courbe du n'** degré, quand elle ne se décompose pas en d'autres courbes de degré moindre.

+ Par exemple, une courbe du troisième degré ne peut avoir

PROPRIETES GENRRALES DES COURBES. 41

deux points doubles; car si cela était, la droite qui les réunit devrait être considérée comme coupant la courbe en quatre points ; or il ne peut y avoir sur une droite plus de trois points d'une courbe du troisième degré, à mdins que la courbe ne se compose de cette droite et d’une conique.

De même, une courbe du quatrième degré ne peut avoir quatre points doubles; car, s’il en était ainsi, la conique déterminée par ces quatre points et par un cinquième point de la courbe devrait être considérée comme rencontrant cette courbe en neuf points (1); tandis qu'aucune conique, distincte de la courbe, ne peut la rencontrer en plus de 2 x 4 ou 8 points. Et, en général, une courbe du n° degré ne peut avoir plus de $(m—1)(n— 2) points doubles; car, si elle en avait un de plus, par cesi(n —1)(m — 2)+1 points et

(*) Si un point d’intersection de deux courbes est un point double sur l'une d'elles, cette intersection doit ètre comptée pour deux points, et les courbes ne peuvent plus se couper qu’en n — 2 autres points. Si c'est un point double sur toutes les deux, l'intersection doit compter pour quatre points. Et, en général, si sur l’une des courbes, le point d’intersection est un point multiple de degré k, et sur l'autre un point multiple de degré /, l'intersection doit étre comptée pour Al points. Ainsi, par exemple, un «ystème de k lignes droites rencontre un système de Z lignes droites en Al points; mais si toutes les droites du premier système passent par un point silué sur une droite du second, le point évidemment compte pour À intersections et les droites ne se coupent plus qu'en A (2 — 1) autres points. El chacune des droites des deux systèmes passe par le mème point, ce point compte pour kl intersections et les droites ne se rencontrent plus nulle part ailleurs.

Si deux courbes sont tangentes en leur point d’intersection, le point de contact comptera aussi pour deux intersections, puisque ces courbes ont en commun deux points qui coïneident. Si le point d'inter<ection est un point multiple sur l’une des courbes ou sur toutes deux, et si l’une des tangentes au point multiple est commuue aux deux courbes, nous devons ajouter une unité au nombre des intersections, auquel équivaut le point multiple, ainsi qu'on l’a montré. En effet, en outre des points qui leur sont communs, comme un l'a démontré, elles ont un point consécutif commun sur une des branches qui passent par le point multiple.

Le lecteur n’aura aucune difficulté à reconnaitre l'effet d’une combinaison quelconque de tangentes et de points multiples. -

fa CHAPITRE 11.

sims du degré (n—2) (n° 27), qui devrait être considérée comme coupant la courbe donnée en 2 [$(m—1)(n —2)+1}+n—3 ou n(n — 2)+4 potats; ce qui est impossible, si la courbe donnée est une courbe propre du degré x. Parle fait, la démonstration que nous venons de donner montre seulement que les courbes ne peuvent avoir plus d'un certain nombre de points doubles, mais elle ne prouve pas (ce qui est réellement le cas) qu'elles puissent toujours en avoir autant.

43. Si la courbe a des points multiples d'ordre plus élevé, le même critérium s'applique et chaque point multiple d'ordre & doit ere compté comme équivalent à 4k(k-=4) points doubles. Mais la possibilité de remplacer un certain nombre de points doubles par un point multiple d'ordre plus élevé est soumise à des restrictions. Ainsi une courbe du cinquième degré peut bien avoir six points doubles, et il est possible de remplacer trois d’entre eux par un point tiple; mais, dans ce cas, les trois autres points doubles ne peuvent plus être remplacés par un second point triple, puisque la droite qui les joindrait rencontrerait la courbe en plus de cing points. D'une manière générale, si ume courbe aan point mu ple de l'ordre nai clone AE d'autre point es d'ordre plus élevé qu'un point double et, conformément au critérium, elle ne peut avoir plus de

n— 2 de ces derniers.

44. Nous appellerons déficience ou genre d'une courbe le nombre D qui exprime combien elle a de points doubles en moins du nombre maximum qu’elle en peut posséder; ce nombre joue un rôle important dans la théorie des courbes. SiD— 0, c'est-à-dire si une courbe a son nombre maztmum de points doubles, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent s'exprimer sous forme de

fonctions adgébriqaes nationnelles d'un paramètre vareable {+}. En effet, les i(n —1)\(n — 2) poists doubles et n — 3 autres points pris sur la courbe équivalent ensemble a (mn + 4)(æ—2)—1 points, c'est-à-dire à autant de posts moins wn qu'il en faut pour déterminer une courke de degré A— 25 nous pouvons donc faire passer par ces paints un système de courbes de ce degré qui seront comprises dans l'équation U— }V. Si maintenant nous éliminoas ume des variables entre cette équation et celle de ta courbe donnée, nous avons, pour déterminer l’autre coordonnée des points d'intersection, une équation du degré n(n — 2) dans laquelle À entre au n°" degré. Or, dans cette équation, toutes les racines sont connues, excepté une; car les points d’intersection des courbes se composent des points doubles comptés deux fois, des nm — 3 points qu'on a choisis et d’un autre point seulement, puisque

(An —1)(rn — 2)+-(n — 3)4+1=Aan(n— 2).

Si donc, par la division, nous enlevons les facteurs connus de l'équation, il ne reste que la seule racine inconnue, déterminée comme fonction algébrique du n'*™* degré en x. Réciproquement, si les coordonnées peuvent être exprimées sous forme de fonctions rationnelles d’un paramètre, la courbe a sen nombre maximum de points doubles. Les courbes de cette nature sont appelées courbes wnicursales. Si nous connaissons x, y, 3 el si ces quantités sont respec- Uvement proportionnellesa aX" +-..., a! +. .-, aM +..., l'éimivation de À s'effectue facilement par la méthode dsa-

tique. Écrivons Les trois équations sous la forme Or—ah*+..., Oy =a@*+..., 05—a7+..….,

el aultiplions successivement chacuned'elles par).,?,...,4¢~';

(') Voir Heamitz, Cours d’Anatyse(p. 244 et suiv.).

Vingt conditions déterminent une courbe du cinquième degré. Nous pouvons donc prendre arbitrairement six de ses points doubles ainsi que le couple de tangentes en l’un d’eux; mais la courbe se trouve alors complètement déterminée, et par conséquent il en est de même des couples de tangentes aux cing autres points doubles.

Vingt-sept conditions déterminent une courbe du sixième degré. Il semblerait donc, à première vue, qu’on pourrait décrire une pareille courbe ayant pour points doubles neuf points pris arbitrairement. Mais il n’en est pas ainsi; car ces neuf points déterminent une cubique U = o et une courbe du sixième ordre ayant les neuf points pour points doubles et, en général, la seule courbe de cette espèce est U?— 0, c’est-à-dire la cubique répétée deux fois. Il n’est même pas possible, dans ce cas, de prendre arbitrairement huit des neuf points doubles.

Il en est de même pour les courbes de degrés plus élevés ; quand elles ont leur nombre maximum de points doubles, ou même quelquefois un nombre moindre que le maximum, il doit exister certaines relations qui relient ces pointsentreeux. Excepté pour le cas de courbes du quatrième degré, nous n'avons pas connaissance qu'on ait fait de tentatives pour donner à ces relations une expression géométrique ; et il doit encore rester à découvrir une classe fort étendue de théorèmes de cette nature.

46. Ce qu'on vient de dire suffit pour permettre au lecteur de se faire une idée de la nature des points multiples des courbes. Nous allons montrer maintenant qu'une courbe peut également avoir des tangentes multiples; ou, en d’autres termes, qu’il peut exister des droites qui soient tangentes à la courbe en deux ou plusieurs points, ou qui aient avec elle un contact du second ordre, ou d’un ordre plus élevé. Les points qu'on nomme généralement points singuliers des courbes

PROPRIETES GÉNÉRAERS DES COURBES. 47

1° a et D étant tous deux réels ( fig. ro), l'axe est tangent à

la courbe aux deux points réels x =a, x = b. Il est évident qu'une pareille tangente, coupant la courbe en deux couples

Fig. 10.

de points coïncidents, ne peut passe rencontrer dans unè courbe dont Le degré. est inférieur au. quatrième. 2° a et b sont imaginaires, c’est-à-dire l'éguation-est

P(z+pr+gqg}(z—c)...— 0;

nous avons une tangente double, dont les deux points de contact sont imaginaires.

Si nous avons entre les racines une égalité a—=d—c, l'équation prend la forme

P(x—a}(æzx—a)...—0,

où a doit être supposé réel.

L’axe rencontre la eourhe en trois points coasécmtifs. En général, si mous prenons trois points consécutifs sur une courbe, la droite qui joint le premier et le secowd est ume langente et celle qui joint le second et le troisième est ka tangente consécutive. Donc, dans le eas actuel, deux tangentes consécutives coincident.

Par suite aussi, dans un cas de ce genre, l’axe peut être appelé une tangente séationnaire ; en effet, si nous considérons la courhe comme l'enveloppe d'une droite mobile, deux positions consécutives de la droite mobile coimeident dans ce cas. Le paiat de contact d’ume tangente statiunmaire est appelé point dinféexion.

St À — 0, B— a, D =a, l'origine est on point d’inflexion

et y =o est la tangente en ce point (fig. 11), puisque | i Fig. 11.

l'équation est alors de la forme Pat(e—e)..

AT. Le point double et le point conjugué (n° 38) correspondent préeisément à la tangente double à contacts réels et à la tangente double à contacts imaginaires; le rebroussement ou point stationnaire lui aussi correspond à la tangente .stationnaire. Mais il n'existe aucune correspondance dans les théories analytiques; en effet, pour le point de rebroussement, nous avons une égalité a= b qui est un cas particulier des valeurs inégales (a, b) correspondant, au point double ordinaire et au point conjugué; pour le point d’inflexion, nous avons une double égalité a= b=, mais cette relation est essentiellement distincte par sa nature des égalités a= b,c =d, qui sont relatives à la tangente double à cotacts réels ou imaginaires. Nous avons étudié les points doubles au moyen des coordonnées ponctuelles; pour faire correspondre les théories analytiques, il aurait ‘fallu discuter les tangentes doubles au moyen des coordonnéestangentielles ; latangente stationnaire seserait alors présentée à nous comme un cas particulier de la tangente double. Mais, dans ce qui précède, la tangente stationnaire apparaît comme une singularité distincte de la tangente double; d’une manière analogue, en employant les coordonnées tangentielles, le point cuspidal se serait présenté comme une singularité distincte du point double; c'est en ayant égard à cette particularité que l'on avait fait la remarque (n° 38) que le point cuspidal est réellement une singularité distincte. Les singala-

rilés se correspondent alors mutuellement ainsi qu'il suit :

Un point double ou nœud (nœud crucial ou point conjugué) correspond à...................

Un point cuspidal, point de rebroussement ou point stationnaire, correspond à.......... ,

| Une tangente double (contacts réels ou imaginaires).

Une tangente stationnaire, ou tangente en un point d’inflexion.

Etc’est seulement en se plaçant à un certain point de vue que le rebroussement est un cas particulier du point double, et à un point de vue différent (le point de vue réciproque) que la tangente stationnaire est uncas particulier de la tangente double.

Si nous considérons la courbe comme décrite par un point qui se meut le long d’une droite, tandis que cette droite pivote cn méme temps autour du point, le mouvement présente une particularité réelle pour le point de rebroussement; le point devient d’abord stationnaire, puis son mouvement change de sens; d'une manière analogue, en un point d’inflexion la droite devient d’abord stationnaire et son mouvement change ensuite de sens. En un point double, il n’y a rien de particulier dans le mouvement du point mobile; il arrive seulement que ce point, dans son déplacement, passe deux fois par la même position; de même, pour la tangente double, la droite dans son mouvement passe deux fois par la même position sans que son mouvement offre rien de particulier à signaler. Le rebroussement et la tangente stationnaire sont des singularités, dans un sens plus précis que le point double et la tangente double.

48. Dans les cas ordinaires, la courbe est située tout entière d’un même côté de la tangente; mais, en un point d'inflesion, elle coupe la tangente et se trouve en partie d’un côté et en partie de l’autre de cette droite. Ce n'est là qu’un cas particulier du théorème suivant, plus général : Deux

S. — Courbes planes. y

signe quand À en change. Donc la courbe qui est au-dessus, d'un côté du point donné, restera également au-dessus de

. dp dy .

l'autre côté. Or, quand In 7, les courbes sont manifeste-

ment plus rapprochées l’une de l’autre que dans le cas précédent, puisque la différence des ordonnées ne renferme plus la première puissance de h. On exprime géométriquement cette condition sous forme équivalente en disant que les courbes ont deux points consécutifs communs. On peut aussi démontrer ce résultat comme 11 suit: x’, y’, x", y” étant les coordonnées rectangulaires de deux points d’une courbe,

ty . . .

eS =— est évidemment la tangente trigonométrique de langle

que la corde qui les joint fait avec l'axe des x; mais, si les

e oe e d deux points coincident, nous voyous que la valeur de oy dx

pour le point donné exprime la tangente trigonométrique de langle que la droite qui joint ce point au point consécutif (c'est-à-dire la tangente en ce point) fait avec l’axe des x; conséquemment, si deux courbes ont un point com-

. . ay mun et si, pour ce point, —— est le méme pour les deux

courbes, 1l en résulte que le point consécutif est aussi commun a ces courbes.