SL

dans cette relation, 12 désigne la droite qui joint les sommets I, 2, ... ; et par conséquent L représente la droite qui passe par les points d'intersection des côtés opposés,

Soit encore

1 2 . 34 . 56 — 36 . 25 . 1 4 = SiM ;

nous avons évidemment alors

c'est-à-dire que la droite de Pascal fournie par la dernière équation passe par l'intersection des deux autres.

On peut cependant remarquer que le théorème du n° 31 dans le cas en question (/i = 3), est un cas particulier du théorème du n"^ 30. En effet, le système des trois côtés impairs est l'une des cubiques U =: o, V = o du n^ 30, et le système des côtés pairs est l'autre cubique. Nous pouvons déduire directement le théorème de Pascal de cette proposition; en effet, si nous considérons la conique qui passe par les six points sommets et la droite qui joint deux des trois autres points d'intersection, cette conique et cette droite constituent une cubique qui passe par huit de ces neuf points, et conséquemment par le neuvième. C'est-à-dire que la droite passe par le troisième des points d'intersection des côtés opposés; autrement dit, ces trois points sont en ligne droite.

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33. Bien que deux courbes du n'®°'® degré se coupent en n- points, on a cependant démontré que ii^ points, pris arbitrairement, ne seront pas les intersections de deux de ces courbes; mais que, n- — ^(/i — 0 (^^ — ^) d'entre eux étant donnés^ le reste sera déterminé. Il existe un théorème semblable pour les np points d'intersection de deux courbes, Tune du degré n^ l'autre du degré p. Ainsi, bien qu'une courbe du troisième degré coupe une courbe du quatrième en douze points, cependant, par douze points pris arbitrairement sur une courbe du troisième degré, il sera, en général, impossible de décrire une courbe propre du quatrième degré. En effet, la ligne du quatrième degré qui passe par ces douze points et par deux autres points ne sera, ea général, rien autre chose que la courbe du troisième degré et la droite qui joint les deux points. Et généralement, toute courbe du n^^^^ de gré ^ menée par np — | {p — 0 {p — ^-) points situés sur une courbe du degré p {p étant moindre que n)y rencontre cette courbe en- (p — i)(p — i) autres points fixes. En effet, dans le n° 31, nous avons eu occasion de voir que

np — \{p—i){p--'i)-^\(^n~p){n--p-\-l)~\n{n-^Z)--\.

Donc (d'après le n*" 30) tout système du /i'^""® degré mené par les points donnés et par~(/^ — />)('^ — /> + 3) autres points passe encore par ^ (/2 — 1)(^ — ^) autres points fixes.. Or un svstème du yi^^°^® degré pouvant passer par les points est la courbe donnée du degré/? et une autre courbe de degré (/2 — p) passant par les points additionnels. Les ^(/i — i)(/z — 2) nouveaux points doivent donc se trouver, les uns sur l'une de ces courbes, et les autres sur l'autre. Et il est évident que ces points doivent être distribués entre elles de telle manière que le nombre total des points soit np dans le premier cas et n [n — p) dans le second. Ceci démontre l'exactitudje du théorème énoncé.

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3o CHAPITRE II,

34. M. Cayley a donné à ce théorème une extension pius grande. Toute courbe du degré r (r étant plus grand que m, ou /i, mais pas plus grand que ni-\-n — 3 ) qui passe par tous les mn points d^ intersection de deux courbes des degrés m et n, sauf ^ {m -\- n — r — i) (m-\- n — r — 2), passera aussi par tous les autres points.

Le lecteur comprendra mieux l'esprit de la démontsration générale que nous allons donner, si nous faisons d'abord une application de ce théorème à un cas particulier ; « Toute courbe du cinquième degré qui passe par quinze des points d'intersection de deux courbes du quatrième degré passera aussi par le seizième. )) En effet, prenons arbitrairement deux points sur chacune des courbes du quatrième degré. Ces quatre points, joints aux quinze points donnés, constituent un total de dix-neuf points ; si plusieurs courbes du cinquième degré passent par ces points, elles passeront aussi (n" 30) par six autres points fixes. Mais chaque courbe du quatrième degré et la droite qui joint les deux points arbitraires pris sur l'autre courbe forment un système du cinquième degré passant par les dix-neuf points. Donc toutes les intersections des courbes données du quatrième degré sont sur une courbe du cinquième degré passant par ces points; ce qu'il fallait démontrer.

De même, en général, prenons j [r — m) (r — m + 3) points arbitraires sur une courbe du n^^^^ degré, et par ces points faisons passer une courbe du degré (r — m)\ prenons aussi {(r — n) [r — n-\-Z) points sur la courbe xie degré m et, par ces points, faisons passer une courbe du degré (r — n)\ prenons enfin parmi les mn intersections autant de points qu'il en faut pour arriver au nombre de^7'(r — 3) — i avec les points arbitraires : comme les courbes du degré [r — m) et m constituent alors un système du degré r passant par les points, et que les courbes du degré (r — n) et n en forment un autre, les points d'inter-

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 3l

section de ces deux systèmes seront communs à toute courbe du degré /rqui passera par ces points. Mais

■lr(r^3) ~ 1 — l(r ~m){r ~ m-i- 3) —{(r — n){r — n-{-3) = mil — \<yTn-\- n — r — i ) ( m -\- n — r — 2 ),

comme le lecteur peut le vérifier sans difficulté. L'exactitude du théorème se trouve ainsi démontrée. Pour que notre raisonnement soit applicable, il faut que r soit au moins égal au plus grand des deux nombres m et n\ il faut aussi que (r — m) soit moindre que n\ car, s'il en était autrement, il ne serait pas possible de faire passer, par les points pris sur ]a courbe du 7^'^"'® degré, une courbe de degré (r — m) distincte de la courbe de degré /z, ou qui ne la contînt pas comme partie intégrante; et comme le théorème est illusoire pour r ^=^m -\- n — 1 on in-\- n — 2, la condition à remplir consiste en ce que r ne doit pas être plus grand que

(') Euler paraît avoir remarqué le premier ce paradoxe que deux courbes du /i'^™* degré peuvent se couper en un nombre de points plus considérable que celui qui suffit pour déterminer une pareille courbe (voir un Mémoire dans les Transactions de Berlin pour 1758 : Sur une contradiction apparente de la théorie des courbes), La même difficulté est indiquée par Cramer dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, publiée en 1750. Cependant c'est à une date relativement toute récente qu'on a remarqué les importants théorèmes de Géométrie qui dérivent de ce principe. En 1827, Gergonne a donné le théorème du n*" 31 {Annales, vol. XVII, p. 220). Le théorème général du n*' 30 a été trouvé à peu près à la même époque par Plucker {Entwickelungen, t. I, p. 228; Gl Annales de Gergonne^ Tome XIX, p. 97 et 129). C'est quelques années après qu'on a é udié la relation qui existe entre les points d'intersection de courbes et de surfaces de degrés différents (comme dans le n° 33). Ces cas ont été discutés dans deux Mémoires envoyés en même temps pour êLre publiés dans le Journal de Crelle, Tua par Jacobi (t. XV, p. 286) l'autre par PlUcker (t. XVI, p. 47)- En outre des articles qu'on vient de mentionner, le lecteur peut aussi consulter un Mémoire de M. Cayley. {Journal matkéniatique de Cambridge, t. lïl, p. 211). La notice liis-

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Section II. — De la nature des points et tangentes multiples des courbes.

33. La manière la plus simple de présenter au lecteur la théorie des points singuliers et des droites singulières des courbes paraît être la suivante : faire comprendre d'abord par des exemples particuliers la nature de ces points et de ces droites; poser ensuite des règles qui permettent d'en découvrir l'existence en général.

Nous emploierons Féquation en coordonnées cartésiennes donnée dans le n^ 26. Si nous rapportons cette équation à des coordonnées polaires en remplaçant x et y par p cos 9 et p sinQ (ou par mp et /zp, si les axes ne sont pas rectangulaires; voir Sections coniques^ n° 136), nous obtenons une équation du n'^'^^ degré en p, dont les racines sont les distances de l'origine aux ii points où la courbe est rencontrée par une droite issue de l'origine et faisant un angle 9 avec l'axe des x.

36. Si dans l'équation générale le terme absolu A est égal à zéro, l'origine est un point de la courbe; en effet, l'équation est évidemment satisfaite par les valeurs x = Oy j' =: Oy c'est-à-dire par les coordonnées de l'origine. On déduit le même résultat de l'équation exprimée en coordonnées polaires

(B cos6 -hC sine) p

+ (Dcos^- 6-1- EcosG sinô -f- F sln^6) p'- -]-... ~ o.

En effet, cette équation étant divisible par p, une de ses

torique donnée dans la présente note est empruntée à Pliicker^ Théorie des courbes algébriques, p. i3. (Note dl l'Autl:iî[i).

On trouvera également une discussion complète de ces théorèmes dans l'Ouvrage de M. Cvemona {Introduzione ad una Theovla geometrica délie curve piajie) .

racines doit être p = 0, quelle que soit la valeur de 9, et, dans ce eas, l'un des n points suivant lesquels une droite quelconque menée par l'origine rencontre la courbe coïncidera avec l'origine elle-même. Les {n — i) autres points seront en général distincts de l'origine ; il existe cependant une valeur de S pour laquelle un second point coïncidera encore avec Torigine; ce cas se présentera quand 8 sera tel qu'on ait

BcosO 4- G sin6 = o.

L'équation devient alors

(Dcos^Ô +E cosGsine -h F sin^O) p2 4-...™ o ;

elle est divible par p- et, par conséquent, deux de ses racines ont pour valeur p = o. La droite qui correspond à cette valeur de 9 rencontre donc la courbe en deux points qui coïncident; autrement dit, elle est la tangente à rorigine.

Comme nous n'avons qu'une seule équation pour déterminer tang 9, nous voyons qu'en un point donné d'une courbe on ne peut en général mener qu'une seule tangente. Son équation est évidemment

p ( B ces 0 -h G si n 0 ) -— o ou \^x-\-Cy'—o,

Donc, si r équation d'une courbe est U\ + u-i -{-... = o \V origine étant un point de la courbé), V équation de la tangente à V origine est u^ = o.

Si B==:o, l'axe des x est une tangente; si G = o, c'est l'axe des r.

37. Supposons maintenant que A, B, G soient tous nuls; le coefficient de p sera égal à zéro, quelle que soit la valeur de 9. Donc, dans ce cas, toute droite menée par l'origine rencontre la courbe en deux points qui coïncident avec l'origine. On dit alors que l'origine est un point double.

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INoLïs pouvons encore voir ici, exactement comme dans l;e numéi^o précédent, que dans ce cas l'on peut mener par Torigine des droites qui rencontrent la courbe en trois points coïncidents. En effet, supposons que 9 soit tel qu'il annule le coefficient de p^, ou que

D cos-O-f- EsinOcosô 4-Fsin^ô = o,

l'équation devient alors divisible par p^, et trois des valeurs de p sont égales à zéro. Comme nous avons une équation du second degré pour déterminer tangO, il s'ensuit que par un point double on peut mener deux lignes droites rencontrant chacune la courbe en trois points qui coïncident. Leur équation est

^^{\y cos^ 0 -f- E ces 0 sin 6 -f- F si n"^ 0) = o, ou

D^^-l-E^.;X-hFr2=r.o.

Ceci nous montre que, bien que toute droite menée par un point double r.:ncontre la courbe en deux points coïncidents, il y a cependant deux de ces droites dont le contact avec la courbe est plus intime que cekii des autres droites; on a pour cette raison l'habitude de dire qu'en un point double d'une courbe on peut mener deux tangentes. Si l'équation de la courbe (l'origine étant un point double) est mise sous la forme u^ 4- u^ +... = o, ii^ = o est alors l'équation du couple de tangentes à l'origine.

38. Il est nécessaire de distinguer trois espèces de points doubles, suivant que les droites représentées par l'équation Wo = o sont réelles, imaginaires ou coïncidentes.

i" Dans le premier cas, les tangentes sont toutes deux réelles; le point double ou nœud est tel que le représente la seconde figure (n*^ 39). Un simple examen de la courbe montre que le nœud est le point d'intersection de deux branches dont chacune a sa tangente propre; et l'équation du

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second degré qui précède détermine par le fait les directions de ces deux langentes; un point de ce genre est nommé un nœud en croix o\\ point crunodaL

On se trouve en présence d'un exemple simple de points doubles de cette sorte, quand l'équation donnée est le pro- • luit de deux équations de degrés moindres, c'est-à-dire quand U =: PQ. L'équation U = o représente alors les deux courbes P =: o et Q = o. Mais si l'on considère ces deux dernières comme constituant ensemble une courbe du /i'*""® degré, on doit dire que cette courbe a pq points doubles (ce sont les points où P coupe Q), et en chacun de ces points il y a évidemment deux tangentes (les tangentes à P et à Q).

2" L'équation u^ = o peut avoir ses deux racines imaginaires. Dans ce cas, il n'y a pas de point réel consécutif à l'origine, qui est alors appelée Kn\ point conjugué ow acnodal. Ses coordonnées satisfont bien à l'équation de la courbe, mais il ne semble pas être situé sur cette courbe ; et, par le fait, on ne peut seulement faire ressortir géométriquement l'existence de points de cette espèce, qu'en montrant qu'il existe des points tels que toute droite menée par eux ne peut rencontrer la courbe en plus de (/z — 2) autres points.

3^ L'équation i/2 peut être un carré parfait; dans ce cas, les tangentes au point double coïncident et la courbe prend la forme représentée dans la quatrième figure (n^ 39). Des points de ce genre sont appelés/?om^5 Ci/.5:/>i:c/at^^ onpointsde rebroussement. On les appelle aussi quelquefois />om^5 stationnaires ;eïieïïel^ si nous imaginons que la courbe soit engendrée par le mouvement d'un point, en tout point cuspidalle mouvement qui s'effectue dans un sens déterminé éprouve un arrêt et se change en un mouvement dans le sens opposé.

Le lecteur pourrait se figurer qu'il est facile de donner des exemples de ces points, comme dans le numéro précédent, en supposant que la courbe U se décompose en deux autres courbes P et Q tangentes entre elles; car tout point de

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contactseraunpointdoiibleoLilestangentescoïncident(y?^.4) Mais un pareil point doit être classé parmi les singularités d'un ordre plus élevé que celles que nous considérons mainte- . nant ; en effet, la tangente en ce point ren-

>^^ , contre la courbe complexe en quatre points

^-^^^"""^^ consécutifs, c'est-à-dire en deux points situés sur chacune descourbessimples, tandisqu'aux points cuspidaux que nous considérons nous v\. y y' avons vu que la tangente rencontre générale-

ment la courbe en trois points consécutifs seulement. Pour que la tangente en un point cuspidal rencontre la courbe en quatre points consécutifs, il est nécessaire que non seulement u^ soit un carré parfait, mais que de plus sa racine carrée figure comme facteur dans W3 ; c'est-à-dire que l'équation doit être de la forme

Des points de ce genre proviennent de la réunion de deux points doubles, comme le lecteur s'en rendra facilement compte, d'après l'exemple que nous avons déjà donné. En effet, lorsque les deux courbes P et Q sont tangentes^ leur point de contact remplace deux points d'intersection.

11 convient de remarquer que le nœud (en croix) et le point conjugué sont des variétés du nœud et que ces variétés ont la même généralité; la seule différence qui existe entre eux est celle du réel et de l'imaginaire. Dans l'étude que nous venons de faire, le point cuspidal s'est présenté à nous comme un cas particulier du nœud. Cependant, c'est réellement une singularité distincte; cette remarque se justifiera dans ce qui suit.

39. Comme le lecteur éprouvera probablement quelque difficulté à se faire une idée de la relation qui existe entre les points conjugués et la courbe, nous allons élucider ce sujet

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par Texemple suivant. Prenons la courbe

Dans cette équation, nous supposons que a est plus petit et c plus grand que b. Cette courbe est évidemment symétrique par rapport à Taxe des x, puisque chaque valeur de x donne des valeurs àe y égales et de signe contraire. La courbe coupe Taxe des ,x aux trois points x-=^a^ x^b^ x^c. Tant que X est moindre que a, y^ est négatif et par suite r est imaginaire. jK^ devient positif pour des valeurs de x comprises

Fis. 5.

entre a et b, puis devient de nouveau négatif pour des valeurs de X entre b el c] et enfin il est positif pour toutes les valeurs de x plus grandes que c. La courbe {fig- 5) se compose donc d'un ovale situé entre A et B, et d'une branche qui commence en G et qui s'étend indéiîniment au delà. Supposons maintenant Z?==c; Téquation deviendra

r^ =: {x ~ a){x —- bf,

où b est plus grand que a. Le point B se confond maintenant

Fis. 6.

a^^ec le point C; B s'approchant de C, l'ovale et la branche infinie prennent une forme en pointe en marchant l'un vers l'autre; et, quand enfin les deux points B et G sont réunis,

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Tovale a rejoint la branche infinie et le poinl B (/ig. 6) est devenu un point double avec des branches qui se coupent sous un certain an^le.

Supposons au contraire b = a. L'équation devient alors

où a est moindre que b. L'ovale se réduit au point A et la courbe a la forme ci-contre (/ig- 7)»

Cet exemple montre suffisamment l'analogie qui existe

Fig. 7.

entre les points conjugués et les points doubles pour lesquels les tangentes sont réelles. Si nous supposons a^=.b^=^c^ l'équation devientj^- = [x — a)'% le point A [fig- 8) devient

Fig. 8.

un point cuspidal, comme dans le § 3^ du numéro précédent, et la tangente en ce point rencontre la courbe en trois points coïncidents A, B, C.

40. Si, dans l'équation générale, A, B, C, D, E, F étaient tous égaux à zéro, l'origine serait alors un point triple, et toute droite menée par l'origine rencontrerait la courbe en trois points coïncidents. Il est facile de voir, comme précédemment, qu'en un point triple il y a trois tangentes qui sont les droites représentées par l'équation U'^ = o. Nous pouvons aussi, comme ci-dessus, distinguer quatre espèces de points

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PROPRIÉTÉS GÉ^ÉRALES DKS COURBES. 89

triples, selon que les trois tangentes sont {^fig- 9) * \ci) toutes trois réelles, et (i) toutes trois distinctes, (2) deux coïnci-

dentes, (3) toutes trois coïncidentes, ou bien {h) cju'il y en a une réelle et deux imaginaires.

Un point triple peut être considéré comme provenant de la réunion de trois points doubles : dans les cas (a), ce sont: (i) trois nœuds en croix, (2) deux nœuds en croix et un point cuspidal, (3) un nœud en croix et deux points cuspidaux; c'est ce c[ue montrent les figures ci-contre ( /i^'. 9), Cjui représentent les trois points doubles sur le point de se réunir pour former un point triple. Le cas (3) diffère d'une manière à peine visible d'un point ordinaire de la courbe; mais, quand la figure est dessinée avec soin, il y a quelque chose d'un peu anguleux dans la courbe en ce point singulier. Dans le cas(Z?), il y a de la même manière une brandie réelle qui vient passer par un point conjugué ; mais, à l'œil, le point singulier ne paraît pas différent d'un autre point quelconque de la courbe.

Nous pouvons, d'une manière analogue, rechercher les conditions pour que l'origine soit un point multiple d'un degré quelconque plus élevé A*. Les coefficients de tous les termes de degré inférieur à k s'annuleront et Fécjuation sera de la forme

Uk 4- Uk^^ -f- . . . irz: O. .

Au point multiple en question on peut mener k tangentes représentées par Téquation ^^^^ = o ; et la nature du point multiple variera selon que les racines de cette équation seront

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4o CHAPITRE II.

toutes réelles et inégales, ou que deux ou plusieurs d'entre elles seront égales ou imaginaires.

Un point multiple de l'ordre k peut être considéré comme résultant de la réunion de ^ k{k — i) points doubles. On peut, comme exemple, considérer le cas de k lignes droites qui doivent être regardées comme formant un système ayant \k{k — i) points doubles, à savoir les intersections mutuelles de ces droites. Mais, si toutes les droites passent par le même point, ce point devient dans le système un point multiple de l'ordre k et prend la place de tous les points doubles. Le principe est le même, que les lignes qui se coupent soient droites ou courbes. Une courbe peut, par le croisement mutuel de k branches, avoir |/c(/c — i) points doubles; mais, si toutes ces branches passent par le même point, ces points doubles sont remplacés par un point multiple d'ordre k.

41. Savoir qu'un point particulier est un point double d'une courbe équivaut à trois conditions.

En effet, si nous prenons ce point pour origine, trois termes de l'équation s'annulent (n° 37), et nous avons à notre disposition trois constantes de moins que dans le cas général. Si, de plus, on nous donne les tangentes au point double, ceci équivaut à deux conditions de plus; car, maintenant, en outre de A = o, B=o, G = o, nous connaissons aussi les rapports D : E, D : F.

Donner un point triple équivaut à six conditions; car, en le prenant pour origine, les six termes de degré^ inférieur disparaissent; et de même, en général, donner un point multiple de l'ordre k équivaut à ~ k(k + i) conditions.

42. Il existe une limite pour le nombre de points doubles que peut posséder une courbe du n^^^^ degré, quand elle ne se décompose pas en d'autres courbes de degré moindre.

PoP exemple, une courbe du troisième degré ne peut avoir

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. ^l

deux points doubles ; car si cela était, la droite qui les réunit devrait être considérée comme coupant la courbe en quatre points ; or il ne peut y avoir sur une droite plus de trois points d'une courbe du troisième degré, à moins que la courbe ne se compose de cette droite et d'une conique.

De même, une courbe du quatrième degré ne peut avoir quatre points doubles; car, s'il en était ainsi, la conique déterminée par ces quatre points et par un cinquième point de la courbe devrait être considérée comme rencontrant cette courbe en neuf points (^) ; tandis qu'aucune conique, distincte de la courbe, ne peut la rencontrer en plus de 2 x 4 ^^^ 8 points. Et, en général, une courbe du n'^'^^ degré ne peut avoir plus de -!^(/i — i)('^ — ^) Points doubles; car, si elle en avait un de plus, par ces^(7Z — i)(n — 2)4-1 points et

(*) Si un point d'intersection de deux courbes est un point double sur l'une d'elles, cette intersection doit être comptée pour deux points, et les courbes ne peuvent plus se couper qu'en n — 2 autres points. Si c'est un point double sur toutes les deux, l'intersection doit compter pour quatre points. Et, en général, si sur l'une des courbes, le point d'intersection est un point multiple de degré k, et sur l'autre un point multiple de degré Z, l'intersection doit être comptée pour kl points. Ainsi, par exemple, un système de k lignes droites rencontre un système de l lignes droites en kl points; mais si toutes les droites du premier système passent par un point situé sur une droite du second, le point évidemment compte pour A" intersections et les droites ne se coupent plus qu'en k {l — i) autres points. Et si chacune des droites des deux systèmes passe par le même point, ce point compte pour kl intersections et les droites ne se rencontrent plus nulle part ailleurs.

Si deux courbes sont tangentes en leur point d'intersection, le point de contact comptera aussi pour deux intersections, puisque ces courbes ont en commun deux points qui coïncident. Si le point d'intersection est un point multiple sur l'une des courbes ou sur toutes deux, et si l'une des tangentes au point multiple est commune aux deux courbes, nous devons ajouter une unité au nombre des intersections, auquel équivaut le point multiple, ainsi qu'on l'a montré . En effet, en outre des points qui leur sont communs, comme on l'a démontré, elles ont un point consécutif commun sur une des branches qui passent par le point multiple.

Le lecteur n'aura aucune difficulté à reconnaître l'effet d'une combinaison quelconque de tangentes et de points multiples.

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[n — 3) an 1res de la courbe, nous pourrions décrire une courbe du degré {n — 2) (n^* 27), qui devrait être considérée comme coupant la courbe donnée en ^[^(/i — \)[n — 1)-\- \'\-\- n — 3 ou n(^7i — 2)+ I points; ce qui est impossible, si la courbe donnée est une courbe propre du degré n. Parle fait, la démonstration que nous venons de donner montre seulement que les courbes ne peuvent avoir plus d'un certain nombre de points doubles, mais elle ne prouve pas (ce qui est réellement le cas) qu'elles puissent toujours en avoir autant.

43. Si la courbe a des points multiples d'ordre plus élevé, le même critérium s'applique et chaque point multiple d'ordre k doit être compté comme équivalent à ^k{k — i) points doubles. Mais la possibilité de remplacer un certain nombre de points doubles par un point multiple d'ordre plus élevé est soumise à des restrictions. Ainsi une courbe du cinquième degré peut bien avoir six points doubles, et il est possible de remplacer trois d'entre eux par un point triple; mais, dans ce cas, les trois autres points doubles ne peuvent plus être remplacés par un second point triple, puisque la droite qui les joindrait rencontrerait la courbe en plus de cinq points. D'une manière générale, si une courbe a un point multiple de l'ordre n — 2, elle ne peut avoir d'autre point singulier d'ordre plus élevé qu'un point double et, conformément au critérium, elle ne peut avoir plus de n — 2 de ces derniers.

44. Nous appellerons déficience ou genre d'une courbe le nombre D qui exprime combien elle a de points doubles en moins du nombre maximum qu'elle en peut posséder; ce nombre joue un rôle important dans la théorie des courbes. SiT> z=^ o, c^ est-à-dire si une courbe a son nombre maximum de points doubles, les coordonnées dhin point quelconque de la courbe peuvent s^ exprimer sous forme de

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fonctions algébriques rationnelles d\ui paramètre variable (^). En effet, les |(/i — \){n — i) points doubles et ji — 3 autres points pris sur la courbe équivalent ensemble à :^(/i-f- i)(ai — 2) — ï points, c'est-à-dire à autant de points moins un qu'il en faut pour déterminer une courbe de degré n — 2; nous pouvons donc faire passer par ces points un svstème de courbes de ce degré qui seront comprises dans l'équation U = )vV. Si maintenant nous éliminons une des variables entre cette équation et celle de la courbe donnée, nous avons, pour déterminer l'autre coordonnée des points d'intersection, une équation du degré n(n — 2) dans laquelle \ entre au /z'^'"^ degré. Or, dans cette équation, toutes les racines sont connues, excepté une ; car les points d'intersection des courbes se composent des points doubles comptés deux fois, des n — 3 points qu'on a cboisis et d'un autre point seulement, puisque

Si donc, par la division, nous enlevons les facteurs connus de l'équation, il ne reste que la seule racine inconnue, déterminée comme fonction algébrique du n^^^^^ degré en x.

Réciproquement, si les coordonnées peuvent être exprimées sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre, la courbe a son nombre maximum de points doubles. Les courbes de cette nature sont appelées courbes unicursales. Si nous connaissons x^ jk, z et si ces quantités sont respectivementproportionnellesà a\'^ -f- . . . , a'X'^-h . . . , a!'\'^-{- . . . , l'élimination de \ s'effectue facilement par la méthode dialytique. Ecrivons les trois équations sous la forme

et multiplions successivement chacune d'elles parX,l-, .. .,A''~^ ; (*) Voir Hermite, Cours d'Analyse {'^. 244 et sniv ).

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nous aurons ainsi 3 /z équations, c'est-à-dire le nombre d'équations exactement suffisant pour éliminer linéairement les

quantités 6, 9X, ...,)., X^ L'équation de la courbe se

trouve mise alors sous la forme d'un déterminant de l'ordre 3/1, mais dont n lignes s-eulement renfermeront les variables; la courbe sera donc du n'^"'® ordre et son équation contiendra les coefficients a^ h^ ... au degré in. Tout ceci se comprendra mieux si nous indiquons ici le résultat pour le cas où n = 2. Nous avons alors les trois équations

^x — aX'^

Multiplions chacune d'elles par \ et éliminons ensuite linéairement les quantités 6, 9)., 1^, À^, \ entre les six équations, le résultat se présente sous la forme du déterminant

45. Il résulte du n° 41 que trois points quelconques pris arbitrairement peuvent être des points doubles d'une courbe du quatrième degré; car ces trois points n'équivalent qu'à neuf conditions. Mais les tangentes en ces points doubles ne peuvent pas être prises arbitrairement ; car, donner les trois points doubles et ces trois couples de tangentes équivaudrait à quinze conditions, c'est-à-dire à une condition de plus qu'il ne faut pour déterminer la courbe. Il doit donc exister une certaine relation entre ces tangentes, et, en effet, nous démontrerons plus loin que ces six tangentes sont toutes tangentes à une même conique, de sorte que, cinq d'entre elles étant données, la sixième est déterminée.

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Vingt conditions déterminent une courbe du cinquième degré. Nous pouvons donc prendre arbitrairement six de ses points doubles ainsi que le couple de tangentes en l'un d'eux; mais la courbe se trouve alors complètement déterminée^ et par conséquent il en est de même des couples de tangentes aux cinq autres points doubles.

Vingt-sept conditions déterminent une courbe du sixième degré. Il semblerait donc, à première vue, qu'on pourrait décrire une pareille courbe ayant pour points doubles neuf points pris arbitrairement. Mais il n'en est pas ainsi; car ces neuf points déterminent une cubique U = o et une courbe du sixième ordre avant les neuf points pour points doubles et, en général, la seule courbe de cette espèce est U - == o, c'est-à-dire la cubique répétée deux fois. Il n'est même pas possible, dans ce cas, de prendre arbitrairement huit des neuf points doubles.

11 en est de même pour les courbes de degrés plus élevés ; quand elles ont leur nombre maximum de points doubles, ou même quelquefois un nombre moindre que le maximum, il doit exister certaines relations qui relient ces points entre eux. Excepté pour le cas de courbes du quatrième degré, nous n'avons pas connaissance qu'on ait fait de tentatives pour donner à ces relations une expression géométrique ; et il doit encore rester à découvrir une classe fort étendue de théorèmes de cette nature.

46. Ce qu'on vient de dire suffit pour permettre au lecteur de se faire une idée de la nature des points multiples des courbes. Nous allons montrer maintenant qu'une courbe peut également avoir des tangentes multiples; ou. en d'autres termes, qu'il peut exister des droites qui soient tangentes à la courbe en deux ou plusieurs points, ou qui aient avec elle \\\. contact du second ordre, ou d'un ordre plus élevé. Les poinh qu'on nomme généralement points singuliers des courbes

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4^) CUAPlTRIi: II.

peuvent se ranger en deux classes : les points multiples et les points de contact de tangentes midtiples. Nous avons fait connaître au lecteur les points multiples en examinant le cas particulier où l'origine était un point multiple; il sera aussi plus simple de commencer notre discussion des tang-entes multiples en cherchant la condition pour que l'axe des .r ( K = o) soit une tangente multiple.

Nous trouvons en général les points où cette droite rencontre la courbe en faisant r=: o dans l'équation générale, ce qui nous donne

cette équation peut se mettre sous la forme

où a^ b^ c^ ... sont les valeurs de x pour les points où l'axe rencontre la courbe.

L'axe en question sera une tangente à la courbe si deux de ces points coïncident, c'est-à-dire s'il existe entre les racines une seule égalité a = 6. L'équation devient ainsi

L'axe est alors tangent à la courbe au point ^=za,j = o. Si A =r o, B = o, l'axe est tangent à la courbe à l'origine. Nous considérons seulement le cas où a est réel, parce que, l'équation éta t réelle, une égalité a^=.h entre deux racines imaginaires entraînerait nécessairement une autre égalité c = 6/ entre les deux autres racines imag-inaires conjuguées.

L'axe est une tangente double, s'il existe entre les racines les deux égalités c== a, ^= b ; l'équatio devient alors

V {x — af {x — bf{x~c)...:=:io, et nous avons alors les deux cas suivants :

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i^ a el b étant tous deux réels [Jig- lo), l'axe est tangent à la courbe aux deux points réels ^ = a, ^ = 6. Il est évident qu'une pareille tangente, coupant la courbe en deux couples

de points coïncidents, ne peut passe rencontrer dans une courbe dont le degré est inférieur au quatrième.

2" a et 6 sont imaginaires, c'est-à-dire l'équation est

P (.z'' + px -^ (])- {.X — ■ c) . . .-=1 o;

nous avons une tangente double, dont les deux points de contact sont imaginaires.

Si nous avons entre les racines une égalité a = b = Cj Téquation prend la forme

P ( ^^ — a'f {œ — a) , . .-zzzo^

où a doit être supposé réel.

L'axe rencontre la courbe en trois points consécutifs. En général, si nous prenons trois points consécutifs sur une courbe, la droite qui joint le premier et le second est une tangente et celle qui joint le second et le troisième est la tangeute consécutive. Donc, dans le cas actuel, deux tangentes consécutives coïncident.

Par suite aussi, dans un cas de ce genre, l'axe peut être appelé une tangente stationnaire; en effet, si nous considérons la courbe comme Ven^eloppe d^ une droite mobile, deux positions consécutives de la droite mobile coïncident dans ce cas. Le point de contact d'une tangente stationnaire est appelé point cVinflexlon.

Si A = o, B = o, D = o, l'origine est un point d'inflexion

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4B CIIAPITUE II.

eiy=zo est la tangente en ce point (/%. 1 1), puisque

Fig. II.

l'équation est alors de la forme

47. Le point double et le point conjugué (n° 38) correspondent précisément à la tangente double à contacts réels et à la tangente double à contacts imaginaires ; le rebroussement ou point stationnaire lui aussi correspond à la tangente stationnaire. Mais il n'existe aucune correspondance dans les théories analytiques; en effet, pour le point de rebroussement, nous avons une égalité a=^ b qui est un cas particulier des valeurs inégales {a, b) correspondant au point double ordinaire et au point conjugué; pour le point d'inflexion, nous avons une double égalité a =: ^ = c, mais cette relation est essentiellement distincte par sa nature des égalités a = ^, (? = (^^ qui sont relatives à la tangente double à contacts réels ou imaginaires. Nous avons étudié les points doubles au moyen des coordonnées ponctuelles; pour faire correspondre les théories analytiques, il aurait fallu discuter les tangentes doubles au moyen des coordonnées tangenlielles ; la tangente stationnaire se serait alors présentée à nous comme un cas particuber de la tangente double. Mais, dans ce qui précède, la tangente stationnaire apparaît comme une singularité distincte de la tangente double; d'une manière analogue, en employant les coordonnées tangentielles, le point cuspidal se serait présenté comme une singularité distincte du point double ; c'est en ayant égard à cette particularité que l'on avait fait la remarque (n"" 38) que le point euspidal est réellement une singularité distincte. Les singula-

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rites se correspondent alors mutuellement ainsi qu'il suit :

Un point double ou nœud (nœud \ ^^ ^ . j i i / . .

^ . ^ . . \ Une tangente double (contacts

crucial ou. point conjugue) cor- '

respond à.

réels ou imaginaires).

Un point cuspidal, point de re- \ ,, . .

, ^ r ^r ^ Une tangente stationnaire, ou tan-

broussement ou point station- ^

naire, correspond a.

gente en un point d'inflexion.

Et c'est seulement en se plaçant à un certain point de vue que le rebroussement est un cas particulier du point double, et à un point de vue différent (le point de vue réciproque) que la tangente stationnaire est un cas particulier de la tangente double.

Si nous considérons la courbe comme décrite par un point qui se meut le long d'une droite, tandis que cette droite pivote en même temps autour du point, le mouvement présente une particularité réelle pour le point de rebroussement; le point devient d'abord stationnaire, puis son mouvement change de sens; d'une manière analogue, en un point d'inflexion la droite devient d'abord stationnaire et son mouvement change ensuite de sens. En un point double, il n'y a rien de particulier dans le mouvement du point mobile; il arrive seulement que ce point, dans son déplacement, passe deux fois par la même position; de même, pour la tangente double, la droite dans son mouvement passe deux fois par la même position sans que son mouvement offre rien de particulier à signaler. Le rebroussement et la tangente stationnaire sont des singularités, dans un sens plus précis que le point double et la tangente double.

48. Dans les cas ordinaires, la courbe est située tout entière d'un même côté de la tangente ; mais, en un point d'inflexion, elle coupe la tangente et se trouve en partie d'un côté et en partie de l'autre de cette droite. Ce n'est là qu'un cas particulier du théorème suivant, plus général : Deux S. — Courbes planes. 4

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5o CHAPITRE II.

courbes, qui ont en commun un nombre pair de points, sont tangentes sans se couper; celles qui ont un nombre impair de points communs se coupent mutuellement en leur point de rencontre ,

Soient jK = f (^)î J>^ = ^ (^) les équations des deux courbes et supposons qu'elles se coupent au point [x=za)\ d'après le théorème de Taylor, les valeurs des ordonnées des deux courbes, pour le point (^ = a + A), sont alors

d^ da;^

où (p, (];,-7^, ... sont les valeurs de ç(^)? 'l(^)? ^ - . . .

pour X = a. Mais, par hypothèse, o = ^^ puisque les courbes se coupent au point œ = a; donc

__ /do d^\h /d^> ^4>n 7^ ^'' "" ^"'^ ~ \Éc ~~ Tx) 7 "^ V ^ ~ d^^) 772

\dx'^ dx'^ ] 1.2.3***'

Or, d'après les principes du Calcul différentiel, quand h est

infiniment petit, le signe de la somme de cette série est le

même que celui de son premier terme; mais le signe de ce

terme change en même temps que celui de A ; si donc, en

un point infiniment voisin (^ = a + A), l'ordonnée de la

courbe cp est plus grande que celle de la courbe ^, elle sera

moindre au point (^ == a — li), Donc^ si deux courbes ont

un point commun, en général, celle qui est au-dessus de

l'autre d'un côté de ce point sera au-dessous de l'autre côté.

do d^ ^ • . j

Supposons mamtenant que -y^ = --i-, le premier terme de

la série sera alors ( j-^ — -^^ j j qui ne change pas de

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 5l

signe quand h en change. Donc la courbe qui est au-dessus, d'un côté du point donné, restera également au-dessus de

l'autre côté. Or, quand -^ = -^ 5 les courbes sont manifeste-

ment plus rapprochées l'une de l'autre que dans le cas précédent, puisque la difTérence des ordonnées ne renferme plus la première puissance de h. On exprime géométriquement cette condition sous forme équivalente en disant que les courbes ont deux points consécutifs communs. On peut aussi démontrer ce résultat comme il suit : x' , y'^ x" , j>^'^ étant les coordonnées rectangulaires de deux points d'une courbe,

~j — ^ est évidemment la tangente trigonométrique de l'angle

que la corde qui les joint fait avec Taxe des x] mais, si les

dy deux points coïncident, nous voyons que la valeur de -~~

pour le point donné exprime la tangente trigonométrique de U angle que la droite qui joint ce point au point consécutif (c^ est-à-dire la tangente en ce point) fait avec Vaxe des x\ conséquemment, si deux courbes ont un point commun et si, pour ce point, -j- est le même pour les deux

courbes, il en résulte que le point consécutif est aussi commun à ces courbes.

49. Si les deux courbes ont trois points consécutifs communs, nous aurons -— ^ = -^ ; le premier terme de la série pour

r, —y, est i^^ - a^ j r:^' q^" ^^^^g^ ^^ ^igne avec h ; il en résulte, par conséquent, comme ci-dessus, que les courbes se coupent au point donné. De même, en général, si le développement de y^ — jk,^ commence par une puissance paire de /i, il ne changera pas de signe avec h et les courbes se toucheront sans se couper; mais s'il cQmîiience

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par une puissance impaire de h, le signe de la différence changera avec celui de h et, par suite, les courbes se couperont au point donné.

Le lecteur a déjà rencontré un exemple de ce fait dans le cas du cercle osculateur d'une conique en un point quelconque; ce cercle, ayant en général trois points communs avec la courbe, lui est tangent et la coupe en même temps (Sections coniques, n^239); mais, aux extrémités des axes, le cercle osculateur passe par quatre points consécutifs et est tangent à la courbe sans la traverser,

La même étude s'applique au cas où l'une des courbes devient une ligne droite. Par conséquent, une tangente en un point d'inflexion, ou une droite qui rencontre la courbe en un nombre impair de points consécutifs, est coupée par cette courbe ; mais, si cette tangente rencontre la courbe en un nombre pair de points consécutifs, la partie voisine de la courbe se trouve située toute d'un même côté de cette droite.

SO. L'axe j^ = o sera une tangente triple, si l'équation qui détermine les points où il rencontre la courbe est de la forme

Il est évident qu'une pareilletangente ne peut passe rencontrer pour des courbes dont le degré est inférieur au sixième. Nous pouvons, comme dans le n^ 40, distinguer quatre espèces de tangentes triples selon que les points de contact sont réels et distincts, que Tun est réel et les deux autres imaginaires, que l'un est réel et les deux autres coïncidents, ou enfin que tous trois coïncident. Nous nous trouverons dans ce dernier cas, si l'équation est de la forme

P (^ — a)*(^-- Z?) . . . — o; l'axe rencontre la courbe en quatre points coïncidents; le

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point de contact d'une pareille tangente est appelé point d'ondulation. Il peut de même exister des tangentes multiples d'ordres plus élevés, ou bien encore des points d'ondulation d'ordres supérieurs qui proviennent de ce qu'une droite rencontre la courbe en plus de quatre points coïncidents. Cramer appelle les points où la tangente rencontre la courbe en un nombre impair de points consécutifs points de visible inflexion^ pour les distinguer des points de serpentement ou points d'ondulation qui, à l'œil, ne diffèrent pas des points ordinaires de la courbe.

51. Nous n'avons jusqu'ici examiné que le cas où l'origine est un point multiple, ou encore celui où l'un des axes est une tangente multiple, il est évident, cependant, que la forme de l'équation pourrait de même faire reconnaître l'existence de points et de tangentes multiples situés d'une manière quelconque.

i^ Par exemple, si l'équation est de la forme

acp -h p-j; =zz O,

OÙ a, p sont des fonctions linéaires et (p, (j; des fonctions quelconques des coordonnées, ajî est un point de la courbe. L'équation de la tangente en ce point est

çp', tj;' étant les valeurs que prennent cp et (|;, quand nous y introduisons les conditions a=o,[3 = o. En effet, si nous cherchons les /z — i points où une droite quelconque menée par ap, (a — k^), rencontre la courbe, nous obtenons une équation de la forme

p[A-(cp'-t-Mi3 4-Np2-i- ...)-4-(f 4-M'p-i-N'|32 4- ... )]=zo,

et, pour qu'une seconde racine de cette équation soit [3 = o^ nous devons avoir A'cp'+ tj;' ==: o; par conséquent, en rem-

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plaçant k par sa valeur ^ 5 nous obtenons pour l'équation de

la tangente

acp' -t- ^^' =0.

2** En général, la courbe représentée par l'équation

a^yS . . . =zaipiYiOi . . .

passeparlespointsaa^,aP^,aY^,...,Pi3^, Py,, ^Sj , ..^^vy,,

3^ Si l'équation est de la forme

nous voyons (comme dans les Sections coniques^ n'^232)quea est la tangente au point aj3, car deux des points où cette droite rencontre la courbe coïncident; ou bien encore, si l'équation de la courbe est

^,, ... sont les tangentes aux n points où j3 rencontre la courbe. La forme de Féquation montre que, si les points de contact de n tangentes se trou\>ent sur une droite p, les autres points oit ces tangentes rencontrent la courbe sont situés sur une courbe ^de degré [n — 2 ). 4^ Si l'équation est de la forme

et si nous cherchons les points où une droite quelconque (a=: A-p) menée par a[3 rencontre cette courbe, nous trouvons que deux d'entre eux coïncident toujours avec a [3 et que par conséquent ce point est un point double. On voit précisément, comme dans 1° et dans le n® 37, que les tangentes en ce point double sont

OÙ cp', tj;', y^ sont les valeurs que prennent ces fonctions pour les coordonnées du point (a = o, [3 = o).

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5^ De même, si l'équation est de la forme

le point a|î est un point triple; les trois tangentes sont fournies par l'équation

6° Si l'équation est de la forme

a est une tangente double aux points a[3, ay. 7*^ Si l'équation est de la forme

acp H- p3(}; — o, a^ est un point d'inflexion et a est la tangente en ce point,

52. Nous allons d'abord faire une application du numéro précédent en montrant comment l'équation nous permet de reconnaître la nature des points de la courbe situés à distance infinie. L'équation trilinéaire est (n^ 22)

Les directions des n points à l'infini sont données (en faisant z=zo dans l'équation) par l'équation Un = o; cette équation, résolue par rapport ky \x^ est de la forme

Une courbe de degré n a généralement n asymptotes ; ce sont les tangentes aux n points où ^, la droite à l'infini, rencontre la courbe. Nous pouvons trouver leurs équations facilement, comme il suit, quand l'équation ^^^^ = o a été résolue par rapport k y : x. Il résulte' de 3*^ du numéro précédent que, si l'équation était ramenée à la forme

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^1,. . . seraient les /2 asymptotes. Mais réqiiation donnée

(/ — m^cc) {y — ni^x){y' — m^x) . . . -\-zUfj^^i-\-z'^Ufi-^-\~ ... =0

peut toujours être mise sous la forme

(7 — Jii^x -^ l.]^z){y ~ m^x -^\^z) . . . -zziz^-^.

En effet,' les termes du it^^^ degré en x et j^ sont évidemment les mêmes pour les deux équations, et les n arbitraires Xi, X2, . . . que contient la seconde peuvent être déterminées de manière à rendre identiques les n termes du degré (/2 — ^1) dans ces deux équations.

Le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à comprendre cette méthode, s'il cherche à l'appliquer à un exemple particulier. Soit, par exemple, l'équation

( a?-l-j)(2 x-\-y){6 ^-^-j) -h 17^^-1- 1 I ^j4-2 J-+ I 2 X-\- 1 ojH-36=o,

que Ton désire mettre sous la forme

(^-h-/H-Xi)(2^H-7H-X2)(3^-f-7 4-X3)-l-A^ + Br-}-C = o.

Pour déterminer \^^ )v2, )v3, nous aurions ainsi les trois équations

6X1+3X2-1-2X3=17, 5X1-1-4^2+3X3=111, Xi -hX2 -1-X3 = 2; et l'équation peut être ramenée à la forme

Remarquons que les valeurs \^^ 7^2, X3 sont telles que nous avons identiquement

1 7 ^^ H- 1. 1 ^7 4- 2 ;)'^ Xi X2 ^3

(^.4 j)(2.r + 7)(3^- + 7) oc-^y ix-\-y Zx-^y

et de même, en général, les valeurs de )h, ^^2? • • • sont déterminées par la décomposition de — ^^ en fractions simples.

53. Si deux racines de l'équation u,i = o sont égales (m4 = m^)^ cette équation générale prend la forme

(7 — 7?Zi^)2cp + ^i{; = o;

deux des points où z rencontre la courbe coïncident, et par conséquent la droite à l'infini est une tangente à la courbe.

Si trois racines sont égales, la droite à l'infini coupe la courbe en trois points qui coïncident, et par conséquent elle lui est tangente en un point d'inflexion.

Si, dans l'équation générale, le coefficient de j^'^ est égala zéro, l'axe des y, passe par un point à l'infini, et nous n'avons évidemment plus qu'une équation A\x{n — i^ème deg^é pour déterminer les autres points où il rencontre la courbe.

Si le coefficient de 7"~^ s'annule aussi, l'axe desjK est une asymptote.

54. Dans une prochaine Section, nous montrerons comment, en général, on peut trouver les points singuliers d'une courbe. Mais, comme l'application des méthodes générales est habituellement une tâche assez laborieuse, les exemples donnés par les traités de Calcul difi'érentiel sont en grande partie des cas où l'existence du point singulier se révèle très facilement par un simple examen de l'équation; nous indiquons ici les plus difficiles de ces exemples, pour servir d'application aux théories contenues dans les numéros qui ^^véchàeni, {Y o'w Exemples de Gregory, p. 170, e'c.)

Exemple I.

x^ — ax'^y -\- hy^ = o.

Exemple II,

x'-* — iax'^y-\- ix'^y^-^- ay^-\- r^=^o.

Dans ces deux cas, l'origine est un point double. Dans le premier, les tangentes sont données par Téquation x'^y= ^7^? 6t, dans le second, par l'équation 23727 =73. D'après le n*" 43, aucune de ces deux courbes ne peut avoir d'autre point multiple.

Exem^ple III,

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L'origine est un point double, dont les tangentes sont fournies par l'équation ay^ zb bcc^ = o. Si l'on prend le signe positif, l'origine est un point conjugué.

Exemple IV,

(^2 — a^y=a/y^(iy-h3a), ou {x — ay (x -h ay = oy^ (2^ -h 3 a)

Ici évidemment (x — ci,J^) et (x ~h a, 7) sont des points doubles. Pour obtenir les tangentes au premier, nous devons faire a? = a, r=o dans les termes multipliés par (ii? — <^)^j/^; il vient ainsi

De même, pour les tangentes à l'autre point double,

La courbe a un troisième point double dont on peut montrer l'existence en mettant l'équation sous la forme

x^(x'^ — ia^) = a(iy — «)(jK -+- cty»

Par suite, (^,JK-H«) est un point double et les tangentes en ce point sont

Ayant trouvé ces points, nous savons, par le n" 42, que la courbe ne peut pas avoir d'autre point multiple.

Exemple V.

{by — cxy = (a — a)^.

Le point {by — ex, x — a) est un rebroussement dételle espèce que la tangente en ce point rencontre la courbe en cinq points consécutifs.

Exemple VI.

L'origine est un point double, et la tangente en ce point rencontre la courbe en quatre points consécutifs. Il y existe à l'infini un point triple, auquel la droite à l'infini est la seule tangente. La droite x-h b est tangente à la courbe au point où elle rencontre l'axe des^r; elle lui est également tangente en un point d'inflexion à l'infini.

Exemple VII,

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 5g

L'équation débarrassée des radicaux devient

et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement l'existence de six rebroussements; chacun des points oii l'axe des ce rencontre /2 ^ ^2 est un point double, et l'axe des x est la seule tangente en ce point. Il en est de même pour (7, cc^-h z^) et (^, x^-\-y^). Mais tous les rebroussements sont imaginaires.

La courbe a aussi quatre points doubles qui sont

x±y — o, X àz z =^ o.

On peut le démontrer en posant

par suite,

y—uzhx, z = çihx.

En portant ces valeurs dans l'équation donnée, elle prend la forme

11^ ^ -\- UÇ ^ -\- p2y.

On trouve que les tangentes en un quelconque des points doubles sont données par l'équation

11^ =h wp -}- p2 — Q

et, par conséquent, les points doubles en question sont des points conjugués; par le fait, ce sont les seuls points réels de la courbe. L'équation peut encore être écrite sous la forme

Si nous posons elle devient