Il est bon de faire connaître par quelques exemples
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, 6o CHAPITRE II.
comment on peut déterminer graphiquement la forme d'une courbe donnée par son équation. Si nous attribuons une valeur numérique quelconque (a) à l'une des variables x^ l'équation numérique résultante peut être résolue (au moins approximativement) par rapport à j, et elle déterminera les points où la droite ^ =: a coupe la courbe. En répétant cette opération pour des valeurs différentes de x (voir Sections coniques^ n° 16), nous obtiendrons un certain nombre de points de ta courbe; et en faisant passer une ligne continue par ces points, nous aurons une idée suffisante de sa forme. Si nous avons égard aux valeurs de ^ qui rendent imaginaires des valeurs de y, nous pourrons découvrir l'existence d'ovales, ou bien reconnaître si la courbe est limitée suivant une direction quelconque; nous avons déjà indiqué (n*' 52) comment on peut distinguer si la courbe a des branches infinies, et comment on en détermine les asymptotes. Dans le Chapitre suivant, nous ferons voir comment on trouve les points multiples et les points d'inflexion de la courbe. La valeur de -j- en un point quelconque donne la direction de la tangente en ce point (n° 48); et, en cherchant pour quels points -^ == o ou = oo , nous aurons
les points où la direction de la courbe est parallèle ou perpendiculaire à l'axe des x.
Dans la pratique, nous devrons évidemment mettre à profit toutes les simplifications que pourra suggérer l'équation de la courbe. Par exemple, si nous considérons une série de droites parallèles à l'une des asymptotes (ou une série de droites passant par un point de la courbe), l'équation qui détermine les points où chacune d'elles rencontre la courbe sera d'un degré inférieur d'une unité à celui de cette courbe. Si l'équation montre que la courbe a un point double ou multiple, il sera avantageux de considérer une série de droites issues de ce point, puisque le degré de
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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. 6l
l'équation en question se trouvera diminué de deux ou plusieurs unités.
Il n'y a guère d'exercice qui soit plus profitable pour un élève que de tracer des courbes, et, plus particulièrement, celles dont l'équation contient un ou plusieurs paramètres susceptibles de recevoir une suite de valeurs différentes. Quand il n'y a qu'un seul paramètre, on peut se le représenter comme l'ordonnée z d'une figure à trois dimensions dans l'espace*, et le problème envisagé sous cet aspect consiste à trouver la forme des différentes sections d'une surface par des plans parallèles.
Il nous suffira d'ajouter ici quelques exemples à ceux qui se présenteront incidemment dans la suite de cet Ouvrage. Nous renverrons le lecteur qui désirerait plus de détails aux traités de Géométrie analytique et particulièrement à l'Ouvrage dans lequel tous le sauteurs modernes ont largement puisé, kV Introduction à V Analyse des courbes de Cramer,
Exemple L
x^ — ax'^ y H- by^ = o.
(\oir Ex.I, n'^U.)
L'origine étant ici un point triple, il est avantageux de considérer
une série de droites issues de ce point. Po-
Fig. 12.
sons y ■= mx, nous trouvons
X = rn{a^ bm-)\
quand m passe de o à =b co , c'est une fonction qui croît depuis o, pour m = o jusqu'à un maximum, qui a lieu quand a — 3 bm"^ = o ; elle , décroît ensuite, s'annule quand a — bm^ = o, et a une valeur indéfiniment croissante négativement, quand m croît au delà de la valeur ci-dessus. La courbe (/ig. 12) est manifestement symétrique par rapport à l'axe des y. C'est donc celle que représente la figure ci-contre.
Exemple IL
(:r2— «2)2:= ar2(3a + 2;/).
{VoiiEx.IV, n°54.)
On a ___^______
La courbe est évidemment symétrique par rapport à l'axe des 7. Elle a, de chaque côté de cet axe, deux branches qui correspondent aux deux signes que l'on peut donner au radical. Les deux branches se coupent quand j ~ o et, par conséquent, nous voyons qu'il y a, sur l'axe des x, deux points doubles à la distance a? = ifc a de l'origine. Quand/ croît positivement, le radical croît indéfiniment; donc la valeur de x^ qui correspond à l'une des branches, croît indéfiniment; celle qui correspond à l'autre décroît jusqu'à ce que nous arrivions à la valeur de/ qui correspond à la seule racine positive de l'équation 2a73 j 3<22/2 <^4 ^27 = a),
au delà de laquelle cette branche ne peut plus monter. Pour des valeurs négatives de/, le radical croît jusqu'à une valeur maximum qui a lieu
Fig. i3.
pour 7 -H a = o; alors l'un des couples de branches se coupe en un point double sur l'axe des/ et l'autre couple esta sadistancemaximum de cet axe. Aucune des branches ne peut évidemment descendre plus bas que la valeur 3a-f- 27 = o. La forme de la courbe est celle de la figure ci-contre.
Exemple IIL — Étant donnés la hase ic d'un triangle et le rectangle m^ des côtés, le lieu du sommet est un ovale de Cassini; en prenant pour origine le milieu de la base, V équation de cette courbe est
Le diagramme ci-joint {fig- i4) représente la forme qu'affecte la courbe pour différentes valeurs de m. Le trait le plus gras donne 1;j figure de la courbe pour m—c\ c'est la lemniscate de Bernoulli. Quand m est moindre que c, la courbe de Gassini se compose de deux
ovales conjugués, compris dans les deux boucles de la précédente courbe; quand m est plus grand que c, on a Fovale continu qui lui est extérieur.
Fig. t4.
Exemple IV. — Sur le rayon vecteur mené d'un point fixe 0 à une droite fixe MN, on prend un segment RP de longueur donnée et on le porte de chaque côté de la droite. Le lieu géométrique du point P est une courbe appelée conchoïde de Nicoméde ; elle a été inventée par le géomètre de ce nom pour résoudre le problème qui consiste à trouver deux moyennes proportionnelles
Soient (/i^. i5) OA =/>, RP = m\ l'équation polaire de la courbe
Fig. i5.
est (p zfc wi)cos to =/> et l'équation en coordonnées rectangulaires
La droite MN (/> =7) est tangente à la courbe en un point singulier à l'infini, et elle y rencontre cette courbe en quatre points consécutifs.
Le point 0 est aussi un point double; les tangentes en ce point sont données par l'équation
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Ge sera un nœud, un point conjugué ou un rebroussement, suivant que m sera plus grand, plus petit, ou égal à />. La ligne pleine se rapporte au cas où m est plus grand que/>; la ligne ponctuée à celui où il est plus petit.
Exemple V. — De la même m,a?iière, sur le rayon vecteur d'un cercle et à partir d'un point de la circonférence j on porte de chaque coté de cette circonférence un segment de longueur donnée. V équation polaire de la courbe ainsi déterminée est p =: j9 coswziz7?2; son équation en coordonnées rectangulaires est
(.272— j2 —pxy =z 77l2(^2,j2).
L'origine est évidemment un point double, noeud ou point conjugué, suivant que p est plus grand ou plus petit que m. Si jo = m, l'origine est un point cuspidal ; la courbe a la forme d'un cœur et est appelée la cardioïde {fig- i6). Elle est représentée par le trait plein
Fig. 16.
de la figure; les lignes ponctuées intérieures et extérieures correspondent respectivement aux cas des formes avec un nœud omin point conjugue.
Exemple F/#
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Nous supposons que h est moindre que a. Quand c = o. la courbe se compose de quatre points conjugués zh a, ± b. Les figures qui suivent représentent les cas suivants : {fig- i)c moindre que b\ {fig. 2) Fig. 17 el iS.
c égal à b ; (fig. 3) c entre b el a; {fig, 4) c ~ a; (fig . 5) c > a,
< y/ô^-i- 6* ; (/t^. 6) c = \/a* -H è*. Quand c a une valeur plus grande,
S. — Courbes planes. 5
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la courbe a une forme similaire, mais sans point conjugué à l'origine. Qaand c = a = b,ldi courbe se décompose en deux ellipses (/Ig- 7).
56. Si une courte passe par l'origine et si l'origine est un point ordinaire de cette courbe, y peut être développé suivant la forme jK = A^4- B;z?2 +. ... Si l'origine est un point singulier, le développement prend la forme j)^=A^°^ + B^P-|-. . . ; ici a est positif et p, ainsi que tous les exposants qui suivent, est plus grand que a. Pour déterminer la nature du point singulier et la configuration de la courbe dans son voisinage, il est très utile de trouver au moins le premier terme de ce développement; car, dans le voisinage de l'origine, la forme de la courbe ressemble à celle de la courbe dont l'équation est y=zAx^, et il est facile de construire cette dernière. Pour effectuer le développement dont il s'agit, nous pouvons recourir au procédé donné par Newton (^) et qui peut être employé de la manière la plus commode sous la forme qui suit. Dans l'équation, posons y = Aa^^ et déterminons la quantité positive a par la condition que les exposants de deux ou plusieurs termes soient égaux et moindres que l'exposant de l'un quelconque des autres termes. Ceci peut toujours se faire par tâtonnements, en égalant les exposants de chaque couple de termes et en examinant si la valeur de a est positive et si les exposants égaux ne sont pas plus grands que les exposants d'un autre terme quelconque. Ayant ainsi trouvé a, nous déterminons A en égalant à zéro la quantité qui multiplie les termes qui ont le même exposant. Nous pouvons ensuite, si besoin en est, continuer le développement en remplaçant y par l'expression Ax^ -f- B^^, dans laquelle
( ' ) Voir Methodus fiuxionum et serierum infinitarum, etc., sous le titre : De reductione affectarum equationum {Opusc, éd. Castillon ^ol. I, p. 37). Voir aussi un Mémoire de M. de Morgan, Quarterly Journal, vol. ï, p. I, et Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. IX p. 608. Newton donne la règle, au moyen d'un diagramme de carrés, sous une forme un peu différente de celle qui précède.
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A et a ont les valeurs déjà trouyées, et où ^ et B seront déterminés par un procédé analogue au précédent. Soit, par exemple, la courbe
Torigine est un point double qui a pour tangentes les deux axes de coordonnées. Si nous posons j^ = A^^, l'équation
devient
^3| ^3^3a| ^aAœ'^^^=:o,
Il faut maintenant que nous rendions deux exposants égaux entre eux. Essayons d'abord 3 = 3a ou a= i ; nous rejetons cette valeur, parce qu'elle fait prendre aux exposants égaux des valeurs plus grandes que celle de l'exposant a+ i de l'autre terme. Si nous essayons ensuite 3 = a + i ou a = 2, nous trouvons que cette valeur rendra les exposants égaux moindres que celui du troisième terme. L'équation deviendra
ainsi
(i — 3aA)^^H- A^^^ — o,
et, si nous déterminons A de manière à annuler le coefficient de x^^ nous voyons que l'équation pourra être écrite sous la
forme r := ts— ^^ + . . • ; ici les exposants des termes restants
sont plus grands que 2, et nous voyons de la sorte que la forme d'une branche de la courbe à Torigine ressemble à celle de la parabole 3ay = œ^. En troisième lieu, si nous égalons les exposants 3a, a + i, nous trouvons a = ^. Ici encore les exposants égaux sont les plus petits, et les coefficients des deux termes sont A^, — 3aA; nous en déduisons A = y/3a, et l'équation de la branche que nous étudions
est JK =:y/(3a)^^ + . . . ; par suite, près de l'origine, sa forme se rapproche de celle de la parabole j^^ = iacc. Nous n'avons pas besoin pour l'exemple actuel de pousser plus loin le développement; cependant, si cela était nécessaire, nous substi-
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tuerions yz=i ~- X'-^-'Bx^. Les termes les moiDs élevés se-
raient alors
^4+p 3^B.rP^-i = o.
Nous pouvons maintenant rendre les exposants de deux Fig. 19. termes égaux entre eux et moindres que
celui du troisième terme en prenant (^=5,
ce qui donne B = pr — r« Nous avons montré
Fig. 20.
de cette manière que si, dans le voisinage de l'origine, nous traçons les deux paraboles 3 ay =^ X', y^ := i ax , nous obtenons approximativement dans cette région la figure de la courbe qu'il s'agissait de construire (ftg' 19).
57. Le même procédé nous permettrait de déterminer les branches infinies de la courbe. Dans ce cas, nous aurons à développer y suivant les puissances décroissantes de ^, et la seule différence dans le procédé consiste en ce que nous devrons maintenant nous arranger pour que les exposants égaux soient plus grands que celui d'un autre terme quelconque. Ainsi, dans l'exemple déjà donné, en égalant les exposants 3 et 3a, nous avons a = i et leur coefficient est A^ + i . Si nous avons seulement égard aux valeurs réelles de A(=: — i), nous remplacerons y par y = — X -^Bx'^ et nous trouverons de la même manière [3 = o, B= — a. Nous obtenons ainsi l'expression y=: — X — a + . . . et nous voyons que la ligne x-{~ y-\-a=^o est une asymptote. La figure de la courbe est celle que nous indiquons ci-dessus {/ig- 20).
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58. Dans le cas du rebroussement simple dont nous avons déjà donné un exemple (n° 39), les deux branches qui se lencontrent au point cuspidal se trouvent de part et d'autre de la tangente commune et ont leurs convexités opposées l'une à l'autre; mais il existe une espèce de rebroussement (qui est une singularité d'ordre plus élevé) pour lequel les branches sont situées d'un même côté de la tangente. Soit, par exemple, la courbe
il est clair que toutes les valeurs positives de x donnent des valeurs réelles de y, et, si nous écrivons l'équation sous la forme
-^ ) comme le dernier terme est moindre que le pré-
cèdent quand x est très petit, nous voyons qu'en prenant soit le signe supérieur, soit le signe inférieur, la valeur de y sera positive pour de petites valeurs de x. L'axe des x est donc une tangente à la courbe et les deux branches sont situées audessus de cet axe. Nous donnons ci-dessous {fig. ai) la figure
rifj. 21.
de la courbe. Ces deux sortes de rebroussements ont respectivement reçu les épithètes de kératoïde et ramphoïde, à cause de leur vague ressemblance avec les formes d'une corne et d'un bec d'oiseau. Nous avons vu (n"" 40) que les points multiples ordinaires d'ordre supérieur peuvent être considérés comme résultant de la réunion d'un certain nombre de
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points doubles. M. Caylej a montré ( Quarterly Journal, Tome VII, p. 212) qu'une singularité quelconque d'ordre supérieur peut être regardée comme équivalente à un certain Qombre de singularités simples qui sont le nœud, le rebroiissemenL ordinaire, la tangente double et le point d'inflexion.
Fig. 22.
Ainsi, un rebroiissement du genre décrit dans le présent numéro est équivalent à un nœud, à un rebroussement, à une tangente double et à une inflexion, comme le montre la fig. 22, qui représente le nœud et le rebroussement sur le point de s'unir pour former la singularité d'ordre supérieur dont il s'agit.
Section IV. — Pôles et polaires.
59. La méthode dont nous allons actuellement faire usage afin de rechercher les conditions pour qu'une courbe ait des points ou des tangentes multiples, et pour déterminer leur position, est la même que celle que nous avons déjà employée dans le cas où la courbe passait par l'origine. Nous considérerons une série de rayons vecteurs issus d'un point donné; nous formerons l'équation qui détermine les coordonnées des n points où l'un quelconque de ces rayons vecteurs coupe la courbe, et nous chercherons les conditions pour que un ou plusieurs de ces points puissent coïncider avec le point donné lui-même. Pour déterminer les coordonnées de ces n points, nous nous servirons de la méthode de Joachimsthal, exposée dans les Sections coniques^ n^ 290.
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Puisque les coordonnées trilinéaires d'un point quelconque situé sur la droite qui réunit deux points [x'y' z')^ [x^'y" z") sont de la forme \x' + \kx'' ^ \y' + \^y' , 'kz' -\- az'^, les points où la droite en question rencontre une courbe quelconque se trouveront en remplaçant respectivement ^5 j'^ z
par ces valeurs et en déterminant ensuite le rapport - au
moyen de l'équation résultante. Pour faciliter les recherches ultérieures, il sera nécessaire, au préalable, de discuter soigneusement les fonctions qui se présentent dans le résultat de cette substitution.
Supposons que U soit une fonction homogène du ^ième Qp(]pg Q^ x^ y, z; remplaçons-y x^ 7, z par "X^ + p^', Ay -\~ iJ.y , \z -\- \},z' : il est évident, d'après le théorème de Taylor, que le coefficient de\'^ sera U, et que celui de X'^'^ [x sera
dU ,dV ,dU
dx ^' dy dz
ou
^'Ui + /U2H- ^'Us ou ^'.L 4-/M H- ^'N,
en nous servant des abréviations U|, Uo, U3 ou L, M, N (suivant le cas) pour représenter les coefficients difi'érentiels. Nous ferons usage du symbole A pour indiquer l'opération
dx dy dz
le coefficient de \^~^ ^ peut alors être écrit sous la forme AU. De la même manière, le coefficient de V'~- [i,- sera la moitié de
dx^ "^ dy- dz-
^^U dH] r^U
-H 2 yz -j—j- -\-izx -, — ; ~ o^xy -,- — --
dydz dzdx " dxdy
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Nous pourrons l'écrire sous la forme
Les quotients différentiels du second ordre s'écrivent souvent aussi avec des indices doubles Un jU22jU33,U23?U3j ^'Vi \^] mais nous trouvons plus avantageux de nous servir des lettres a, b^ c, /, .g\ h et de mettre ainsi A-U sous la forme que nous avons employée pour exprimer l'équation générale d'une conique
ax'^ 4- by^^ ■^- cz'^ -\- 2 fyz + 2 gzx -\- 2 Jixy.
De la même manière, le coefficient de \'^~^ p-^ dans le développement est ^ A^U, et ainsi de suite, le dernier coeffi-
cient étant A'^U. Il est toutefois évident, d'après la
symétrie de la substitution, que ce coefficient sera U^ et, en
général, que les coefficients de deux termes correspondants
c[uelconques, )^^[ji.^, \^\k^j ne différeront que par l'échange
des lettres accentuées et non accentuées. Nous voyons ainsi
que A'^~MJ ne diffère que par un facteur numérique de
et d'i.ne manière générale que
\f d.-^ ^ dy^ " d^ "' °'
{^^dœ'^^dy^'dl^) ^
ïie diffèrent que par un facteur numérique. Nous pouvons f.erire la dernière fonction AU^, l'accent joint à U servant à marquer qu^on a échangé entre elles les lettres accentuées et les lettres non accentuées.
60 La courbe du [n — i )^^°^^ degré AU = o s'appelle la
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première polaire du point [x' ,y^z') pdirraupiporlèil]. On dit de même que A^U est la seconde polaire, et ainsi de suite; le degré des courbes polaires successives diminue régulièrement d'une unité, la (n — o.y^^^ polaire est une conique et la (n — I )'^°^® une ligne droite. D'après la remarque qu'on vient de faire, il est évident que les équations de la droite et de la conique polaires sont respectivement
d d <^ \tt/ f d d d W,.
Puisque A^U s'obtient en effectuant l'opération A sur AU, il est évident que la seconde polaire de x' , y\ z' , par rapport à U, est la première polaire du même point par rapport à AU, et, d'une manière générale, il est clair que la courbe polaire d'un rang quelconque est aussi la polaire du même point relativement à toutes les courbes polaires de rang inférieur au sien. Ceciressort évidemment de l'équation A^*(A^U)=: A^+^U.
Quand le point que l'on considère est l'origine, x^ et y sont nuls; l'opération A se réduit à la diflférentiation par rapport à z. Si l'équation cartésienne ordinaire est rendue homogène par l'introduction de l'unité linéaire z {Sections coniques^n'^ 69), on peut l'écrire
u*z,, 4- u^zT,^ H- u^z-;- + . . . =zo,
et, en dififérentiant par rapport à Zj nous trouverons sans difficulté que les équations de la droite, de la conique, etc., polaires de l'origine sont
IIUqZ + U^ =: G, 2 '^('^ — l)".)-^^ 4- (^?' — l) i^i^ + «2 = O, ....
61. Le lieu de tous les points dont les droites polaires passent par un point donné est la première polaire du point.
L'équation x\]\ +rUo -h ^U^ =o exprime une relation
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entre les coordonnées ^, j', z d'un point quelconque de la droite polaire et les coordonnées x\ y'^ z' du pôle. Et si (comme dans les Sections coniques, n° 89) nous indiquons que les premières coordonnées sont connues et les dernières variables, ce qui se fera en accentuant les premières et effaçant les accents des dernières coordonnées, l'équation deviendra alors
Il y a (/z — 1)2 points dont les droites polaires par rapport à U coïncideront avec une droite donnée quelconque, on, plus brièvement, toute droite a{ii — i)'^ pôles. En effet, si nous prenons deux points quelconques sur cette droite, les pôles de la droite doivent se trouver sur la première polaire de chacun de ces points; par conséquent, ce sont les points d'intersection de ces deux courbes. Ainsi les premières polaires de tous les points d'une droite ont [n — lY points communs] ce sont les (/i — j)^ pôles de la droite. De la même manière, le lieu des points dont les coniques polaires passent par un point donné est la seconde polaire de ce point; et ainsi de suite.
Si la droite polaire (ou une autre polaire quelconque) d'un point passe par ce point, ce dernier sera situé sur la courbe. En effet, si, dans l'équation delà polaire, nous remplaçons x^ JK7 z par x', y, z\ elle devient identique avec l'équation de la courbe, pnisqu'en effectuant l'opération
d cl d ^ • 1
