Nous représenterons par

m le degré de la courbe ;

n sa classe;

S le nombre de ses points doubles ;

T le nombre de ses tangentes doubles;

X le nombre de ses points stationnaires ;

i le nombre de ses tangentes stationnaires.

Les nombres correspondants pour la courbe réciproque s'obtiennent en échangeant entre eux m et /i, S et t, i et x. Nous avons déjà trouvé (n°^ 67, 77) les valeurs de n et de t, en fonction de m, S, x; par conséquent, la courbe réciproque nous fournira les valeurs de m et x en fonction de /2, t, \\ et de ces quatre équations (qui équivalent, comme on va le voir, à trois équations seulement) nous pouvons déduire la valeur dcT exprimée en fonction de m, S, x, et celle de S en fonction de 72, t, i. Nous obtenons ainsi les six équations de Pliicker, qui sont les suivantes :

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. gS

( +48(§i) -f-i2Sx+9x(x — i),

Si, entre les équations (i) et (2), nous éliminons S, ou bien si entre les équations {/\)qI (5) nous éliminons t, nous arrivons dans les deux cas au même résultat

(7) t — x = 3(/2 — jn),.

Ceci démontre que nos équations sont équivalentes à trois équations seulement. Ce résultat peut aussi s'écrire sous Jes formes suivantes :

3 /?i — X r= 3 /i — t, ou bien Z?n-\~ t = 3 /i -f- x.

Retranchons membre à membre les équations (i)el (4), nous

obtenons

et, si nous remplaçons (i — x) par sa valeur déduite de (7), nous avons

L'avant-dernière équation, où Ton remplace n et i ou 111 et X par leurs valeurs, donne les équations précédentes (3) et (6).

Des équations (7) et (8) nous déduisons aussi

(10) |(7?1 — l)(7?l — 2)— 0 — X=:i|(/l— l)(/l — 2) — T— l, (il) m- 28 — 3 X 1= 7Z- — 2 T — 3 l = 772 -f- 7Z.

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Le système entier de ces équations équivaut par le fait à trois équations seulement; étant données trois quelconques des six quantités /n, 72, S, y., t, t., nous pouvons, à l'aide de ce système, déterminer les trois quantitésVestantes ; par exemple, connaissante, S, x, nous calculerons ii par (i), t. par (2) ou plus facilement par (y) et t par (3) ou plus facilement par (8).

Exemple. — Supposons qu'on nous donne m = 6, S — 4? "'^ — ^ j alors, d'après ( i ), /i — 4 5 par suite, m — ji =z i^n — m = — 2 ; donc (5) i — •/ = 6 ou t = o,

n -^ m — 9 — I ; par suite t — 0 = — i, donc t = 3.

83. Quand une courbe est donnée, sa réciproque est déterminée par là-même ; il est donc évident que le même nombre de conditions doit suffire pour déterminer cbacime d'elles. Savoirqu'une courbe a Spoints doubles équivaut à 8 conditions. Par exemple, une conique est déterminée par cinq conditions ; mais si elle a un point double, c'est-à-dire si elle se réduit à un système de deux droites, elle est déterminée au moyen de quatre conditions seulement, par exemple au moyen de deux points situés sur chacune des droites. De même, quand on sait qu'une courbe a un point de rebroussement, ceci équivaut à deux conditions. Donc (n^ 27) une courbe du /n'C'»® degré avec S points doubles et x rebroussemenls est déterminée par 4 in{m -1- 3) — 8 — ax conditions et sa réciproque pari72(7Z + 3) — T — 2 {.conditions. Et l'équation précédente (9) montre qu'en effet ces deux nombres sont égaux.

L'équation (10) trouvée ci-dessus démontre que la déficience ou le genre (n° 44) est le même pour une courbe et sa réciproque. Dans un prochain Chapitre nous ferons voir que cette proposition est vraie pour toutes les courbes dérivées les unes des autres, de telle manière qu'à un point de Fune il ne corresponde qu'un seul point ou une seule tangente de l'autre.

Si (avec M. Gayley) nous posons

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES COURBES. gb

nous pourrons tout exprimer au moyen de (7?i, n^ a) et nous

aurons

Dans le Chapitre suivant, nous apprendrons ce que signifiel'équation (i i).

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96 CHAPITRE ïft.

84. Si une courbe dépend d'une manière quelconque d'an seul paramètre variable, de telle sorte qu'en donnant à ce paramètre une suite de valeurs nous ayons une suite de courbes, toutes ces courbes sont tangentes à une certaine courbe qu'on appelle V enveloppe du système. Chaque courbe est coupée par la courbe consécutive en un certain nombre de points qui dépendent du paramètre, et le lieu de ces points est l'enveloppe. (Voir Sections coniques, n° 283 . . ., où le problème des enveloppes a été traité dans le cas où la courbe variable est une ligne droite. )Analytiquemeiît, l'équation de la courbe peut contenir un seul paramètre' variable, ou bien elle peut en renfermer deux ou plusieurs liés par une ou plusieurs équations, de manière qu'il ne subsiste effectivement qu^un seul paramètre réellement variable. Ces deux cas sont essentiellement équivalents *, toutefois il est souvent avantageux de traiter le second d'une manière différente, en faisant usage de la méthode de multiplicateurs indéterminés, que nous allons exposer. La forme sous laquelle le second cas se présente le plus fréquemment est celle où l'équation d'une courbe contient les coordonnées d'un point variable, astreint lui-même à se mouvoir sur une courbe déterminée; ou, en d'autres termes, c'est le cas où la courbe variable dépend d'un point paramétrique qui se meut sur une courbe paramétrique donnée. Par exemple, on a montré (Sections coniques, n^ 321) que le problème consistant à former la polaire réciproque d'une courbe donnée par rapport kx^-j-y^ H- z^

est le même que celui où il s'agit de trouver l'enveloppe de a ;; -f- Pj/ -i-yZy a, p, Y devant vérifier l'équation de la courbe donnée. Ici l'équation de la droite variable contient les deux paramètres variables a : y, P • y? et ces deux rapports sont liés par l'équation de la courbe donnée.

85. Supposons d'abord que l'équation de la courbe, que nous représenterons par T = o, ne contienne qu'un seul paramètre variable t. Les courbes qui correspondent aux valeurs consécutives t, t -]- dt peuvent être représentées par les équations T = G, Ti = o. Ces équations, ou les équations équivalentes T = o, 1\ — T = o, déterminent par conséquent les coordonnées des points d'intersection des deux courbes consécutives. Nous avons

Ti— T -i-diTch-^ ...

ou bien

T,-~T ^d,Tdt-+- ....

Ici; dt étant un infiniment petit du premier ordre, les termes qui suivent le premier peuvent être négligés. Les équations deviennent alors T = o, dT = o; elles déterminent un système de points qui dépendent du paramètre t] si donc nous éliminons t entre ces équations, nous obtiendrons l'équation du lieu de tous les points d'intersection des courbes consécutives du système, c'est-à-dire l'équation de l'enveloppe.

Un cas important à considérer est celui où l'équation est une fonction rationnelle de t; nous pouvons alors, sans nuire à la généralité, prendre pour Tune fonction entière en même temps que rationnelle par rapport à t, et le procédé qu'on vi^nt d'indiquer pour trouver l'équation de l'enveloppe revient à former le discriminant de T considéré comme fonction de t et à l'égaler à zéro. Par exemple, si a, ^, c, ... sont des fonctions quelconques des coordonnées, et si T est l'expression

s. — Courbes planes. 7

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98 CHAPITRE m.

les équations de l'enveloppe pour les cas qui se rencontreni Iç plus souvent, à savoir /i = 2, 3 et 4? sont respectivement (Alg, Slip., n'' 193, 195, 207)

{■2) ac — b^z=io,

(3 ) a\P -f- 4 ac^ -h^^b^d — dabcd ~ 3 h'' c^ — o,

(4) {ac — 4 l^d -{- 3c^y^ — 2'] {ace H- 2bcd — ad^ — b^e — c'^)'^=ro..

Prenons la dernière de ces équations et supposons que nous voulions connaître son ordre en fonction des coordonnées et que nous sachions d'avance à quel degré elles figurent dans ^, a, ... ; il sera alors utile de nous rappeler que, lorsque l'équation est développée, les termes contenant c^ et c'* bd peuvent se réduire, en sorte qu'il pourra arriver que l'ordre de l'enveloppe soit moindre que celui de l'un des deux termes qui constituent l'équation ci-dessus.

Si nous introduisons dans T les coordonnées d'un point quelconque et si nous résolvons l'équation résultante par

rapport à t^

a' t"-\- nb' t"-^ -^ . . .—o,

nous aurons évidemment n solutions; autrement dit, le système des courbes représenté par T est de telle nature que l'on peut déterminer n d'entre elles de manière qu'elles passent par un point fixe ; et, d'après ce qu'on vient de dire, il est clair que, si le point fixe est sur l'enveloppe, deux de ces courbes coïncideront.

Le cas où T dépend d'un point paramétrique peut se ramener au cas qu'on vient de considérer, si la courbe paramétrique est une droite, une conique ou une autre courbe unicursale ; en effet (n^ 44), les coordonnées du point paramétrique peuvent s'exprimer sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre.

Exemple 1. — Trouver V enveloppe de at^±btP-\-c = o; ici, comme clans les autres exemples, nous supposons que a^ b,, . . sont des fonctions quelconques des coordonnées.

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Combinons l'équation donnée avec sa dérivée par rapport à t\ nous avons

nat^^-p -^ pb = Oj {n — p)btP -h ne == o,

et, en éliminant t, nous obtenons

n'i aP c'^-P zt pP (n — pY^-P^ b^^ = o.

Nous devons ici prendre le signe -h quand n est impair et le signe — quand il est pair.

Exemple 2. — Trouver Venveloppe de a cos'^Ô h- ^ sin'^ 0 = c, 0 étant le paramètre.

Nous avons

- ^. T rrr — a cos'^-i 0 S î H Ô -h ^ sin«-i 6 cos 6 — o,

d'où tangO = — ^ — , cosO = . , sinO — — -— — — .

Portons ces valeurs dans l'équation trigonométrique connue et effectuons les ^'éductions, nous trouvons pour l'équation de l'enveloppe

En particulier {Sections coniques, n° 283), l'enveloppe de

a cos6 -f- ^ sin 0 — c est a^ -H 6^ = c^. Réciproquement, toute tangente à la courbe

peut s'exprimer sous la forme

ircos '" 6 -i- ;k sin "^ 0 =:=: c et les coordonnées du point de contact sont

X ^=^ c cos"^ 6, jK == c sin '■' 0,

On aurait pu présenter cet exemple comme un de ceux où une enveloppe dépend d'un point paramétrique situé sur une courbe unicursale. En effet, si nous posons cosO = a, sinô = p, les quantités a,

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p sont alors les coordonnées d'un point situé sur le cercle a^ -\- ^^ = ï et, comme le cercle est une courbe unicursale, ces coordonnées peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre.

Par exemple, si t est. égal à cos 6 + i sin 6, nous pouvons remplacer y. ou cos 0 par n^-h-jet^ousinÔ par —-(i — - ) • Si nous prenons comme exemple l'équation aa-h b^ = c, elle devient

(a — bi) P' — 2Cif 4- (a -h bi) = o, et son enveloppe, déterminée comme on l'a dit plus haut, est {a-\-bi){a — bi)=^ c'^ ou «2 -f- è^ = c^.

Si nous voulions éviter les imaginaires, nous pourrions poser tan g -T 9 = ? et (comme dans les Sections coniques, n*" 283) exprimer cosQ et sin 6 rationnellement en fonction de t.

Exemple 3. -- Supposons que la courbe soit

(^ cos 2 6 -H è sin 2 Ô -f- c cos 6 + <isin6 -f- e = o.

Posons ^ = cos6 -t- isinô : cette équation devient

,(,., }^J-bi(t^~f^+c(t + 1) -di{t - 1

ou bien

(^ __ bi) t^ -\- (c — di) t^ -h 2et^ -h (c -h di) t-\-{a.-^- bi) = o.

Et en appliquant ici la formule donnée précédemment pour le discriminant d'une forme du quatrième degré dont les termes sont affectés des coefficients du binôme, nous aurons

[«2 + 62 - { (C2 + ^/2) | 1 e2 JS ^ 2y [i (.«2 | ^2) g ,„ ^ ( c2 + ^2) e

~\a{c^-d^)-\bcd-i,e^]\ ou, en chassant les dénominateurs,

-i^a{c'^ — d'') — ^^bcd—^e-^\K

Ici encore il est utile de remarquer que le résultat développé ne contiendra aucun des termes e^ (c2 4- d^-) e'*«

Exemple 4. — Trouver Venveloppe des cordes de courbure des points d'une conique.

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ENVELOPPES. lOt

L'équation de la corde est {Sections coniques, n" 2M, Ex. 1)

— cos a — T sina = cos2a;

son enveloppe est donc

x^- r2 ,y' fx^ Y

Exemple 5. — Trouver V équation de la courbe parallèle aune conique, c'est-à-dire de la courbe obtenue en portant sur chaque normale ci la conique, et à partir de cette courbe, une longueur constante égale à r.

On a déjà résolu ce problème {Sections coniques^ n° 31^, £^x. 2) en considérant la courbe parallèle comme le 'lieu du centre d'un cercle de rayon constant tangent à la conique donnée. Mais il est facile de voir que la courbe en question peut aussi être considérée comme l'enveloppe d'un cercle de rayon constant dont le centre se meut sur la conique donnée; autrement dit, nous aurons à chercher l'enveloppe de

quand le point paramétrique est situé sur la conique; et comme cette dernière courbe est unicursale, le problème se ramène au cas qu'on a déjà discuté. Supposons que l'équation de la conique soit

et remplaçons a par a cos 6, p par è sinÔ ; l'équation

a2 4- p2 — 2a^ ^ 2p/-4-572 -}-/2 — r^ ~ o devient («2 — b^-)cos2^—iaxcos^ — ibysm^-{-i(x^-\-y^)-^a^-hb^ — r^ = o,

Cette forme se trouve comprise dans le cas traité dans le dernier exemple; en procédant d'une manière analogue, nous obtiendrions un résultat dont le développement est identique avec celui qui a été donné dans les Sections coniques, n'^ 372.

86. It convient d'étudier plus attentivement le cas où T est une fonction algébrique par rapport à t, et où cette expres-

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sîon renferme les coordonnées courantes au premier degré de manière à représenter une ligne droite; il s'agira donc dans ce cas de trouver l'enveloppe de

at"^ H- nbt"^-^ +. . . ,

oi\ a, b, c, ... sont des expressions linéaires par rapport aux coordonnées. Dans ce cas, l'enveloppe est évidemment une courbe de la ^^ ™^ classe, puisque (n° 85) on peut, par un point pris arbitrairement, lui mener n tangentes; et, comme le discriminant de aV" + . . . est de l'ordre a (/2 — i ) par rapport aux coefficients a, è, ... (Alg. sup,, n^ lOS) qui contiennent chacun les coordonnées au premier degré, l'ordre de l'enveloppe est 2(n — i). On peut obtenir facilement deux autres caractéristiques de l'enveloppe. Ordinairement elle n'a pas de points d'inflexion ; car, en un pareil point, deux tangentes consécutives coïncident, et par suite T = o et dcT = o doiventreprésenter lamême droite. Mais, pour que deux équations linéaires puissent représenter la même droite, elles doivent satisfaire à deux conditions ; et il ne sera pas possible, en général, de déterminer le paramètre unique t dont nous disposons de manière à vérifier ces deux conditions en même temps.

Le nombre des points de rebroussement de l'enveloppe est 3(/i — 2). De même que la tangente en un point d'inflexion d'une courbe contient trois points consécutifs, de même réciproquement un point de rebroussement est le point d'intersection de trois tangentes consécutives. Donc, pour un point de rebroussement de Fenveloppe, les trois équations T= o, dtT ==0, J-T = oseront vérifiées en même temps; on peut facilement ramener ces conditions aux suivantes :

Tu — a^«-2-+-(/z— 2)^^^^«-3 + -|(/i— 2)(^i — 3)c/«-*+ . .. =0, T22= ct"-^-i-{n — 2)dl''-^-hl{n — 2){n — S)ef'-^-^ . . . =0,

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ENVELOPPES. lo3

Ti 4 , Ti2i T22 étant les trois quotients différentiels du second ordre de T considéré comme une forme binaire rendue hojuogène par l'introduction d'une seconde variable. Si entre ces équations nous éliminons maintenant œ et y qui entrent au premier degré dans chacune d'elles, l'équation résultante en t sera du degré i(n — 2). Si nous écrivons T sous la forme ^U + jrV -h ^ W, les quantités U, V, W ne contenant que t et des constantes, nous avons évidemment le déterminant

qui nous donnera les valeurs de t correspondant aux 3(/2 — a) points de rebroussement.

Le problème qui a pour objet de trouver le nombre de points doubles de l'enveloppe est le même que celui où il s'agit de déterminer l'ordre du système de conditions pour que T ait deux couples distincts de racines égales {Alg. sup.^ n^ 264) et le problème où l'on cherche le nombre de tangentes doubles revient à celai où il faut trouver l'ordre du système de conditions pour que T représente la même droite pour des valeurs différentes de ^; en d'autres termes, il s'agit de déterminer de combien de manières nous pourrons trouver un couple de valeurs ^, t!' qui nous donnent l'égalité de rapports

Mais nous n'avons pas besoin de traiter ces problèmes directement, puisque les équations de Plûcker (n^ 82) nous fournissent déjà plus de conditions qu'il n'en faut pour déterminer S et T. Si donc nous écrivons dans ces équations que 2 (n — i) et n sont l'ordre et la classe de la courbe en question et si nous y faisons 1=0, nous trouvons

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io4 cnAPiTiiE ni.

87. Considérons maintenant le cas où l'équation renferme A" paramètres liés par k — i équations. Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse de l'équation 11 = 0, contenant les trois paramètres a, [3, y liés entre eux par les deux équations V = 0, W== o. Nous pouvons, si nous voulons, regarder [3 et y comme des fonctions de a, définies par ces deux équations V=: o, W = o. Le procédé, dans sa forme originale, consisterait donc à éliminer a entre les équations données et

d\} d\] r/B d\j dy

(ia d^ doL c/y da

Ici -7^ et -^ sont des fonctions de a définies par les équa-

dyi

doL

tions

dV d^

dY d^i d^{ dy

d\\ drj.

dy.

dW d^i d-( dy

Ces trois équations nous donnent \7 ; dU dV dU

c, ou

dy

dy

dY

aY

dy

dW

dYV

dy

et nous aurons le résultat final en éliminant a, p, y entre U = o, V = o, W= o, Y = o. Mais y = o est évidemment le résultat de l'élimination de )., [x entre les équations

d\} ■ dY dW dy dy dy

d\J dY dYV

dl] ^ dY ^ dYV d^ ^ dy ^ dy

de sorte que le résultat cherché peut s'obtenir en éliminant a, [3, y, X, [i. entre ces trois dernières équations et celles qu'on a données tout d'abord. C'est la méthode dite des multiphcateurs indéterminés à laquelle on a fait allusion

(nVS4).

88. Le cas où U est homogène par rapport à A" + i paramètres liés par k — i autres équations homogènes présente une certaine importance. Il se ramène en réalité au cas précédent, puisque les A: + i paramètres peuvent être remplacés par les rapports que l'un quelconque d'entre eux forme avec les k autres. Mais il est plus symétrique de garder toutes les k -\- i équations que fournit la méthode des multiplicateurs indéterminés ; en vertu du théorème des équations homogènes, ces équations sont liées par une relation qui les rend réellement équivalentes à k équations seulement. Supposons, par exemple, que U soit une fonction homogène des coordonnées a, (3, y d'un point paramétrique qui se meut sur la courbe paramétrique V = o ; outre les deux équations primitives, la méthode des multiplicateurs indéterminés nous donne

d\] , clY d\] , dY d\5 , d\

do^ dci (f/p dp «Y «Y

Mais ces trois dernières équations n'équivalent réellement qu'à deux, puisqu'en les multipliant respectivement par a, p, Y nous aurons mU + X^V = o, et cette relation résulte implicitement des équations U = o, V = o. Nous avons ainsi quatre équations ; en raison de leur homogénéité, nous pouvons éliminer entre elles les quatre quantités a, (3, y, "k et obtenir de cette manière l'équation de l'enveloppe.

Exemple. Trouver V enveloppe de

U =^(Aa)'«-}-(B|3y«-H(GY)'^ =o,

a, p, Y étant liés par la relatioji

La méthode des multiplicateurs indéterminés nous donne

m A'« a'^-i + X na^ a^-» = o, m B'^^ j3''i-i -4- X ^^^^ |3'^--i = o, ni G'^^ Y'^^"^ + ^ ^^'^ T'*"^ — ^'

Pour abresrer posons — = — \k'f^~^, il vient

Portons ces valeurs dans U, et nous avons l'équation de l'enveloppe cherchée,

m Ti m II m n

89. M. Caylej a considéré le cas où il s'agit d'une courbe U = o dont l'équation contient deux ou plusieurs paramètres indépendants. Supposons, par exemple, qu'il y ait deux paramètres a et [3; éliminons ces quantités entre les équations

^U cm

et nous aurons l'équation d'une enveloppe. Mais remarquons qu'entre ces mêmes équations nous pouvons éliminer les coordonnées {oc^y) et que les équations impliquent ainsi une relation ^(a, P) = o entre les paramètres. Ceci nous donne dans le double système de courbes U = o un seul système où les paramètres vérifient cette relation. Si nous prenons une courbe quelconque du système double et la courbe consécutive qui correspond aux valeurs a + <fa, j3 + rfjâ des paramètres, ces deux courbes se couperont suivant un système de points qui dépendra en général de la valeur du

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rapport d^ : doL des accroissements infiniment petits des paramètres. Mais, si la courbe appartient au s^^stème simple, le système de points sera indépendant du rapport en question; les coordonnées des points d'intersection vérifieront les

TT d\} d\j ^ , ^ ., ,

équations U ==: o, —j- ■=. o, -y^ = o et consequemment 1 equa-

lion U -f- -7— d^ + -T^ c/p = o, quelle que soit la valeur du rap-

ci CL Cl ô

port d^ : d'à. Et nous voyons ainsi qu'une courbe de la série simple est rencontrée par chaque courbe consécutive de la série double en un seul et même système de points et que le lieu de ces points est l'enveloppe. Dans le cas où il existe un paramètre unique, l'enveloppe est le lieu d'une suite de points situés sur chaque courbe du système, et on peut lui donner le nom à^ enveloppe générale. Dans le cas 011 l'équation contient deux paramètres, l'enveloppe est le lieu d'une série de points qui ne sont plus situés sur chacune des courbes du système, mais seulement sur les courbes du système unique oùles paramètres satisfont à l'équation (p(a, (3)== o; on peut l'appeler une enveloppe particulière. Une théorie semblable s'applique au cas d'un nombre quelconque de paramètres : il y a toujours un seul système résultant de courbes.

89 (a). M. Cayley a donné l'explication d'une difficulté que l'on rencontre dans la théorie des enveloppes telle que nous l'avons exposée au n° 84.

Dans ce numéro, nous avons considéré une enveloppe comme le lieu des intersections d'une courbe variable avec les courbes consécutives du système. Mais chaque courbe a en commun avec la courbe consécutive un certain nombre de tangentes communes, qui dépend de son paramètre, et l'enveloppe de ces droites constitue aussi l'enveloppe ; autrement dit, chaque tangente commune à la courbe et à celle qui

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liii est consécutive est une tangente à l'enveloppe en un point commun à ces deux mêmes courbes. Or, si la courbe variable est de l'ordre m et de la classe 72, le nombre des points communs est égal à m?' et celui des tangentes communes à /i^ ; et cependant les points et tangentes communs doivent se correspondre entre eux deux à deux. L'explication de cette particularité dépend des singularités de la courbe variable. Supposons qu'elle ait en général S points doubles, X points de rebroussement, t tangentes doubles et t. points d'inflexion ; on voit facilement alors que la courbe rencontre la courbe consécutive en deux points infiniment voisins de chaque point double, en trois points infiniment voisins de chaque point de rebrou ssement (ce qui donne ainsi qS + 3x points d'intersection) et en outre en mP' — 2 S — 3x points; réciproquement, la courbe considérée et la courbe consécutive ont en commun deux tangentes contiguës à chaque tangente double, trois tangentes contiguës à chaque tangente stationnaire (soit ainsi 2T + 3 i. tangentes communes) et de plus elles ont encore ^2 — 2T — 3 1, tangentes communes; mais nous avons (voir n° 82)

mP' — 2 S — 3 Z rzr /^2 — 2 T — 3 t := A7Z -f- /2 .

Chacun des m? — 28 — 3x points est (non pas un point de contact mais) un point d'intersection ordinaire des deux courbes, mais il a dans son voisinage immédiat une des n^ — 2T — 3 1. tangentes communes aux deux courbes; et l'enveloppe est simultanément ainsi le lieu desm^ — 28 — 3x (ou m-\-n) points, et l'enveloppe des rî^ — 2t — 3t. (ou m -h n) tangentes.

Nous pouvons ajouter que l'enveloppe complète de la courbe variable se compose de l'enveloppe proprement dite, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et en outre : i^ du lieu des points doubles compté deux fois; 2^ du lieu des points de

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