Il en est de même en général. Le discriminant de A ou

[Ji^^ U + [x'^-i X A 4- fx'^-^ X2 A2 + . . .

est du degré n {n — 1 ) en ^, JK, z ; il est [Algèbre supérieure^ Q° m ) de la forme /f U + (A)2cp ; icicp est le discriminant de A privée de son premier terme. Donc le lieu est tangent à U en ses points d'intersection avec A, comme il est évident que cela doit être.

Chacune des n{n — 1 ) tangentes rencontre de nouveau la courbe en (/i — 2) points, et la forme du discriminant montre que ces n{n — 1) (^^ — 2) points sont situés sur une courbe cp de Tordre [n — ^){n — 2). De plus cp est lui-même delà forme

go CHAPITRE II.

A'^A + (A^)- ^. Donc les deux courbes cp et A sont tangentes entre elles aux points où la première et la seconde polaire de (x^j y, z') se coupent.

Écrivons A sous la forme \^\]' -\-V^~^ [xM -^ . . . ^ nous voyons que le discriminant peut aussi se mettre sous la forme /rU^+ (A')2cp; donc, ^\{x^ , y' , z') est situé sur la courbe et si par suite U' = o, le discriminant contient le facteur double (A^)2; autrement dit, le système des tangentes se compose de la tangente en(^x' ^y'^ z') comptée deux fois et de {n- — ?i — i) autres tangentes représentées par l'équation ^ =:o. De même o est lui-même de la forme hM -^{M')-ij, Si alors l'origine est un point double et, par conséquent, si non seulement U est nul, mais si A^ est aussi égal à zéro, cp, qui était déjà du degré [n'^ — n — 2),contient le facteur double (A'-)-; c'est-à-dire que, parmi les n- — n — i tangentes, figurent les deux tangentes au point double,, comptées chacune deux fois, et il ne reste par conséquent que n- — n — 6 autres tangentes représentées par ^ =: o. Et nous pouvons prouver de même que le nombre des tangentes qu'on peut mener d'un point multiple de l'ordre k est n- — n — k{k -{- 1).

La théorie donnée précédemment sur l'effet des points multiples relativement au nombre des tangentes qu'on peut mener d'un point quelconque à une courbe nous montre que le discriminant de A (qui, en général, représente les n [n — i) tangentes) contiendra comme facteurs le carré de la droite qui joint {x\ y, z') à chaque point double de la courbe, le cube de la droite qui le réunit à chaque rebroussement, la sixième puissance de la droite qui le joint à chaque point triple, el ainsi de suite.

Section YI. — Courbes réciproques.

80. Nous avons yu. (Sections coniques^ n° 305) que le degré de la courbe réciproque est toujours le même que la classe de la courbe donnée, et inversement. Il est évident aussi qu'à

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PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES GOLMIBES. Qf,

un point double sur Funedes courbes correspondra une tangente double sur Tautre ; qu'à un point stationnaire de l'une correspondra une tangente stationnaire sur l'autre; et, en général, qu'à un point multiple de l'ordre k correspondra une tangente multiple de même ordre; que les k points de coQtact de la tangente multiple correspondront aux k tangentes du point multiple; et que, si une ou plusieurs de ces dernières coïncident avec d'autres tangentes, il en sera de même pour les points de contact correspondants.

81. Nous avons vu aussi que l'équation générale en coordonnées cartésiennes ou trilinéaires représente une courbe qui n'a aucun point double ou multiple, à moins que certaines conditions ne soient remplies. En effet, les abscisses des points où la courbe est rencontrée par une droite yz=:ax-\-h s'obtiennent en portant dans l'équation de la courbe la valeur de y déduite de la dernière équation; et comme nous avons deux constantes arbitraires a el b dont nous pouvons disposer, nous pouvons les déterminer de telle manière que l'équation résultante satisfasse à deux conditions quelconques à notre choix. Avec une seule constante à notre disposition, nous pouvons astreindre l'équation à vérifier une seule condition : par exemple, à avoir un couple de racines égales. Le problème suivant : Etant donné a^ déterminer b de man ièreqiie r équation ait deux racines égales^ n'est autre que le problème qui consiste à mener à la courbe une tangente parallèle à yz=^ax. Si nous pouvons disposer de deux constantes, nous pourrons imposer à l'équation la condition d'avoir deux couples de racines égales, ou trois racines égales entre elles. Le premier cas correspond au problème des tangentes doubles, le second à celui des tangentes stationnaires ou des points d'in- (lexion. Ainsiles tangentes doubles et stationnaires peuventêtre rangées parmi les singularités ordinaires d'une courbe dont l'équation est exprimée en coordonnées ponctuelles, les tan-

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g2 CHAPITRE II.

gen tes et points multiples d'ordre supérieur sont des sin giilarités extraordinaires qu'une courbe ne possédera que pour des valeurs spéciales des coefficients de son équation. Mais le contraire a lieu si l'équation est exprimée en coordonnées tangentielles. Ainsi la courbe représentée par l'équation générale dans ce système a ordinairement des points doubles, stationnaires, cuspidaux, mais pas de tangentes singulières. Donc les points doubles et stationnaires d'une part, les tangentes doubles et stationnaire s d'autre part, peuvent être rangés , au même titre, parmi les singularités ordinaires des courbes; elles sont de telle nature que, si une courbe possède l'une de ces singularités, sa polaire réciproque aura l'autre.