COURBES RÉCIPROQUES
90. Supposons qu'il s'agisse de ciiercher l'enveloppe d'une droite a^-j-(3jK-l-Y^= o, sachant que a, [3, y sont liés par une relation S=o. En d'autres termes, supposons qu'on donne l'équation tangentielle S = o d'une courbe ou son équation en coordonnées de droites, et qu'on demande de passer à l'équation en coordonnées de points. Nous avons ici les deux équations S = o,a^-}-[âjKH-Y^ = o, et la méthode du n^ 88 nous montre que le résultat s'obtiendra en éliminant a, [3, y, X entre les équations données combinées avec les équations
— hA^=:0, -— --hArr^O, ~j hA^=::0.
doL d^ " d-(
La solution du problème réciproque, étant donnée l'équation ponctuelle S = o, passer à l'équation tangentielle, dépend d'une élimination exactement semblable; il faut en effet éliminer ^,j^, 3, ). entre
et
dx (^h "^
Ce système d'équations découlerait lui-même tout nalurcllc-
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IIO CHAPITRE III.
ment de cette considération que si a ^ + [3^ ~|- y ^ = o est
identique avec la tangente au point o^yz, laforme bien connue
de l'équation de la tangente (n** 64) fait voir que a, [3, y
, . . . ' ^ y <^S dS dS
doivent être respectivement proportionnels a -j-, -j-, -,- •
Nous avons indiqué (n^ 84 et Sections coniques, n^ 321) que le problème qui consiste à passer de Téquation ponctuelle d'une courbe à son équation tangentielle est le même que celui auquel conduit la recherche de sa polaire réciproque par rapport k x- -{- y- -i- z- = o .
Exemple. — Former V équation tangentielle de
{axy''-^{by)"^ -^{cz)»' — o.
Nous avons ici
(a.r)'«-iH ^'^ - =: o, (6r)'"-i-}- — V ~ o, (czyf'-^'\ '^ == o.
^ ^ ma ' ^ y ' m o m c
Nous en déduisons immédiatement
91. La méthode que nous venons d'indiquer n'est cependant pas toujours la plus commode pour former l'équation de la réciproque. Supposons que l'équation de la courbe soit
Ufi -f- U,i^ Z -f- W/i.2 ^^ -f- . . . := o.
Éliminons z au moven de l'équation
a^-h Pj-+-Y-2 = o et nous obtenons
T" W/. — T~^ (a^' + Pj) ^^/^-l + r~'(a^ -1- P r)' "/.-2 4- ... — o,
qui est maintenant homogène en x el y; son discriminant (orme en la considérant comme une forme binaire donne, quand on l'égale à zéro, l'équation de la courbe réciproque multipliée par le facteur y^'i'i-^).
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