COURBES RÉCIPROQUES. MI
Soit proposé, par exemple, de trouver la réciproque de
^3 | yi | ^3 ^ 6mxfz z=: o.
Eliminons ^, il vient
{ax -f- ^yY -H 6mxf^^{c(,x ■+■ p/) — y^{x^ -f- j^)=i: o ou bien (a^— Y^ a2p4-27?iaYS ap^ 4- 2 77ipf-, P^ — 7^^, j)^— o {').
Quand on a divisé le discriminant par y^, le quotient donne
a6 + p6 ^ .,G (2 | 32,^^3 ) ( 0^3yi ^ ,^3,^3 ^ .^3^3)
— 24m2apY(«' 4- P' 4- Y^)~(24m -i- 48m^)a^-p^Y- = o.
On peut trouver exactement de la même manière les réciproques des courbes du troisième ou du quatrième degré représentées par leurs équations générales ; les résultats en seront donnés tout au long dans les Chapitres suivants.
92. Un des avantages principaux que présente la méthode précédente pour former l'équation de la réciproque, c'est qu'elle nous permet d'écrire immédiatement l'équation de cette réciproque sous la forme symbolique indiquée (^/^èôr^ supérieure^ Ghap. XIV). Si nous ramenons une forme ternaire à une forme binaire en éliminant z au moyen de l'équation ax -^ (^y -]^ yz = o^ nous avons immédiatement les règles suivantes pour exprimer les différentielles de la forme binaire prises par rapport à ^ et y^
dx dx
-~,-di^
dy ~ dy
y dz
{') Nous employons la nolalion(a, b, c, .. . X^j XÏ^ pc>ur la forme binaire écrite avec les coefficients du binôme, soit ax"^ -f- nbx^~^y -j- . . . ; nous réservons la notation {a, b^ c, ... )(^, y) pour le cas où la forme est écrite sans les coefficients du binôme {Alg. sup., n° 104).
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JI2 CHAPITRE m.
Appliquons ces règles au symbole (12) qui représente
d cl d d
dxy dy\ clx^ dy\
il devient
\dy^ clz2 dy2 dz^J
\dz^ dx.2 dz^ dx^
f cl d cl d ''
\dxi dy^ dx^^ dy^)
En d'autres termes, ce symbole appliqué à la forme binaire ne diffère que par le facteur y du symbole de contravariance (a 12) appliqué à la forme ternaire. Donc, si une droite a.x -\- ^y -\- yz coupe une courbe de telle manière que les points d'intersection satisfassent à une relation d'invariance dont la forme symbolique soit connue, nous pouvons immédiatement écrire sous la même forme l'équation tangentielle de son enveloppe. Par exemple, on sait que la forme symbolique du discriminant d'une cubique binaire est (12)2 (34)^(1 3) (24). Donc, si une droite ax -^ ^y -\~^z coupe une courbe du troisième degré en trois points dont le discriminantsoitniil, c'est-à-dire si elle est tangente àlacoiirbe, noLis devons avoir (ai2)2(a34)-(a T3)(a24)= o. On sait de même que le discriminant d'une forme binaire du quatrième degré est de la forme S^ = 27 T^, S et T étant deux invariants dont les formes symboliques sont respectivement.
(12)^ et (i.)^(23)M3ir.
Il en résulte que l'équation de la réciproque d'une courbe du quatrième degré est de la forme 8^=27X2; ici S est égala (a 12)'^ et T à (a i2)-(a23)2(a3 i )- ; S = o représente la courbe de la quatrième classe, enveloppe des droites qui coupent la courbe du quatrième degré en quatre points pour lesquels l'invariant S s'annule; et T = o est l'équation de la
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COURBES RÉCIPROQUES. Il3
courbe de la sixième classe, enveloppe des droites divisées hai^moniquementpar la courbe et pour lesquelles, par conséquent, l'invariant T s^ annule.
93. Nous avons déjà donné (n*^ 78) une méthode qui permet de former l'équation des tangentes menées à la courbe par un point {x\ y' ^ z')\ mais le problème se trouve résolu effectivement quand nous possédons l'équation de la réciproc[ue ou, en d'autres termes, cjuand nous avons la condition pour que la droite olo: -\- ^y -}- y^ = o soit tangente à la courbe. En effet, nous n'avons qu'à remplacer dans cette condition a, [3, y respectivement ])ar yz^ — zy', zx' — ccz'^ xy' — yx'^ et nous aurons la condition pour que la droite qui unit les points (^^, y^ y), (^, y^ z) soit tangente à la courbe ; cette condition doit évidemment être satisfaite quand (^, JK? ^) est un point d'une tangente quelconque issue de {œ^^y, ^^)(voir Sections coniques y n^ 294).
Réciproquement, l'équation du système de tangentes, trouvée par le procédé indiqué au n° 63, s'obtient aisément sous forme d'une fonctionhomogène de (^yz^ — ^ ^ )? ( ^^' — ^' ^) et de {œy — yz') égalée à zéro; en remplaçant ces quantités par a, pv y, nous aurons l'équation de la courbe réciproque.
94. Nous avons immédiatement ainsi un théorème qui correspond à celui du n** 92, à savoir que, lorsque nous avons l'équation tangentielle d'une courbe, nous pouvons écrire de suite l'équation symbolique du lieu d'un point tel que le système de tangentes menées de ce point à la courbe satisfasse à une relation donnée d'invariance. En posant 2= o dans l'équation du système de tangentes, nous obtenons Féquation du système des droites parallèles issues du point xy qoi vérifient la même relation d'invariance. Mais^ d'après la
S. — Courbes planes. 8
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Il4 GHÀPIÏRE III.
méthode même que nous avons donnée pour former l'équation du système. de tangentes, nous avons
d , d dx •^ d^
^ d?' dy
donc, comme ci-dessus,
dxi dy^ dx^ dy^
"ZIIL Z
d% dyj
d d \ C?Y2 daj
doL^ d^.j, da^ d'^i
et nous en déduisons immédiatement cette règle : chaque facteur tel que (12) qui entre dans la relation symbolique d'invariance à laquelle doit satisfaire le système de tangentes devra être remplacé par (ce' 12) et nous n'aurons plus qu'à opérer sur l'équation de la courbe réciproque.
93. Quand l'équation d'une courbe est exprimée en coordonnées polaires, on peut trouver directement celle de sa réciproque par rapport au cercle dont le centre est le pôle. Sur un rayon vecteur quelconque OP, prenons un segment OP^ égal au rayon vecteur consécutif OQ ; nous avons évidemment
??'== ^p, FQ rrz pdu,, tangOPQ = ?^
et la quantité p sinOPQ est la longueur de la perpeadiculaire
abaissée du pôle sur la tangente. Soit p'^^ a^cosmo) la
courbe donnée; prenons-en la différentielle logarithmique,
nous obtenons
dp j doi
— ^ := — tanff mcot/co, 0 -j~ -=1 — cot77iw;
p ^ ^ dp
si 9 est l'angle aigu que forme le rayon vecteur avec la tangente,
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CONTACT ENTUE DEUX COURBES. Il5
0 = 90° — mco et la perpendiculaire abaissée sur la tangente est égale à p sinQ ou à p cosmco. L'angle compris entre la perpendiculaire et le rayon vecteur est égal à miù] celui que forment la perpendiculaire et la droite à partir de laquelle (o est mesuré est (772 + i )co. Mais le rayon vecteur de la courbe réciproque est l'inverse de la perpendiculaire abaissée sur la tangente; d'après cela il est facile de voir que l'équation de la courbe réciproque sera aussi de la forme p'^ r= a^'cosmw,
le nouvel m étant ésral à — - — — ■- Cette famille de courbes ^ m -]-i
renferme plusieurs espèces importantes ; par exemple, le cercle (m = i ), la ligne droite (m = — i ), la lemniscate ordinaire (/?2 = 2), l'hyperbole équilatère (m = — 2), la cardioïde (?n =7), la parabole [m = — i)- • • •
