RP RP^ RP

^"^^ AP^BP^-^GP'^

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152 Cil API TUE IV.

OU bien encore

cotO -f- cotO'-H cot6'^— cot6'^'= o,

6 étant égal à ARP, c'est-à-dire à l'angle de l'inclinaison de la tangente sur le rayon vecteur focal AR, ....

144. L'exemple des coniques pourrait nous donner l'espoir de trouver des relations simples entre les distances d'un point quelconque de la courbe aux foyers. Il ne semble pas qu'il y ait une théorie générale des relations de ce genre, mais nous pouvons sans difficulté trouver des courbes particulières pour lesquelles elles existent; car nous n'avons qu'à écrire une relation quelconque entre les distances d'un point variable à des points fixes et à chercher le lieu pour lequel elle est satisfaite. Si l'on exprime chacune de ces distances en fonction des coordonnées, elle renfermera une racine carrée; et si, comme cela arrive communément, l'équation débarrassée de radicaux est de la forme up^=^ iVi^^, les deux droites imaginaires représentées par p^ = o sont des tangentes à la courbe et le point fixe F est un foyer. Nous pourrions étudier de cette manière la relation p H- mp^= c/, pour laquelle le lieu est une ellipse ou une hyperbole quand ;?i = dz I , un cercle quand d=^ o, et dans les autres cas une cartésienne; la relation /p -j- mp^-f- ^^p'^= o, pour laquelle le lieu est en général une quar tique qui a les points I; J pour points doubles, ou, comme nous pouvons l'appeler, une quartique bicirculaire ; mais, quand /zt m zb /^ = o, la courbe est une cubique qui passe par les points I, J, ou, comme nous pouvons la nommer-, une cubique circulaire; la relation pp'= d'^ pour laquelle le lieu est une cassinienne (voi/^ n° 55, ^^. 3); ou plus généralement a p^ + 6pp'-hcp'^ = d-, qui est en général une quartique, mais qui devient une cubique quand a ± b ± c = o, c'est-à-dire quand le premier membre de l'équation est divisible par p ±: p', . . . . Nous ajour

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FOYERS. l83

nons la discussion plus approfondie de ce sujet jusqu'à ce que nous en soyons arrivés à nous occuper plus spécialement des courbes dont nous venons de parler.

Une relation qui lie entre elles les distances focales nous permet d'établir une autre relation entre les angles cjue les rayons focaux font avec la tangente. En effet, nous pouvons démontrer, comme dans le n° 95, que chaque distance focale p donne une expression telle que <icp = cos^ ds, où 6 est l'angle compris entre le rayon focal et la tangente. Ainsi de la relation p H- 772 p'= d nous déduisons cosÔ + mcos^^:= o, ....

De la valeur donnée pour ^/a, . . . dans le numéro précédent, nous pouvons conclure R ^/a = p (ip, . . ,, où R est le rayon de courbure. Ainsi, par exemple, si nous savons que /a -f- m(3 -f- . . . est une quantité constante, nous pouvons en conclure que /p^ + mp^-, ... est aussi constant.

145. R.eprésentons par N le nombre de conditions (n^^ 27) nécessaires pour déterminer une courbe du n^"^^ ordre; si nous savons que la courbe est circulaire, c'est-à-dire qu'elle passe par les points I, J, et si on nous donne N — 3 autres points de cette courbe, le lieu du foyer double (ou l'intersection des tangentes en I, J) est un cercle. En effet, par N points on ne peut faire passer qu'une seule courbe du n'^""® ordre ; si donc, en plus des conditions ci-dessus, on nous donne un point consécutif à I, c'est-à-dire si l'on nous donne FI (la tangente en I), la courbe sera complètement déterminée, et par conséquent FJ, la tangente en J, sera aussi déterminée. Le point F est donc l'intersection des rayons correspondants de deux faisceaux homographiques (Sections coniques^ n° 331), c'est-à-dire de deux faisceaux tels qu'à une droite de l'un il correspond une droite de l'autre et une seule. Le lieu de F est donc une conique qui passe par les sommets I, J des faisceaux; par conséquent c'est un cercle. La conique se décompose en la droite ij et en une autre droite,

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l84 CHAPITRE IV.

quand la droite IJ d'un faisceau a pour correspondante Ja droite JI de l'autre. Dans l'exemple actuel, ce cas se produira quand n =^ 2^ puisque IJ ne peut être une tangente à une conique passant par les points I, J, à moins que la conique ne se décompose en deux droites, et le théorème qui en résulte est le suivant : quand des cercles passent par deux points, le lieu de leurs centres est une droite. Mais, quand /i est plus grand que 2, le lieu sera un cercle en général.

146. De même, si l'on nous donne N — i tangentes à une courbe de la 72'^°^^ classe, la courbe sera complètement déterminée quand nous connaîtrons une tangente FI de plus. Le raisonnement du numéro précédent s'appliquera ici, et le lieu du foyer sera un cercle^ si les conditions sont telles que, la courbe étant déterminée, on ne puisse lui mener qu'une seule tangente par le point J. Ce sera le cas, si, parmi les conditions données, il y figure la condition que la droite I J soit une tangente d'ordre n — i de multiplicité ; car par un point de cette droite on ne pourra plus mener qu'une seule tangente à la courbe. Nous avons vu (n*^ 41) que dire qu'un point est multiple de l'ordre k est la même chose que si l'on donnait \k(^k + i) points. De la même manière, savoir que IJ est une tangente multiple d'ordre {n — i) revient à connaître^ 72 (n — 1) tangentes. Remarquons que N — {ri[ji — ^)= 2 72 *, nous en concluons que, si l'on nous donne in — i tangentes d'une courbe de la tz^®'"® classe et si la droite de l'infini est une tangente multiple d'ordre [n — i), le lieu du foyer sera un cercle (dans ce cas il n'y a qu'un foyer). Ainsi, étant données trois tangentes d'une parabole, le lieu du foyer est un cercle. De même, le lieu du foyer est encore un cercle, quand on nous donne cincj tangentes d'une courbe de troisième classe, parmi lesquelles la ligne de l'infini compte pour deux. Une courbe particulière de ce système est formée du système composé du point à l'infini sur une quelconque des cinq tangentes et de la para-

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FOYERS. l85

bole qui est tangente aux quatre autres, le foyer de la parabole étant le foyer du système. Nous avons ainsi le théorème de Miquel (Sections coniques^ n^ 268) : les foyers des cinq paraboles qui touchent quatre quelconques de cinq droites données sont situés sur un même cercle (M.

(î) Cette démonstration du théorème de Miquel est due à M. ClifTord. Pour les déductions tirées du même principe, voir le Messenger of Mathematics, tome V, p. 137.

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147. Nous avons démontré (n° 42) qu'une courbe du troisième ordre, que, pour abréger, nous appellerons une ci^^^^g^i^e^ peut avoir un point double, mais qu'elle ne peut pas avoir d'autre point multiple. Ce fait a donné l'idée de la division fondamentale des cubiques en cubiques non singulières, qui n'ont pas de double point; cubiques nodales, qui possèdent un point double avec deux tangentes distinctes, et cubiques euspidales, qui ont un point double où les tangentes se confondent. Les nombres de Plûcker (n*^ 82) pour ces trois cas sont les suivants :

rn 8 X n T t

Nous voyons ainsi que ces courbes sont respectivement de la sixième, de la quatrième et de la troisième classe ; autrement dit, ce sont des courbes telles qu'on peut, d'un point arbitraire, leur mener six, quatre ou trois tangentes. Si le point est situé sur la courbe, la tangente en ce point compte pour deux unités dans ces nombres (n"" 79), et le nombre de tangentes distinctes de la tangente en ce point se trouve réduit à quatre, à deux ou à un; si le point est un point d'inflexion, la tangente stationnaire compte pour trois tangentes et le nombre des autres tangentes qu'on peut mener par ce point diminue encore d'une unité.

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Les cubiques nodales peu\'ent évidemment se subdiviser {n"" 38) en cubiques crunodales ou acnodales^ suivant que les tangentes au point double sont réelles ou imaginaires. Nous verrons dans la suite que les cubiques non singulières donnent lieu à une division analogue. Mais nous ajournons pour le moment la discussion plus approfondie de la classification des cubiques; le lecteur la suivra avec plus d'intelligence quand il aura été préalablement mis en possession de quelques-unes des propriétés générales de ces courbes. Nous ajournons également la discussion de l'équation générale et l'examen de ses invariants, et nous commençons par appliquer au cas des cubiques les théorèmes déjà obtenus pour les courbes de degré quelconque. Nous nous occuperons d'abord des théorèmes sur l'intersection des courbes, que nous avons établis dans la première section du second Chapitre.

Section I. — Intersection d'une cubique donnée avec d'autres courbes.

148. Nous avons démontré (n'' 29) que toutes les cubiques qui passent par huit points fixes pris sur une cubique donnée passent aussi par un neuvième point fixe de la courbe. C'est là un théorème fondamental qui conduit à la plus grande partie des propriétés des cubiques. En particulier, nous en déduisons que, si deux lignes droites dont les équations sont A = o, B = o rencontrent respectivement une cubique aux points a, a\ a!' ^ 6, b\ h\ et si les droites ah^ dh\ d' b" (dont les équations seront respectivement D = o, E = o, F = o) rencontrent la cubique aux points c, c , d' ^ la droite cc^(c = o), qui réunit deux de ces points, passe par le troisième. En effet, les droites D, E, F constituent une cubique passant par les neuf points; les droites A, B, C en forment une autre qui contient huit de ces points; donc elle passera aussi par le neuvième d' ^ et, comme ce point ne peut se trouver ni sur

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l88 CHAPITRE V.

Time ni sur l'autre des droites A, B qui rencontrent déjà chacune la cubique en trois points, il devra être situé sur C. Puisque la cubique donnée passe par les intersections des cubicjues ABC = o, DEF = o, son équation doit pouvoir être écrite sous la forme DEF — A^ABG = o.

149. Supposons que les droites A, B se confondent; nous concluons alors, comme cas particulier du théorème précédent, que si une ligne droite A = o coupe la courbe en trois points a, a' , d' , les tangentes en ces points D ==: o, E = o, F =: o rencontrent respectivement la courbe aux points c, d, d' qui sont situés sur une même droite C = o, et, dans ce cas, l'équation de la courbe peut s'écrire DEF — A'A^C = o.

Le point c, où la tangente en un point quelconque a rencontre la courbc; s^appelle le tangentiel du point a\ et la droite C, sur laquelle se trouvent les tangentiels des trois points a, porte le nom de droite satellite de la droite A. Nous montrerons plus tard comment on peut former l'équation de C, OLX + ^y -|- v^ = o, quand on connaît l'équation de A.

La droite A aura une satellite réelle, quand même elle rencontrerait la courbe en un point réel et deux points imaginaires, au lieu de la couper en trois points réels. Les équations des tangentes aux points imaginaires seront de la forme P -f- i;Q = o ; leur produit sera réel et l'équation de la courbe pourra être mise sous la forme D(P2-1- Q^)== -^A-Co

Deux cas du théorème de ce numéro méritent spécialement de fixer l'attention. En premier lieu, supposons que la droite A soit à l'infini ; les tangentes D, E, F aux points où elle rencontre la courbe sont alors les trois asymptotes el chaque asymptote rencontre la courbe en un seul point à distance finie; ceci nous montre que ces trois points sont situés sur une même droite C, qui est la satelUte de la droite de l'infini. Dans ce cas, l'équation est réductible à la forme DEF =: A-C, et nous avons ainsi ce théorème : Le produit des

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perpendiculaires abaissées dhin point quelconque de la courbe sur les trois asymptotes est dans un rapport constant avec la perpendiculaire abaissée du même point sur la droite C.

En second lieu, supposons que les points a^ a' soient des points d'inflexion; les tangentiels de ces points coïncident évidemment avec les points eux-mêmes; la droite satellite coïncide donc avec A, et par suite le troisième point a!' j où elle rencontre la courbe, est aussi un point d'inflexion (n^ 125, Ex. 3). L'équation de la courbe est donc réductible à la forme DEF = A* A^, dans laquelle A = o est l'équation de la droite qui passe par les points d'inflexion et D = o, E = o, F = o sont respectivement les équations des tangentes en ces trois points.

150. Le théorème du n^ 149 peut s'établir autrement en partant de la droite C au lieu de la droite A; ainsi, étant don nés trois points collinéaires c, c\ d' d'une cubique, la droite cpii joint a, point de contact d'une des tangentes menées par c avec a' ., point de contact d'une des tangentes menées par c' , passera par le point de contact d'une des tangentes menées par d' , On ne peut mener qu'une seule tangente en un point d'une courbe, et par conséquent à une position de A ne correspond qu'une position de G; quand il s'agit au contraire d'une cubique non singulière, on peut mener quatre tangentes d'un point quelconque de la courbe, et par conséquent à une position quelconque de C correspondent seize positions de A. Les douze points de contact sont situés sur les seize droites A; chaque droite A contient trois points de contact, et par chaque point de contact il passe quatre droites A.

Considérons plus particulièrement le cas où G est tangente à la courbe et supposons que les points c et d coïncident. Nous voyons alors que la droite qui réunit l'un des points- de

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igO CHAPITRE V.

contact a\ des tangentes issues de é^ à l'un des points de contact «H des tangentes menées par c doit passer par un des autres points de contact relatifs à c, par exemple par a^. Dj vcL^TCiQ^ la droite qui joint d\ a^ passe par ar,. Nous avons ainsi le théorème suivant : Les quatre points de contact a^y a^^ ^3, «4 des tangentes y menées d\in point quelconciae c situé sur la courbe, sont les sommets d\in quadrangle dont les trois centres sont aussi des points de la courbe, et sont tels que les tangentes en ces points et la tangente en c rencontrent toutes la courbe au même point,

151. Revenons au cas où G n'est pas tangent à la courbe; nous avons les tangentes issues de c qui sont tangentes à la courbe aux points a^, a^^ a^, a^, et les tangentes menées par d qui lui sont tangentes en d^, a^, d^^ d,^. Fixons seulement notre attention sur deux points a^^ ^2 du premier système de quatre points; nous voyons que, si nous partageons les points du second système en couples d\ine manière bien définie, par exemple a',, a'^ et a'g, d,^^ et si nous combinons le couple <^ij <^2 premièrement avec le couple d^^ a'^, les droites ad^^ «2 «2 se rencontrent en un même point de la courbe et que les droites a^ a'^, a^d^ se rencontrent aussi en un même point de la courbe ; en second lieu, si nous combinons a^ , a^ avec le couple «3, a'^, les droites a\d^^ a^a^ se coupent en un même point de la courbe, et il en est de même pour les droites a^a\j a^d,^\ les quatre nouveaux points sont les points de contact des tangentes menées à la courbe par le point c". Deux points tels que les tangentes en ces points se rencontrent respectivement sur la courbe peuvent être appelés points correspondants. Ainsi deux des points a^y a^i a^, a^ sont des points correspondants; il en est de même de deux des points a\, d.-^, d^j a'r^» Mais si nous partons des deux points <7^, a-, les points d^, d.^ (de même que les points a[^, d.^) peuvent être appelés des points correspondants du même genre que

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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. IQl

a^, a-i] la propriété qu'ils possèdent est la suivante : étant donnés deux couples de points de même genre, si nous formons un quadrilatère en joignant chaque point d'un couple avec chacun des points de l'autre couple, les deux nouveaux sommets du quadrilatère sont des points de la courbe (qui sont eux-mêmes des points correspondants du même genre respectivement que les deux couples originaux). Il est évident qu'il y a trois genres de points correspondants qui sont : le genre a^ a^ ou «3^4, le genre a^ a^ ou a^a!^, et le genre aiar^ ou a^2^z- Et de plus, si nous partons du couple a^^ aj pour obtenir le système entier de points correspondants du même genre, nous n'avons qu'à prendre sur la courbe un point variable K et, en le joignant aux points a^^ a^ respectivement, ces droites couperont de nouveau la courbe en un couple de points correspondants du même genre que a^a^^. Nous pouvons indiquer en passant que l'enveloppe de la droite qui joint deux points correspondants du même genre est une courbe de la troisième classe. Cette théorie est due pour la plus grande partie à Mac Laurin (voir De linearum geometricarum proprietatibus generalibus Tractatus) ('); on peut donc l'appeler à juste titre la théorie de Mac Laurin pour les points correspondants d'une cubique.

152. Considérons toujours le cas où C n'est pas une tangente à la courbe; soient D^, Ej, F^ des tangentes menées respectivement par les points c, c' , d' . Nous avons vu que Téquation de la courbe peut s'écrire sous la forme

D/EiFi — AfCzizo.

Soit D2, E2 un autre couple de tangentes passant par c, c' et telles que leur corde de contact passe par le point de contact de F, ; l'équation de la courbe pourra aussi se mettre

(1) Voir DE JjîouiÈRrs, Mélanges de Géométrie pure, p. 223.

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SOUS la forme D2E2Fi — A^C = o. De là nous pouvons déduire ridentité

le second membre de cette dernière équation représente trois lignes droites; donc le premier doit représenter les trois mêmes droites . Par conséquent, un des facteurs de D i E, — D2E2 doit être la droite G, qui passe par les points DiD2, EiE2. L'autre facteur, qui joint les points DiE2, D2Ei, doit être A^ dz A2, F^ étant égal à Ai ip A2. Nous voyons ainsi que les deux dernières droites et les deux cordes A^ , A2 forment un faisceau harmonique dont le sommet est le point de contact de F^ . Nous appliquerons plus tard ce théorème au cas où les points c et d sont les points imaginaires de l'infini I, J; les points D^E2, D2E^ sont alors des foyers et F^ est une tangente parallèle à la seule asymptote réelle que possède la courbe.

Si les points c, d coïncident, la droite qui réunit c au point de contact de F^, la droite F^ elle-même et les deuK cordes A,,A2 forment un faisceau harmonique.

153. On peut déduire de là un autre théorème de Mac Laurin. Une droite quelconque issue d'un point A d'une cubique est divisée harmoniquement par les deux points p, y, où elle rencontre de nouveau la cubique, et par les deux points S, S^ où elle rencontre un couple de cordes joignant \q^ points de contact de tangentes menées par A. Supposons que la droite rencontre la tangente d au point c; comme elle coupe Al et B, en A, nous aurons, d'après le n° 136,

ou bien