RR, RR
OR/ or;'
peuvent être considérés comme égaux. La propriété de la droite polaire \ ^^5^ =z: o se réduit, quand O est à l'infini,
à S(RR^)= o; aulremejit dit^ la somme de tous les segments compris entre la polaire et la courbe sur les cordes parallèles qui se rencontrent en O est^nulle. Nous voyons ainsi que la droite polaire dhui point à V infini est le diamètre du système de cordes parallèles dirigées vers ce point infiniment éloigné.
Il en est de même pour la conique polaire. Quand O estin-
liniment éloigne, lequation / ( Tvr" * ryD" ) === ^ ^^ réduit
à S(RR,.RR2)= o ou bien àS(OR - OR0(OR - OR2) = o^ c'est l'équation (n^ 129) qui détermine la conique diamétrale. Et de même, en général, le diamètre curviligne dhin ordre quelconque est identique avec la courbe polaire du même ordre d^ un point situé à distance infinie sur le système de cordes parallèles auxquelles correspond la courbe diamétrale donnée.
136. Mac Laurin a fait connaître un théorème qui est la généralisation de celui de Newton (n° 128). Supposons que par un point O on mène une droite rencontrant la courbe en n points et cjue l'on construise les tangentes en ces points; si une autre df^oite issue de O coupe la courbe enR^^ R2 , . . . et le système des n tangentes en ri, r2, . . . , on aura
ZuÔR^ 2uÔ~r'
Il est évident que deux points déterminent la droite polaire ; par conséquent, si deux droites menées par O rencontrent deux courbes aux mêmes points R|,R2, . . . , Sj, So,... la polaire deO,parrapportaux deux courbes, devra être la même droite, puisque deux de ses points Ret S sont les mêmes pour toutes les deux. Ceci sera également vrai si les deux droites OR, OS se confondent, c'est-à-dire que, si deux courbes de degré n sont tangentes en n points situés sur une droite, la polaire
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d^un point quelconque de cette droite sera la même pour les deux courbes, et par consécjuent, si un rayon vecteur mené par ce point rencontre les deux courbes^ nous devrons avoir
2^0K 2^ Or*
137. Nous savons que le ceati^e d'une conique peut être considéré comme le pôle par r-apport à la courbe de la droite de l'inlîni. Pour les courbes d'ordre supérieur, toute ligne droite a (^ — i)^ pôles (n« 61), et par conséquent il n'existe pas, pour une courbe d'ordre supérieur au second, de point unique qui corresponde au centre d'une conique. La chose est toute différentes! nous considérons des courbes de classe supérieure. Les recherches précédentes sont évidemment applicables aussi aux courbes exprimées à l'aide de coordonnées tangentielles; et de cette manière, toute droite a un pôle, une courbe polaire de seconde, troisième . . . , classe et finalement une courbe polaire de la (/2 — i)^^°^® classe, touchée par les n tangentes aux points où la ligne droite rencontre la courbe. Si donc l'équation d'une courbe est exprimée en coordonnées tangentielles, et si nous cherchons le pôle de la droite de l'infini, nous trouverons uu point unique.
Examinons quelles sont les propriétés métriques du pôle d'une droite exprimée en coordonnées tangentielles, et, en particulier, du pôle de la droite de l'inlîni. Nous prenons le système du n^ 19 où les coordonnées d'une droite sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur cette ligne de trois points fixes; on voit alors sans difficulté que l\ni représente le rapport des sinus des angles suivant lesquels l'angle compris entre les ueux droites (a, p, y), (a^, [â', y') est divisé par la droite /a-|-ma, /p -\- m^\ l^-^-m^'. L'équation qui correspond à A = o détermine le rapport des sinus
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des angles suivant lesquels l'angle compris entre les deux droites est divisé par chacune des tangentes qu'on peut mener de leur point d'intersection à une courbe de la n^'''^'' classe. On voit aussi, comme dans le n*^ 133, que le pôle Rd'une droite quelconque jouit de la propriété exprimée par la rela-
tion y i . J = o, dans laquelle F est un pomt va-
riable sur la droite donnée, R^ Ro, ... sont les points de contact de tangentes menées par le point P, et O est un point fixe sur la droite donnée. Ainsi, pour une courbe de la seconde classe, la relation dont il s'agit ici est la suivante :
sin RPRi si n RPR, siiiKiPO "^ shiK^PU ~ ^'
c'est-à-dire : Si dhin point P, pris sur une droite fixe OP, nous menons les tangentes PR^, PR2 à une conique^ et si nous traçons PR de telle manière que [P.ORiRRs] soit un faisceau harmonique j OK passera par un point fixe. G^est la définition fondamentale du pôle et de la polaire par rapport à une conique considérée comme une courbe de seconde classe.
'•11- V /sin RPR, \ ,
JNoiis pouvons écrire la relation > - — tt-tttt = ^ sous la ^ ^\smKiFO/
forme \ ( ^ ^ ) = o, M^ étant le pied de la perpendiculaire
abaissée de Ri sur la droite RP et Oi le pied de la perpendiculaire abaissée du même point sur la droite OP. Supposons maintenant que la droite OP s'éloigne à l'infini ; tous les dénominateurs de cçtte dernière somme tendent à devenir égaux entre eux, et nous avons simplement S(MiR4) = o; autrement dit, la somme des perpendiculaires abaissées des points de contact d'un système de tangentes parallèles sur une droite parallèle menée par R est nulle. En d'autres termes, le centre des moyennes distances des points de contact d'^ un système quelconque de tangentes parallèles menées à une courbe
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donnée est un point fixe qui peut être considéré comme un centre de la courbe. Ainsi, dans une conique, le point milieu de la droite qui joint les points de contact de tangentes parallèles est un point Jfîxe; dans une courbe de troisième classe, c'est le centre de gravité du triangle qu'ils forment Ce théorème est dûà M.Ghasles (Ç?/e^e/e^; VI, 8).
138. Nous avons montré [Sections coniques, n^ 279) que les foyers des coniques jouissent de la propriété que les droites qui les joignent aux points circulaires à l'infini sont tangentes à la courbe. Ceci nous conduit à la définition suivante des foyers en général : un point F est dit le foyer d'une courbe, quand les droites FI, FJ sont toutes deux tangentes à la courbe, ou, en d'autres termes, quand il est l'intersection d'une tangente passant par I avec une tangente passant par J (^). Une courbe de la n'^°^^ classe a en général n^ fo^^ers, qui sont les intersections des n tangentes I avec les n tangentes J. Mais la courbe étant réelle, n et seulement n de ces foyers sont réels ; en effet, l'équation d'une des tangentes I étant de la forme A 4- Bi = o (où A et B sont des fonctions linéaires des coordonnées), celle d'une des tangentes J sera A — B^' = o; ces droites se couperont au point réel A = o, B= o et il n'y aura pas d'autre point réel sur l'une ou l'autre de ces tangentes. Ainsi une conique (/z = 2) a quatre foyers, dont deux seulement sont réels.
Dans ce qui précède, nous avons supposé que les points I, J n'ontaucune position particulière par rapport àla courbe. Admettons maintenant que la droite IJ soit une tangente ordinaire ou singulière en un ou plusieurs points A, B, . . . ; pour le moment, nous supposerons que ces points soient distincts des
(1) Cette conception est due à Plûcker {Journal de Crelle, t. X^ p. 8^^).
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1^4 GilAPITRE lY.
points I, J ; admettons que IJ compte g fois parmi les tangentes menées de 1 ou J à la courbe. Les tangentes I se composeront alors de la droite IJcomptée^foiset de n — g- autres tangentes ; il en sera de même pour les tangentes J. Les seuls foyers qui ne soient pas à l'inlini seront évidemment les intersections des (n — g) tangentes I avec les (n — g) tangentes J ; il existe (n — g)'^ foyers à distance finie, dont n — g seulement sont réels, comme plus haut. Le nombre total des n^ foyers se compose de ces (n — g)^ foyers, du point I qui compte g i^n — g) fois [il est en effet l'intersection de chacune des [n — g) tangentes I avec chacune des tangentes J qui coïncident avec IJ], du point J compté g {n — g) fois, et enfin des g'^ intersections des tangentes I, confondues avec ]J, avec les g tangentes J qui coïncident avec cette même droite. Dans ce dernier cas, nous devons considérer toute tangente I, telle que lA, comme rencontrant la tangente J correspondante JA au point de contact A ; mais son point d'intersection avec une autre tangente J, telle que JB, sera indéterminé. Par exemple, si la droite de l'infini est tangente à la courbe en g points réels, il y aura encore n foyers réels, à savoir n — g foyers à distance finie et les g points de contact de IJ avec la courbe (^). En particulier, la parabole (/^ =r 2, ^' = i) a un seul foyer à distance finie; l'autre foyer réel est situé à distance infinie sur la direction de l'axe.
Supposons que le point I soit sur la courbe ; si nous supposons la courbe réelle, le point J est aussi sur la courbe, et, si I est un point singulier, J présentera le même genre de singularité. Bornons pour le moment notre examen au cas où ces points sont tous deux des points ordinaires; les n — g tangentes I se composent de la tangente en I comptée deux fois et des n — g — 2 autres tangentes ; il en est de même pour
(1) M. Cayley pense qu'il vaut mieux considérer qu'il n'y a que {n — gY fo^xrs, et conséquemment que les seuls foyers réels sont les {n — g) foyers.
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les tangentes J. Les [n — gY foyers se trouvent alors constitués comme il suit : l'intersection réelle des tangentes en I et J, qui compte pour quatre points; les [n — g — 2) intersections imaginaires de la tangente en I avec les [n — g — 2) tangentes J^ qui chacune comptent pour deux; les(/i — g — 2) intersections imaginaires de la tangente en J- avec les (^ — ë — 2)tangentesl, chacune comptant aussi pour deux; et enfin les (/^ — g — 2)^ intersections des deux systèmes de ( '^ — S — ^ ) tangentes . Parmi ces derniers points , on voit, comme plus haut, que n — g — 2 et seulement [n — g — 2 ) sont réels et rintersection des tangentes en I et en J prend la place de deux des n — g foyers réels. Si donc nous n'avons égard qu'aux foyers réels, nous dirons que ce point est un foyer double; nous employons cette locution parce qu'elle est commode; nous venons néanmoins de voir que ce point aurait dû être appelé /o/^r quadruple, si nous avions tenu compte des foyers imaginaires aussi bien que des foyers réels. Ainsi, dans le cas du cercle, le seul foyer est le centre; nous devrons le regarder comme un foyer quadruple, si nous considérons qu'il tient la place des quatre foyers qu'une conique possède en général; nous pourrons cependant le traiter comme un loyer double, si nous avons seulement égard aux deux foyers réels.
D'une manière analogue, si chacun des points I, J est un point multiple d'ordre /sur la courbe, on voit, en suivant la même marche, qu'il y a f^ foyers qui comptent chacun pour quatre et dont/ sont réels; 2/(az — g — 2/) foyers imaginaires qui comptent chacun pour deux, et (n — g — ifY foyers simples, parmi lesquels n — g — 2/ sont réels. En considérant à la fois les foyers réels et imaginaires, nous dirions qu'il y a /^ foyers quadruples, if(^n-—g — 2/) doubles, et(72 — g — 2/)^ simples; mais, en n'ayant égard qu'aux foyers réels, nous pouvons dire qu'il y a / foyers doubles, [1% — g — 2) foyers simples et g foyers à l'infini.
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1^76 CHAPITRE lY.
Si chacun des points T et J est un point d'inflexion ou de rebroussement, la tangente en I ou J figure trois fois parmi les tangentes I ou J, et l'on peut mener de chacun de ces points 72 — g — 3 autres tangentes. Les [n — gY foyers se composent, comme on Fa vu plus haut, d'un foyer comptant pour neuf, de {n — g — Z) -\- [n — g — 3) autres foyers qui comptent chacun pour trois et de {n — g — 3)^ foyers simples. Parmi ces derniers, n — g — 3 sont réels, et le seul autre foyer réel est le point d'intersection des tangentes en T et J, qu'on appelle généralement wxi foyer triple parce qu'il compte pour trois dans le nombre des foyers réels; on devrait néanmoins le regarder comme un foyer d'un ordre de multiplicité égal à neuf, si l'on tenait compte de tous les foyers tant réels qu'imaginaires. Il n'y a aucune difficulté à étendre la théorie aux cas où T et J sont des points multiples d'ordre supérieur, dans lesquels plusieurs tangentes coïncident, ou bien encore quand ils se trouvent en des points où la tangente présente avec la courbe un contact d'ordre supérieur au second ; ou bien enfin quand ces points sont des points ordinaires ou singuliers ayant IJ pour tangente commune.
139. Etant donnés deux foyers réels A, A^ d'une courbe, les droites AI, AJ; A^I, A^J se rencontrent en deux points imaginaires B, B^ qui sont aussi des foyers de la courbe; et la relation qui existe entre ces deux couples de points consiste en ce que les droites AA^, BB se partagent mutuellement en deux parties égales et sont perpendiculaires l'une à l'autre en un point O tel que OA (— OA^) est égal à iOB {= iOB'). Les points A, A^ et B, B' ont été nommés anti-points. Celte relation se rencontre fréquemment en Géométrie plane : ainsi une conique a deux couples de foyers qui sont anti-points les uns des autres ; tout cercle mené par A, A^ coupe orthogonalemeiU un cercle quelconque qui passe par B, B^ Nous devons ajouter
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que, si nous connaissons les n foyers réels, nous pourrons former avec eux \n[n — i) couples de droites; chacun de ces couples de droites donnera naissance à un couple d'antipoints, et nous obtiendrons ainsi les n'^ — n foyers restants.
140. On détermine les coordonnées des foyers d'une courbe en formant Féquation des tangentes que l'on peut mener à la courbe par le point I. Cette équation sera de la forme P -i- tQ=:o, l'équation correspondante pour J sera P — ^ Q=o, et les intersections des deux systèmes de tangentes seront données par les équations P = o, Q = o. Si nous représentons par Uo U2 les dérivées premières de U par rapport à x et r, par U^ ^ , U^2? U22 les dérivées secondes, . . ., l'équation du système des tangentes qui passent par( i, i^ o) s'obtient (n^78) en formant le discriminant de
V'\] + X"-^ (Ui 4- iUo + iX'^-2(Uii -h 2iUi2-U22)4- . . . =0.
Si, par exemple, la courbe est une conique, le discriminant en question est
[\]\ - \}\ - 2U (Un - U22)] + 2 i[l],l], - 2UU1,] ,
et l'on trouvera les foyers en égalant séparément à zéro les parties réelles et imaginaires. En combinant ces deux équations, nous formerons les équations des deux droites (les axes) sur lesquelles sont situés les foyers
Ui,(U;-Ul)-(U,,-U,,)UiU, = o.
Les mêmes équations déterminent les foyers d'une cubique qui passe par les points I, J ; d'une courbe du quatrième degré qui a ces deux points pour points doubles . . . ; car on voit facilement que, dans l'un quelconque de ces cas, tous les termes, autres que ceux qu'on vient d'écrire ci-dessus, disparaissent de l'équation dont il faut former le discriminant. S. — Cou? bes planes. 12
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141. Nous pouvons aussi déterminer les foyers, comme dans les Sections coniques^ n^ 258, en formant la condition pour que la droite x — x' -\' i(y — y)=zo soit tangente à la courbe; ou, en d'autres termes, en remplaçant dans l'équation tangentielle a, [â, y P^^* i? ^1 — (^'+(70- ^^^ parties réelles et imaginaires de l'équation, séparément égalées à zéro, déterminent les coordonnées des foyers. Il n'est pas difficile de trouver une interprétation géométrique réelle de chacune de ces équations. Supposons que la condition de contact de X — x^ -i- p(j — y)= o avec la courbe soit écrite sous la forme
ap" H- bjy-^ + cp^-^ -I- . . . = o
a, b, ... étant des fonctions de x'y y; d'après la théorie des
eauations ? -, . . . sont la somme, Ja somme des produits
deux à deux, etc., des tangentes trigonométriques des angles que les tangentes menées à la courbe par le point (x^, y) font avec l'axe des x. Si maintenant nous posons p = i et si nous égalons à zéro les parties réelles et imaginaires de l'équation, nous obtenons les deux relations
D'après la formule bien connue pour la tangente de la somme de plusieurs angles, la seconde de ces relations exprime que la somme des angles que les tangentes menées par x\ y font avec l'axe des x est égale à zéro, ou à un multiple de 7î; la première équation exprime que la somme des
angles est un multiple impair de -•
Donc le lieu d'un point tel que ]es tangentes menées de ce point à une courbe de /^^^'^® classe fassent avec une droite fixe des angles dont la somme soit égale à une quantité donnée est une courbe du degré n. Si l'on choisit
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la droite fixe pour axe des x^ on voit facilement que l'équation de cette courbe est
(a — c4- 6?" . . .) tango =: b—~ cl -{-/-—
Quelle que soit la droite fixe ou l'angle, le Jieu passera par les foyers de la courbe. Ce résultat peut sembler parardoxal, puisqu'il en résulte que la somme des angles compris entre une droite quelconque et les tangentes issues d'un foyer peut être rendue égale à une quantité donnée quelconque. La raison en est que les tangentes de deux de ces angles sont égales à ± i, que la tangente de leur différence
se présente sous la forme -) et qu'elle peut être une quantité
quelconque. En effet, si tangcp =:: i^ (f peut être regardé comme un angle infini, puisqu'il jouit de la propriété que sincp = coscp = 00 et tang(cp + a)==: tangcp; et la différence de deux infinis est indéterminée.
Nous avons vu (n^ HO) qu'une tangente menée par un des points I, J coïncide avec la normale; il s'ensuit que tout foyer d'une courbe est aussi un foyer de sa développée et de sa développante.
142. Si l'on exprime l'équation de la courbe au moyen des cooràonnéest3in^enlielles(n^ 19 jelSections coniques, n^ 403) dans lesquelles les variables sont les perpendiculaires abaissées de trois points fixes sur une droite quelconque, on peut déduire de cette équation une importante propriété des perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente quelconque. Soient a, p, y, S, ... les ii foyers et soient w, to' les points I, J; puisque les droites ato, aw^, . . . doivent être des tangentes à la courbe, l'équation tangentielle doit être de la forme aJârS . . . = toco'^p, où cp est une fonction du n — 2^^™*^ ordre par rapport aux coordonnées de droite. Pour les courbes de la seconde classe, cette équation conduit immédiatement
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l8o CHAPITRE TY.
à la propriété connue C|ue le produit des perpendiculaires abaissées des deux foyers sur une tangente quelconque est constant, puisqu'on a démontré [Sections coniques, n^ 403) qu'on peut remplacer lùd par une constante. Si, de même, nous remplaçons tow^ par une constante, l'équation générale des courbes de troisième classe est apy = A-S, où a, [3, v représentent trois foyers et S un certain quatrième point; en effet, nous pouvons de chaque foyer mener à la courbe (outre les deux tangentes passant par I, J respectivement) une seule tangente, et la forme de l'équation montre que les trois tangentes issues des points a, p, y se rencontrent respectivement en un point S (^). Nous déduisons de là que le produit des trois perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente quelconque à une courbe de la troisième classe est dans un rapport constant avec la perpendiculaire abaissée du point S sur la même tangente. Si la courbe passe par les points I, J, il y a un foyer double et l'équation prend la forme a^ p =: /rS dont l'interprétation est évidente. Si un foyer A est à l'infini, nous pouvons voir comment la formule doit être modifiée en prenant d'abord pour a la distance perpendiculaire de A à une tangente quelconque divisée par AB; lorsque A s'éloignera à l'infini suivant la direction AB, il est facile de voir que a sera égal à cos9, 6 étant l'angle que fait AB avec la direction des perpendiculaires abaissées sur la tangente. Si, par exemple, nous considérons une conique ap =: k'^^ dans le cas de la parabole où A passe à l'infini, la formule devient [ïcosô ■=. k\ elle montre que le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur une tangente est une ligne droite. De même, pour une courbe de la troisième classe, la formule a^Sy^^A'S devient PycosQ^A'S; nous pouvons l'écrire j6y=:A"S^, si nous convenons que 8^ représente le segment
(1) Le théorème réciproque pour les courbes du troisième ordre coupées par deux droites quelconques est donné plus loin, n° 148.
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FOYERS. l8l
déterminé par la tangente variable sur une droite menée par D parallèlement à AB.
Pour les courbes de la quatrième classe, l'équation est oi^y^z=k^(f^ cp étant la section conique qui est tangente, comme le montre l'équation, aux huit tangentes focales qui ne passent pas par I, J. Mais si les foyers de cette conique sont s, s, l'équation peut être écrite sous la forme apyS = A*^ s!^ + /'♦ : l'interprétation géométrique en est évidente. Cette équation comprend aussi la forme a^yS = /'♦ ou = to^w^s^ q^j[ représente une courbe sur laquelle les foyers a, [3, y? ^ sont des foyers doubles; la forme a^^ = (o^to^^^ où I, J sont des points d'inflexion, etc. On voit ainsi, d'une manière générale, que l'équation tangentielle d'une courbe de la n'^™® classe fournit une relation du premier degré qui lie le produit des n perpendiculaires focales, des n — 2 autres perpendiculaires, des 71 — 4^i^itres perpendiculaires, etc., et ainsi de suite jusqu'à ce que nous arrivions à une perpendiculaire unique ou à un terme constant.
143. Les relations qui existent entre les perpendiculaires abaissées des foyers sur la tangente peuvent conduire à d'autres relations où figurent les angles compris entre les rayons focaux et la tangente. En effet, si AP est la perpendiculaire a abaissée sur la tangente en un point quelconque R de la courbe, et si <icp est l'angle compris entre deux tangentes consécutives, nous avons (ia = RP(i'^. De la même manière, <ip = RP^^cp, .... Si donc nous différentions l'équation qui lie les perpendiculaires, nous pourrons remplacer chaque doL par le segment correspondant RP déterminé sur la tangente par le pied de la perpendiculaire focale et le point de contact. Ainsi, de l'équation a^Y = k^d nous déduisons
PJ3///
doL c/S dy
