Les principes que nous venons d'exposer nous per

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mettent de trouver par des constructions linéaires le point résiduel ou corésiduel d'un système négatif ou positif donné. Supposons, par exemple, qu'on demande de trouver le point résiduel de huit points donnés; joignons ces points deux à deux d'une manière arbitraire : les droites qui les réunissent constituent un système du quatrième ordre qui coupe la courbe en quatre points résiduels aux huit points donnés ; joignons ces derniers par couples, nous obtenons un système de deux points corésiduels aux huit points donnés; le point où la droite qu'ils déterminent rencontre la courbe est le point résiduel demandé. Ou bien encore, nous pouvons remplacer quatre quelconques des points donnés par leur point corésiduel, construit comme dans le n° 154, et le problème se ramène à trouver le résiduel de cinq points ; en remplaçant de même quatre d'entre eux par leur corésiduel, nous réduisons le problème à la recherche du résiduel d'un système de deux points. On voit facilement, par l'une quelconque de ces manières, que le résiduel du système de huit points consécutifs en un point donné de la cubique est le troisième tangentiel du point donné.

Cette méthode, qui permet de trouver au moyen de constructions linéaires le neuvième point commun à toutes les cubiques qui passent par huit points donnés, suppose que l'on connaisse une cubique tracée par les huit points, et la question n'est pas la même que celle où il s'agit de trouver le neuvième point, quand on donne seulement les huit points. Le D^ Hart a montré que, dans cette dernière question, on peut aussi trouver le neuvième point par une construction linéaire, quoique avec plus de difficultés (*).

162. Nous allons terminer cette Section par quelques remarques sur les systèmes de cubiques qui ont plusieurs

(^) Cambridge and Dublin mathematical Journal, t. VI, p. t8i.

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points communs. Si l'on nous donne huit points d'une cubique ou huit relations linéaires entre les coefficients de l'équation générale, nous pouvons éliminer tous les coefficients sauf un, de manière à mettre l'équation sous la forme U + A^ V = o. De même, si l'on nous donne sept points ou sept relations linéaires, la forme générale de l'équation pourra se ramener à U H- /f V + /W =: o, U, V, W étant trois cubiques qui satisfont aux sept conditions données, et les deux constantes A", Ij qui restent à notre disposition, nous permettent de vérifier deux autres conditions. De même aussi, si l'on ne nous donne que six points, la forme générale de l'équation sera U + A"V + /W + mS = o. Nous pouvons prendre pour U, V, . . . des systèmes de trois droites passant chacune par deux des points donnés. Par exemple, si les six points sont a, Z?, c, d^ e, / et si ab = o représente l'équation de la droite qui joint a et 6, une des formes de l'équation cherchée sera

ab.cd.ef-h k.acbe.df -\- l.ad.bf.ce -f- m.ae , bd.cf^^:^ o.

Gomme cette équation renferme trois indéterminées, toute autre cubique qui passera par les six points (par exemple, af.bc.de) devra pouvoir s'exprimer sous la forme précédente, et l'équation ci-dessus ne gagaerait rien en généralité si nous yajoutions un terme tel que 7i.af.bc,de, puisqu'il doit lui-même être égal à la somme des quatre termes qui précèdent, multipliés chacun par un facteur.

Dans les Sections coniques, n° 259, nous avons déduit la propriété anharmonique des points d'une conique de l'équation ab.cd = k.ac.bd] nous pouvons de même nous servir de l'équation que nous venons d'écrire pour en déduire la propriété suivante, qui est l'extension aux courbes du troisième degré du théorème anharmonique : Si l'on joint six points d\ine cubique à un septième point de la courbe et si Von coupe ce faisceau par une transversale aux points

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202 CHAPITUK V.

a^ b^ c, d, e^ /, on a la relation

ab.cd.ef^ k .ac .he ,df -\- l.cuLbf .ce — mac.bd.ef^=z o,

dans laquelle k, /, m sont des constantes dont la valeur est la même pour chaque courbe particulière passant par les six points. Le lecteur peut facilement concevoir le nombre de théorèmes particuliers qu'on peut déduire de celui-ci (comme dans les Sections coniques^ n^ 326) en examinant les cas où quelques-uns des points sont à une distance infinie.

163. Nous avons vu (n*^ 41) que donner un point double équivaut à trois conditions. Si donc nous avons un point double et cinq autres points, une condition de plus déterminera la courbe; elle pourra en conséquence être représentée par une équation de la forme S — /cS'=: o, S et S' étant deux courbes particulières du système. Nous pouvons l'écrire sous la forme

{oabcd)oe — k{oabce)od-=i o.

Dans cette équation, (oabcd) représente la conique menée par le point double et les quatre points a, 6, c, d.

De la même manière, nous pouvons écrire l'équation de la cubique qui passe par le point double et quatreautres points sous la forme

oa.ob.cd -\- k.ob .oc.ad -^ l.oc.oa. bd =. o,

et, comme dans le numéro précédent, la même relation a lieu entre les segments déterminés sur une transversale quelconque par les droites qui joignent ces points à un point quelconque de la courbe.

164. Nous avons donné (^Sections coniques^ n° 259) une méthode à l'aide de laquelle on exprime le rapport anharmonique d'un faisceau en fonction des perpendiculaires

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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 2o3

abaissées de son sommet sur les côtés d'un quadrilatère quelconque dont les sommets sont situés chacun sur un rayon du faisceau; nous pouvons trouver par le même moyen le lieu du sommet commun à deux faisceaux, dont le rapport anharmonique est le même et dont les rayons passent par des points fixes parmi lesquels deux sont communs aux deux faisceaux. En effet, si ab ■=^ q représente l'équation de la droite qui joint les points a et 6, nous obtenons une équation de la forme

ao . hp co . dp

ab.po ccl.op

ou

ao.bp .cdrzii ab.ab .co .dp.

Si o el p sont les points circulaires à l'infini, cette relation nous donne (Sections coniques^ n^ 358) le lieu du sommet commun à deux triangles dont les bases sont données, et dont les angles aux sommets sont égaux; nous voyons que c'est une courbe du troisième degré qui passe par ces points circulaires.

Si l'on nous donnait la différence des angles aux sommets, cette condition (Sections coniques^ n° 358) équivaudrait au rapport de deux fonctions anharmoniques et nous conduirait à une équation de la forme

ao .bp j co. dp

ap . bo cp . do

Cette équation représente une courbe du quatrième degré, qui a pourpoints doubles les deux points circulaires à l'infini.

Section ÎI. — Pôles et polaires.

165. Nous allons maintenant récapituler et appliquer aux cubiques les théorèmes relatifs aux pôles et aux polaires que nous avons établis précédemment. Tout point O {oc' j y ^ z^) a,

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20/î CHAPITRE V.

I ar rapport à une cubique, une droite polaire et une conique polaire dont les équations sont respectivement

dU^ d\y dV^ __ , dl^ ^,dJ] , dJJ

dx' "^ dy' dz' ' dx '^ dy dz

L'équation de la conique polaire peut aussi être ordonnée suivant les puissances de x^ jk, z et devient alors

a' X- -1- h' y'^ ^ c' z^ -^ "^f y^ -^ 2 g' zx -\- i h' xy ■=: o ;

«^5 U ^ c^ . . . représentent ici les dérivées dans lesquelles on a introduit les variables accentuées.

La Qonique polaire est le lieu des pôles de toutes les droites qu'on peut mener par O; par rapport à une cubique non singulière, chaque droite a ainsi quatre pôles qui sont les intersections des coniques polaires de deux points quelconques de ses points. La conique polaire passe par les points de contact des six tangentes qu'on peut en général mener par le point O. Dans le cas d'une cubique nodale, la conique polaire passe par le point double et rencontre seulement la courbe en quatre autres points ; chaque droite n'a que trois pôles, puisque les deux coniques polaires ( qui passent chacune par le point double) ne se coupent qu'en trois autres points. Dans le cas d'une cubique cuspidale, la conique polaire passe par le point de rebroussement, est tangente à la tangente cuspidale et rencontre seulement la courbe en trois autres points; toute droite n'a que deux pôles. Si la cubique se décompose en une conique et une droite, la conique polaire d'un point O passe par leurs points d'intersection et une ligne droite n'a que deux pôles. Laconique polaire passe aussi par l'intersection de la conique et de la polaire de O par rapport à cette dernière. En effet, on voit facilement qu'en effectuant sur LS l'opération

A ou x' —, \- y^ ~r- -\- z' -T- -> ^^ résultat sera L'S +LAS. Si

dx "^ dy dz

la cubique se réduit à trois lignes droites xyz = o, chaque co-

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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. So5

nique polaire passe par les sommetsdu triangle qu'elles forment et une droite quelconque n'a plus qu'un pôle. Dans ce cas, les équations de la droite polaire et de la conique polaire sont respectivement

ou

-yz

zx'y-=^o^ œ' yz -^ y' zx -\- z' xymo^

-, rmO,

L'équation que nous venons de former nous fournit immédiatement une construction géométrique de la droite polaire; on sait en effet {Sections coniques, n° 60) que, si le point [x' , y, z') est représenté par le point O sur la figure ci-contre, la droite LMN {fig- 27) sera précisément celle dont on vient d'écrire l'équation,

Fig. 27.

La tangente à la conique polaire en un sommet xy est

(Sections coniques, n° 12) —

o ; on la construit en

joignant le sommet xy au point où la droite polaire rencontre le côté opposé z.

166, Si une droite issue d'un point O rencontre la cubique aux points A, B, G, le point P où elle coupe la droite polaire est déterminé, puisque (n° 132) nous avons

3 i i j OP ~ OA "^ OB "^ OG'

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Si une seconde droite menée par O rencontre la cubique aux points A^, B^, G j le point P^ où la polaire coupe cette droite est aussi déterminé ; il en est, par conséquent, de même pour la polaire elle-même, qui doit être la même pour toutes les cubiques passant par les points A, B, C, A', B^, C^ Nous pourrons donc construire de cette manière et au moyen de la règle seulement la droite polaire de O par rapport à la cubique; nous n'aurons qu'à mener deux rayons par le point O et à construire d'après le n^ 165 la polaire de O par rapport au triangle formé par AA', BB^, CG^

Les relations métriques, indiquées au n° 134, montrent aussi que, si les points A, B, G sont donnés, les deux points où la droite OA rencontre la conique polaire sont aussi donnés. Nous voyons ainsi, comme ci-dessus, que si, par l'origine, nous menons trois rayons rencontrant la courbe en A, B, G, A^, B^, G^ A^ B^^, G'^ la conique polaire de O est la même par rapport à toutes les cubiques passant par ces neuf points. On peut regarder les points A, A', A'' comme les points où une transversale quelconque rencontre la courbe, et le problème qui consiste à déterminer la conique polaire de O par rapport à une cubique peut se ramener à la construction de cette même courbe par rapport au système composé de la droite A A^ A^^ et de la conique qui passe par les six autres points qui restent.

Nous allons maintenant étudier plus en détail les cas (i°) où O est un point de la courbe; (2°) 01 il est situé sur la Ilessienne.

i 67 . Si par deux points consécutifs O , O' de la co urbe nous menonsdeux systèmes de tangentes OA, OB, OG, OD ; O^A, O^B, O^G,0'D, une tangente quelconque OA coupera la tangente consécutive O^Aensonpoint de contact. Mais les quatre points de contact A, B, G,D sont situés sur la conique polaire de 0, qui est elle-même tangente à la cubique au point O (n*^ 64);

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donc lessixpoints OO'ABCD sontsurla même conique et par conséquent le rapport anharmonique du faisceau (O.ABCD) est le même que celui du faisceau (O^ABCD). Puisque ce rapport ne change pas quand nous passons d'un point de la courbe au point consécutif, nous voyons ainsi que les quatre tangentes qu^on peut mener d^un point quelconque de la courbe forment un faisceau dont le rapport anharmonique est constant.

Nous donnerons plus tard une démonstration algélDrique de ce théorème en montrant que le rapport anharmonique de quatre droites représentées par une équation biquadra tique homogène en x et jk peut s'exprimer en fonction du rapport des invariants S^ et T^ de la biquadratique et que^ si les quatre droites sont des tangentes à la cubique menée par un point de cette courbe, cet invariant absolu du faisceau peut s'exprimer en fonction d'un invariant absolu de la cubique, de manière à rester le même quelle que soit la position du point. Cet invariant est une caractéristique numérique de la cubique qui ne change pas quand on projette la courbe ou qu'on lui fait subir une autre transformation linéaire quelconque. Nous avons montré [Algèbre supérieure^ n^ 213) que la valeur de cet invariant d'une équation biquadratique nous permet de distinguer les équations qui ont deux racines réelles et deux racines imaginaires de celles dont les racines sont toutes réelles ou toutes imaginaires. En conséquence, si, parmi les quatre tangentes qu'on peut mener d'un point d'une cubique, deux sont réelles et deux sont imaginaires, il en sera de même pour tout autre point de la courbe; et de mêmC; si les tangentes issues d'un point quelconque sont toutes réelles ou toutes imaginaires, les tangentes menées de tous les points de cette courbe seront toutes réelles ou toutes imaginaires. Cette propriété sert de base à une division fondamentale des cubiques non singulières en deux classes, celles auxquelles on peut par chaque point mener

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deux tangentes réelles et dsux seulement, et celles pour lesquelles les tangentes peuvent être ou bien toutes réelles ou toutes imaginaires. Nous reprendrons cette remarque, «n lui donnant plus de développement, dans la Sectitm où il sera question de la classification des cubiques, et nous y verrons que, dans le second cas, la cubique se compose de €leux portions distinctes : pour l'une, les tangentes en cbaque point seront toutes réelles; pour Fautre, elles seront toutes imaginaires.

168. Il résulte du n° 167 que, si O, P sont deux points de la courbe, on peut par ces points mener une conique qui passe parles quatre points ou chacune des tangentes issues du premier point rencontre la tangente correspondante issue du second. Le rapport anharmonique de quatre points a, b^c^d se change pas quand on les écrit dans l'ordre badc^ ou cdab^ ou dcba; donc, en prenant les rayons du second faisceau successivement dans chacun de ces quatre ordres, nous voyons que les seize points d'intersection du premier système de tangentes avec le second sont situés sur quatre coniques qui passent chacune par O, P.

Supposons que la cubique soit circulaire, c'est-à-dire qu'elle contienne les points imaginaires I et J à l'infini ; en les prenant pour les points O, P; nous voyons que les seize foyers d'une cubique circulaire sont situés sur quatre cercles, et que chacun de ces cercles contient quatre foyers (^).

169. Si 0 est un point de la courbe, toute corde menée par ce point est divisée harmoniquement par la courbe et la conique polaire de O.

Nous avons vu (n"" 78) que les points d'intersection de la

(^) Ce théorème a été obtenu pour la première fois par le D^ Hart, mais d'une mani Jre différente. Il m'a été ensuite suggéré par le théorème du n° 167.

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COLlîBES DU TUOISIÈME ORDRE. 209

courbe et delà droite qui réunit deux points sont dé'.arminés par l'équation

X3 ijf ^ 12 jj,^/ ^ X;j.^ A -h [A^ U — o.

Si (^^/V^O ^^^ ^^^ ^^ courbe, U^ = o et Péquation précédente devient divisible par [i.; si, de plus, les points (^,jk,^), [x\y ^ z') sont liés par la relation A = o, l'équation du second degré qui reste est de' la forme X- A^ + ja^ U == o, ses racines étant égales et de signe contraire, et nous YOjons (Sections coniques^ n° 91) que la droite qui joint les deux points est divisée harmoniquement par la courbe. Nous pouvons aussi démontrer ce même théorème en prenant le point O pour origine et cherchant le lieu des moyennes harmoniques de tous les rayons vecteurs issus de O. Nous procéderons exactement comme dans le n° 132, en faisant d'abord A = o, et nous trouverons immédiatement

c'est l'équation de la conique polaire de l'origine.

On démontre (comme dans le n^ 136) que la tangente à la conique polaire au point où une corde quelconque la rencontre passe par l'intersection des tangentes à la cubique aux points où cette courbe est coupée par la même corde et qu'elle est la conjuguée harmonique de la droite qui joint leur point d'intersection au point O.

170. Examinons maintenant d'une manière plus particulière le cas où O est un point d^ inflexion. Nous avons démontré (n"" 74) que la conique polaire d'un point d'inflexion se décompose en deux droites dont l'une est la tangente en ce point. Cette même propriété se déduirait aisément de l'équation qu'on vient de donner pour la conique polaire de l'origine. En effet, pour que l'origine soit un point d'inflexion qui ait l'axe des y pour tangente, nous devons avoir S. — Courbes planes. i4

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(voir n° 46) A = o,B= o, D = o et l'équation de la conique polaire (n"" 169) se réduit à

2 C/ H- E xy -h Fj)^^ r= o.

Le facteur y est évidemment étranger au problème du lieu des moyennes harmoniques; nous voyons ainsi que, si Von mène des rayons vecteurs par un point d'inflexion, le lieu des moyennes harmoniques sera une droite ('.). Et réciproquement, si le lieu des moyennes harmoniques est une droite , le point O est un point d'' inflexion. En effet (n^ 74), Je seul autre cas où la conique polaire puisse se décomposer en deux droites se présente quand O est un point double, et ce cas ne s'applique pas au problème actuel, puisqu'une droite menée par un point double ne peut rencontrer la courbe qu'en un seul autre point.

Nous appellerons la droite que nous venons de trouver la polaire harmonique du point O, pour la distinguer de la droite polaire ordinaire qui est la tangente en O.

171. l^e point O possède, par rapport à la polaire harmonique, des propriétés exactement analogues à celles des pôles et polaires dans les sections coniques. Ainsi, si l'on mène deux droites par le point O, et si l'on joint leurs extrémités directement et transversalement, les droites ainsi tracées doivent se couper sur la polaire harmonique. C'est là une conséquence immédiate des propriétés harmoniques d'un quadrilatère.

Nous déduisons encore, comme cas particulier de la pro- [mété précédente, que les tangentes aux extrémités d'un layon vecteur mené par O doivent se rencontrer sur la polaire harmonique.

(i) Ce théorème est dû à Mac Laurin : De linearum geometricarurn pioprietatibus generalibus, Sect. III, prop. 9.

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La polaire harmonique doit passer par les points de contact des tangentes qu'on peut mener à la courbe par O ; en effet, OR'RR^' est divisé harmoniquemLent; si doncR coïncide avec R'^, il doit coïncider avec R. Donc, par un point d'inflexion, on ne peut mener que trois tangentes, et leurs points de contact sont situés sur une ligne droite.

Si la courbe a un point double, on démontre exactement de la même manière qu'il doit se trouver sur la polaire harmonique.

Le premier théorème de ce numéro peut être énoncé sous une autre forme ainsi qu'il suit ; Si trois points A', B', G^ sont situés sur une droite et si les droites qui les joignent à O rencontrent de nouveau la courbe en A'^, B'^, G^^, ces points seront aussi sur une même droite et ces deux droites rencontreront la polaire harmonique au même point. Si nous supposons maintenant que A^, B^, G' coïncident, nous retombons sur ce théorème que la droite qui joint deux points d'inflexion doit passer par le troisième et que les tangentes à deux quelconques d'entre eux se rencontrent sur la polaire harmonique du troisième.

172. aSV, /?ar un point d'inflexion O on mène trois droites rencontrant la courbe en A|, A2*, B^, Bo ; Gi, G2, toute courbe du troisième degré menée par les sept points O, A,, A2, B,, B2,Go ^2 ciura le point 0 pour point d''inflexion. En effet, supposons que les trois droites rencontrent la polaire harmonique aux points A, B, G; ces points seront aussi communs au lieu des moyennes harmoniques du point O par rapport à toutes les courbes qui passeront par ces sept points; donc ce lieu, qui en général serait une conique, doit, puisque trois de ses points sont sur une même droite, être cette même droite pour toutes les courbes dont il s'agit; et par conséquent (n^ 170) le point O doit être un point d'inflexion.

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173. Nous avons vu (n° 74) que les points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont les intersections de la courbe U avec la courbe H, qui est aussi une courbe du troisième degré. Toute courbe du troisième degré a donc en général neuf points dHnflexion; cependant trois seulement de ces points sont réels (n° 12o, Ex, 3). Nous avons aussi démontré que la droite qui joint deux points d'inflexion doit également passer par le troisième ; il en résulte que par chaque point d'inflexion on peut mener quatre droites qui contiendront les huit autres points. Il en découle aussi, c^otnme cas particulier du numéro précédent, que toute courbe du troisième degré, menée par les neuf points d^ inflexion^ aura aussi ces points pour points dHnflexion (^).

174. Parmi les droites qui contiennent chacune trois points d'inflexion, il en passe quatre par chaque point d'inflexion; il doit donc exister en tout|(4X9)= 12 de ces droites (^).

Si nous essayons déformer un tableau de ces droites, nous trouverons qu'il ne pourra difl'érer que par la notation du tableau suivant :

Clebsch a remarqué que, si l'on écrit les neuf éléments sous la forme ci-dessous,

(1) Ce théorème est dii à M. liesse, qui a aussi démontré que si U est une cubique, H son Hessien etaU + ôH = o l'équation d'une cubique quelconque passant par leurs intersections, l'équation du Hessien de cette dernière courbe a aussi la même forme. La méthode de démonstration adoptée ici est due au D** Hart.

(*) Il est facile de voir que nous pouvons avoir neuf points réels situés trois à trois sur dix droites, mais que le nombre de ces droites ne peut être plus grand : par suite, les neuf points d'inflexion ne peuvent être tous réels, ce qui s'accorde avec la remarque du n° 173.

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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 2l3

les systèmes qui constituent les deux lignes qu'on vient d'écrire se composent des lignes, des colonnes et des éléments positifs du déterminant des éléments.

Il résulte de là que toute cubique passant par sept des points d'inflexion aura l'un d'eux pour point d'inflexion; en effet, prenons sept quelconques de ces points (les sept premiers par exemple) et nous verrons, d'après le tableau précédent, qu'ils sont situés sur trois droites (Mj? ^^7? ^^7) q^" ^^ coupent en un point commun sur la courbe, et c[ue par conséquent, d'après le n"" 172, le point commun (7) est un point d'inflexion de toutes ces courbes.

D'après la manière même suivant laquelle on a écrit ces lignes, il est évident qu'on peut les diviser en quatre systèmes de trois droites, chaque système passant par tous les neuf points; ou bien que, si nous formons l'équation U+lH = o, il y a quatre valeurs de \ pour lesquelles l'équation se réduit à un système de trois droites. Pour la démonstration directe de cette proposition, voir la dernière Section de ce Chapitre.

175. Considérons maintenant le cas (s'^) où {x\ y^ z') est sur la Ilessienne el où par conséquent sa conique polaire se décompose en deux droites. Nous avons démontré d'une manière générale (n° 70) que si la première polaire d'un poinl quelconque A a un point double B, la conique polaire de B a un point double A. Mais, dans le cas des cubiques, la première polaire est la conique polaire, et ce théorème devient : Si la conique polaire de A se décompose en deux droites cjuise coupent en B, la conique polaire de B se décompose aussi en deux droites qui se coupent en A. En effet, si la conique polaire de(.r^,j^'', ^') se décompose en deux droites, les coordonnées de leur intersection (^, y^ z) satisferont aux trois équations obtenues en différentiant l'équation de la conique polaire. Mais (n° 165) cette dernière équation peut

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2l4 CHAPITRE Y.

s'écrire sons Fune ou l'autre des deux formes équivalentes

on

a'œ^- 4- lyy- -\~ c'z^ -H 2/^/^ -h 2 g'zx + 2 h'xy = 0,

^t les dérivées peuvent, par conséquent^ être écrites sons l'une ou l'autre des formes équivalentes

ax'-\-hy-^.gz'—-Oy hx'-\-by-^fz'z=io, gz'-^fy'-^cz'^=io, a'x-}-h'f-^g'z=:o, h'x-\-b'y'-\-J'z^=io, g'z-\-ff-^c'z-zo.

Nous voyons par là que ces équations sont symétriques en (;r, y, z) Ql [x' ^ y' ^ z') et que, par conséquent, la relation qui existe entre ces points est réciproque. A et B sont évidemment tous deux des points de la Hessienne; on dit que ce sont des points correspondants sur cette courbe; nous allons montrer actuellement qu'ils le sont aussi dans le sens indiqué au n^ 151, c'est-à-dire que les tangentes menées à la Hessienne aux points A et B respectivement se coupent suivant un point de la Hessienne (^). Dans le cas d'une cubique, la courbe appelée la Steinerienne (n° 70) est identique avec la Hessienne,

176. L'équation de la conique polaire d'un point quelconque (^, V], Ç) étant ÇU^ H- ri U2 + Î^Us = o, le système entier des coniques polaires forme un système de coniques semblable à celui que nous avons discuté {Sections coniques ^ n^ 388) et dont l'équation renferme deux indéterminées au premier degré. L'équation de la polaire d'un point A par rapport à une conique quelconque du système est

l{ax' -\- hf -\-gz^) -\-'c^{hx' -\- hy^+fz')-^'C,{gx' -^fy'-^cz') — o\

(') On montrera plus tard qu'il y a trois cubiques ayant le même Hessien : la correspondance des points A, B delà Hessienne est de l'un ou l'autre des trois genres de correspondance, suivant que la cubique est, l'une ou l'autre des trois cubiques.

elle est vérifiée par les coordonnées du point B; nous voyons par là que la polaire de l'un quelconque des points A, B passe par l'autre point et que, par conséquent, la Hessienne de la cubique est la Jacobienne {Sections coniqueSy n^388) du système des coniques polaires. Puisque A et B sont conjugués par rapport à une conique quelconque du système, la droite qui les joint est divisée harmoniquement par chacune de ces coniques et les points où les coniques coupent cette droite constituent un système en involution dont A et B sont les foyers. Les deux points où l'une quelconque de ces coniques rencontre la droite AB ne peuvent coïncider qu'en l'un ou l'autre des points A et B ; et, en conséquence, si l'une des coniques se décompose en deux droites qui se coupent sur AB, le point d'intersection doit être A ou B, à moins que AB ne soit elle-même l'une des droites. Mais comme la Hessienne d'une cubique est elle-même une cubique, AB la rencontre en trois points^ c'est-à-dire en un troisième point C, en outre de A et B. Tout point de la Hessienne est, comme nous l'avons vu, l'intersection de deux droites suivant lesquelles se décompose une certaine conique polaire du système, et il résulte de ce qu'on vient de démontrer que l'une des deux droites qui se coupent en G doit être AB. Ainsi, du système de points dont le lieu est la Hessienne, nous pouvons donc déduire un système de droites, en prenant les couples de droites qui sont les coniques polaires de chaque point de la Hessienne. Chaque droite du système rencontre la Hessienne en trois points ; deux d'entre eux A, B sont des points correspondants delà Hessienne, et le troisième (^, que nous pouvons appeler le point complémentaire , est celui où la droite en question rencontre la droite conjuguée.

177. La courbe qui est l'enveloppe du système de droites dont on vient de parler a été étudiée par M. Gayley : c'est pour cette raison que M. Cremona l'a appelée la Cayleyenne

2l6 CHAPITRE V.

de la cubique (*). Elle est de la troisième classe, comme nous le voyons, en cherchant combien il peut passer de ces droites par un point arbitraire P. Tout point M, dont la conique polaire passe par P, doit se trouver sur la droite polaire de P(n*^ 61) et, pour que la conique polaire se décompose en deux droites, M doit être situé sur la Hessienne. H y a évidemment alors trois points M, tels que leur conique polaire se réduise à un couple de droites dont l'une passe par P. Il n'existe pas de tangente double ou stationnaire, et la courbe est par conséquent du sixième ordre.

Toute droite du système joint des points correspondants sur la Hessienne (n^ 176)^ donc la Cayleyenne peut à volonté être considérée comme l'enveloppe des droites en lesquelles se décomposent les coniques polaires des points de la Hessienne ou comme l'enveloppe des droites qui joignent les points correspondants de la Hessienne. Cependant, dans le cas de courbes de degré plus élevé, l'enveloppe des droites qui joignent les points correspondants A, B (n^ 70) est distincte de l'enveloppe des droites suivant lesquelles se décomposent les coniques polaires.

La Cayleyenne peut aussi être considérée (n° 176) comme l'enveloppe des droites qui sont coupées involutivement par le système des coniques polaires. Nous avons montré {Sections coniques^ n^ 388 a) comment on peut écrire immédiatement l'équation de l'enveloppe envisagée à ce point de vue, et nous avons établi que l'équation de la courbe est de la troisième classe.

178. Examinons maintenant quels sontles quatre pôles par rapport à la cubique de la tangente à la Hessienne en un point quelconque A. Les quatre pôles en question sont les

(M Elle était représentée, par M. Gayley lui-même, par la lettre P et appelée par lui la plppienne.

intersections de la conique polaire de A avec la conique polaire du point consécutif A' de la Hessienne. La conique polaire de A se compose du couple de droites BL, BN {voir la figure du n^ 180) et la conique polaire de A^ est le couple de droites consécutives à celles-ci. Mais BL coupe la droite consécutive à BN au point B; BN rencontre la droite consécutive à BL au même point et BL et BN coupent les droites qui leur sont respectivement consécutives en leurs points de contact avec leur enveloppe. Les quatre pôles en question sont donc le point B compté deux fois et les points de contact avec la Cayleyenrie des droites BL, BN. Ainsi, en particulier, la droite polaire par rapport à la cubique d\ui point quelconque de la hessienne est la tangente à la, hessienne au point correspondant. De ce qu'on vient de dire, on peut conclure directement que la Cayleyenne est du sixième ordre, ainsi que nous l'avons annoncé précédemment. En effet, l'équation du lieu des pôles, par rapport à la cubique, des tangentes à la Hessienne s'obtient en formant la condition pour que x\] ^ -\-y^i + -s U3 soit tangente à cette Hessienne. Cette condition renferme les quantités Ui,U2,U;{ au sixième degré, et le lieu est par conséquent du douzième ordre. Mais nous avons démontré que la Hessienne doit figurer comme facteur double dans cette équation; le facteur restant, qui est la Cayle^'^enne, est donc du sixième ordre.

179. Le lieu des points dont les droites polaires, par rapport à une courbe U, sont tangentes à une autre courbe V, rencontre évidemment U en ses points de contact avec les tangentes communes à U et V. En effet, la polaire d'un point de Uest la tangente àU en ce point et, si c'est aussi un point du lieu, la polaire doit, par hypothèse, être tangente à V. Nous venons de reconnaître que, si U est une cubique et V sa Hessienne, le lieu se compose de la Cayleyenne et de la Hessienne comptées deux fois. La cubique et la Hessienne, étant

2l8 CHAPITRE V.

chacune de la sixième classe, ont trente-six tangentes communes. Et nous voyons que ces tangentes communes se composent des tangentes à U aux dix-huit points où elle est rencontrée parla Cayleyenne et des tangentes à V aux points où elle est rencontrée par la Hessienne( c'est-à-dire des neuf tangentes stationnaires); ces dernières tangentes doivent être comptées deux fois, et, par le fait, nous avons fait remarquer (n^ 46) que toute tangente stationnaire peut être considérée comme une tangente double, puisqu'elle passe par trois points consécutifs et joint le premier au second, puis le second au troisième de ces points Q).

La conique polaire d'un point d'inflexion A se compose (n^ 170) de la tangente d'inflexion elle-même et de la polaire harmonique de A ; et le point B, qui correspond à A, est, par conséquent, le point où la tangente d'inflexion rencontre la polaire harmonique. La tangente à la Hessienne en B est la polaire de A par rapport à la cubique, c'est-à-dire la tangente d'inflexion elle-même. Donc les neuf points où les tangentes stationnaires sont tangentes à la Hessienne sont les points où chaque tangente stationnaire rencontre la polaire harmonique correspondante.

On peut conclure de ce qu'on vient de démontrer (nous le démontrerons aussi d'une autre manière un peu plus tard) que le problème qui consiste à trouver une cubique dont une cubique donnée soit la Hessienne admet trois solutions. En efî'et, les points d'inflexion étant communs aux deux courbes (n° 173), nous avons neuf points (équivalents à huit conditions) par lesquels la cubique cherchée doit passer; si nous

(*) Nous avons donné (n" 47) les raisons qui conduisent à traiter Je rebroussement et le nœud, la tangente double et stationnaire comme des singularités distinctes; mais, lorsque Ton compte les points d'intersection de deux courbes, un rebroussement ou un nœud sur une d'elles compte pour deux points et une tangente double ou stationnaire à l'une d'elles^ compte pour deux parmi leurs tangentes communes.

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connaissions la tangente en l'un de ces points A, la cubique serait complètement déterminée. Or la proposition que nous venons d'établir montre que cette tangente peut être l'une quelconque des trois tangentes (n^ 171) qu'on peut mener de A à la courbe.

'180. Les tangentes à la Hessienne aux points correspondants K.^^ se coupent sur cette même courbe, — Supposons que la conique polaire de A soit BL, BN et que celle

Fig. 28.

de B soit APx, AN; L, M, N, Pv sont alors les quatre pôles de la droite AB et la conique polaire de tout point de .AB passera par ces quatre points. Si donc cette conique polaire se décompose en deux droites, celles-ci ne peuvent être que LR et MN; nous voyons que D est un point situé sur la Hessienne et qu'il correspond au point G où AB rencontre de nouveau cette dernière courbe. Mais la tangente en B à la Hessienne est la polaire de A par rapport à la cubique, et elle doit aussi (n^60) être sa polaire par rapport à la conique polaire de A(BL,BN); donc, d'après les propriétés harmoniques du quadrilatère, cette tangente est la droite BD :

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on démontre de la même manière que la tangente en A est la droite AD.

Quand on connaît la Hessienne et un point A situé sur cette courbe, le problème, qui consiste à trouver le point correspondant B, admet trois solutions (i;oir n^ 151). En effet, si nous menons la tangente en A, qui rencontre de nouveau la courbe en D, B peut être le point de contact de l'une quelconque des trois tangentes qu'on peut mener de D à la courbe, en outre de AD. Ces trois solutions correspondent aux trois cubiques différentes, dont la courbe donnée peut être la Hessienne.

181. Les points de contact avec la Cayleyenne des quatre droites BL, BN, AR, AN sont situés sur une même, droite. Les pôles de AD, par rapport à la cubique, sont les intersections des coniques polaires de A et D; la première est le couple de droites BL, BN; l'autre conique polaire se compose de la droite AB et d'une droite conjuguée qui passe par C. Les quatre pôles sont donc le point B compté deux fois et les deux points où Ga rencontre BL, BN. Mais, comme AD est une tangente à la Hessienne, il résulte du n° 178 que les deux derniers pôles sont les points de contact des droites BL, BN avec leurs enveloppes. On reconnaît de la même manière que les points de contact de AR, AN avec leur enveloppe sont situés sur la même ligne droite. Cette droite est elle-même une tangente à la Cayleyenne, par conséquent les six points où elle rencontre la Cayleyenne sont tous comptés. En d'autres termes, une tangente quelconque à la Cayleyenne est l'une des deux droites en lesquelles se décompose une conique polaire; l'autre droite joint deux points correspondants de la Hessienne ; les quatre droites qui constituent les coniques polaires de ces deux points passent respectivement par les quatre points où la tangente donnée coupe de nouveau la Cayleyenne.

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GOUUBES DU TROISIÈME OUDRE. 221

De même, pour trouver le point de contact d'une tangente donnée quelconque avec la Gaylejenne, la règle à laquelle nous sommes arrivés consiste à prendre ce que nous avons appelé le point complémentaire sur la tangente donnée et à le joindre au point correspondant sur la Hessienne; la droite conjuguée de cette droite rencontre la tangente donnée au point cherché. Mais nous pouvons déduire de là une règle encore plus simple : en effet, les deux droites dont on vient de parier constituent une conique polaire et toute conique polaire divise harmoniquement la droite qui joint deux points correspondants ^ la règle revient donc à prendre les trois points où la tangente rencontre la Hessienne et qui se composent de deux points correspondants et d'un point complémentaire, et à déterminer le conjugué harmonique du point complémentaire par rapport aux deux points correspondants.

182. Appliquons les règles précédentes au cas où A est un point d'inflexion et où le point correspondant B est le point suivant lequel la tangente d'inflexion rencontre la polaire harmonique. La conique polaire de Best alors un couple de droites passant par A et la conique polaire de A se compose de la tangente d'inflexion et de la polaire harmonique. Pour trouver les points où ces quatre droites sont tangentes à la Cayleyenne, nous prenons le point où la droite AB rencontre de nouveau la Hessienne: c'est le point B, puisque AB est tangente à la Hessienne; et la droite menée par B et conjuguée à AB, sur laquelle se trouvent les quatre points de contact, est la pohnre harmonique. Ainsi le point de contact de la tangente d'inflexion avec la Cayleyenne est donc le point où cette droite rencontre la polaire harmonique; autrement dit ( n"" 179) la Cayleyenne et la Hessienne sont tangentes entre elles et ont pour tangentes communes les neuf tangentes d'inflexion. La Cayleyenne, en sa qualité de courbe non singulière de la troisième classe, a neuf rebroussements, et la con-

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struction qu'on vient de donner fait voir que les polaires harmoniques sont les neuf tangentes cuspidales.

183. Nous avons montré que la tangente à la Hessienne en un point quelconque A rencontre de nouveau cette courbe au point D, où elle coupe la polaire de A par rapport à la cubique. Il s'ensuit que la tangente à une cubique, en un point quelconque A, coupe de nouveau la cubique au point où elle rencontre la polaire de A, par rapport à une cubique ayant pour Hessienne la cubique donnée. Mais une cubique de cette sorte passe par les points d'inflexion de la cubique donnée et sonécjuation sera de la forme aU-f-6H =o; l'équation de la polaire d'un point quelconque, par rapport à cette courbe, sera alors

dU' dXJ' dU^\ ■ f dR' dW dW

Il en résulte donc que le point où une tangente quelconque coupe de nouveau la cubique s'obtiendra en combinant les équations

d\]' d\]' dU' dlV dlV dlV

^d^-^ydf~^'-d7^-''^''d^'^^dy'^"'d^^'''

En d'autres termes, le tangentiel d'un point {x^ , y\ z') d'une cubique est l'intersection de la tangente à la cubique en ce point et de la polaire de ce même point par rapport à la Hessienne; nous pouvons immédiatement déduire de là les expressions des coordonnées [xyy,z) du tangentiel en fonction de x' , y, z' ; elles sont proportionnelles à

U,Il3-U3ll2, U3H,-U,H3, UiH^-U^lI,;

ce sont des fonctions du quatrième degré en x',y, z' .

184. Les droites polaires des points d'une droite donnée a x 4- [3 j-f- y^= o enveloppent une conique que nous

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appellerons la conique polaire de la droite donnée. L'équation de la polaire d'an point quelconque [x' , y' , z') peut s'écrire

ax'^-\- by''^-{- cz^^ -H ify'z'-^ igz' x' -\- ihx' y' r=. o,

et le problème qui consiste à trouver l'enveloppe de cette droite vérifiant la condition olx' -\- Pj^'+ y^'= o est le même (n^ 96) que celui où il s'agit de former la condition pour qu'une droite soit tangente à une conique. L'équation de l'enveloppe cherchée est donc

Aa^-l-B|B2+GY2-|-2FpYH-2GYa-h2Ha[B=:o.

A, B, G, . . . ont ici la même signification que dans les Sections coniques^ c'est-à-dire qu'ils sont respectivement égaux à bc — /-, ca — g'y, , , : ce sont donc des fonctions du second degré des coordonnées ^, y, z. Il est clair que la conique polaire d'une droite pourrait aussi être définie comme le lieu des points dont les coniques polaires sont tangentes à une droite donnée.

Si, pour trouver cette enveloppe, nous avions appliqué la méthode du n°88, nous aurions vu que la solution dépend des équations

ax'-h/iy-^gz'='ky.^ hx'-\-by'-\-fz'—'k^, gx'^fy'-\-cz'^=.\-^.

Mais ces équations sont celles qui déterminent le pôle de la droite donnée par rapport à x'\] ^ -\-y'\]<i-{'z'\]^, La conique polaire d'une droite est donc aussi le lieu des pôles de cette droite par rapport aux coniques polaires de tous les points de la droite. On aurait pu trouver ce résultat à l'aide de considérations géométriques.

185. Puisque la droite polaire d'un point quelconque d'une droite est la même que la polaire de ce même point par rapport aux trois tangentes aux points où la droite coupe

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224 CHAPITIÎE V.

la courbe, la conique polaire d'une droite par rapport à la courbe est la même que la polaire de cette droite prise par rapport à ces trois tangentes. Soit xyz = o leur équation. Trouver la conique polaire d'une droite, c'est (n^ 165) former Téquation de l'enveloppe de la droite ^jK^^'-{-jK^^x^-h^^y=o avec la condition olx^ -^ ^y -{-yz^ =^o] cette équation est (voir Sections coniques^ n"" 127)

Il en résulte que, si la droite donnée coupe la cubique aux points P, Q, R, et si les tangentes en ces points forment le

Fig. 29.

triangle ABC, la conique polaire de la droite est tangente aux côtés de ce triangle aux points D, E, F,' qui sont respectivement les conjugués harmoniques des points P, Q, R, par rapport aux couples de points BC, CA, AB.

Il est évident a prioj^i que la conique polaire est tangente aux tangentes à la cubique en P, Q, R; ces droites ne sont en effet que des positions particulières de la droite dont nous cherchions l'enveloppe.