Il résulte de la définition même que les tangentes
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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 22j
qu'on peut mener d'un point quelconque à la conique polaire d'une ligne droite sont les polaires des deux points où la conique polaire du point coupe la droite : donc la conique polaire d'un point rencontre une droite en des points réelf. ou imaginaires, suivant que le point est en dehors ou en dedans de la conique polaire de la droite; on dit qu'un poinr est en dehors d'une conique quand de ce point on peut mener à cette conique des tangentes réelles. Nous avons déjà fait remarquer que, si un point est sur la conique polaire d'une droite, sa conique polaire est tangente à la droite.
En particulier, on sait que la conique polaire d'un point double se compose da couple de tangentes à ce point double ; la conique polaire de toute droite par rapport à une cubique à point double réel sera donc tellement placée que le nœud se trouvera en dehors d'elle; si la cubique est acnodale^ le point conjugué sera en dedans delà conique en question. Si enfin la cubique est cuspidale, la conique polaire d'une droite quelconque passera par le point de rebroussement.
187. Il découle des définitions qui précèdent et du n° 135 que si la droite donnée est à l'infini, sa conique polaire peut être définie, soit comme l'enveloppe des diamètres de la cubique, soit comme le lieu des centres des coniques diamétrales de la cubique, soit enfin comme le lieu des points dont la conique polaire est une parabole. On obtient son équation en faisant a = o et [3 = 0 dans les formules du n^ 184; cette équation est C= o ou bien ab — h'^ = o, c'està-dire
'dô^ df " \dxdyj *
Le n° 185 nous fait voir que cette équation est l'équation de l'ellipse tangente aux trois côtés du triangle formé par les asymptotes et en leurs points milieux.
S, — Courbes planes. î5
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188. Si la droite donnée est tangente à la cubique, la polaire du point de contact est alors la droite elle-même; cette droite coïncide avec l'une des positions de la droite enveloppée du n^ 184 et par suite est tangente à la conique polaire. Et il n'y a pas d'autre cas où une droite puisse être tangente à sa conique polaire par rapport à une cubique non singulière. Ce principe a été utilisé en conséquence pour formerl'équation tangentielled'unecubique. Puisque A, B, . . . sont des fonctions du second degré des coordonnées, l'équation de la conique polaire Aa^ -f- ... = o peut s'écrire sous la forme
A^^^ + 1^7^4-0'^^+ 2 F' yz -^ 2 G' z.T --^ 9AV ^f ^o.
A', B' étant des fonctions du second degré en a, ^, y; la condition pour qu'elle soit tangente à la droite donnée est (B^C^ — F^^)a2 -|- ... m G. Cette relation est du sixième degré en a, [3, y ; c'est la condition cherchée pour que la droite donnée soit tangente à la cubique.
Si la droite est tangente à la Cajleyenne, on sait que, jointe à une autre droite, elle constitue la conique polaire d'un certain point; la conique polaire de tout point de la droite passe par ce point et, en conséquence, l'enveloppe du n^ 184 se réduit à un point.
189. Nous considérons maintenant deux cubiques U, V et nous allons étudier le problème suivant : Trouver un point qui ait la même polaire par rapport à chaque courbe, ou, ce qui revient au même, dont la polaire par rapport à une cubique quelconque U -H ^ V := o soit la même quel que soit }.. Pour que
et
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piaissent représenter la même droite, nous devons avoir
ou bien
La première forme sous laquelle les équations ont été écrites montre clairement que les trois équations équivalent à deux seulement, et que les courbes du quatrième degré, représentées par les équations mises sous la seconde forme, ont des points communs. Mais tous leurs points d'intersection ne leur sont pas communs; car les valeurs qui rendent égaux à zéro le numérateur et le dénominateur de l'une quelconque de ces trois fractions satisfont à deux des équations résultantes, mais ne vérifient pas la troisième. Si, des seize points communs aux quartiques représentées par les deux premières équations, nous retranchons les quatre points communs à U2? Vo, il reste douze points communs aux trois quartiques et ce sont les points cherchés (^).
190. Gomme le discriminant d'une cubique est du douzième degré par rapport aux coefficients (n° 69), il y a, en général, douze valeurs de "k pour lesquelles le discriminant ce U -f- XV sera nul. En effet si, dans l'expression générale du discriminant, nous remplaçons chaque coefficient a, . . . par a +\a\ • . . , nous avons évidemment une équation du douzième degré pour déterminer \ (Sections coniques^ n^ 2oO) ;
(') De même, en général, si Uj, Uj, Ug sont des fonctions du degré m par rapport aux coordonnées et Vj, V„ Vg des fonctions du degré n, le système d'équations
représente trois courbes de Tordre w H- n qui ont /?i*4- mn -+• n} points communs {y oir Algèbre supérieure, n° 257).
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les coordonnées du point double sur une quelconque de ces cubiques vérifient les trois équations (n^ 69)
Ui4-XYi==o, U2 + XY2=:o, U3-}-XV3 = o,
et le système des équations obtenues en éliminant X entre chaque couple de ces équations est le même que celui qu'on a considéré dans le numéro précédent; donc, par les intersections de deux cubiques U, V, on peut mener douze cubiques nodales, et la polaire d'un quelconque des douze points doubles sera la même par rapport à toutes les cubiques du système U + W = o. Ces points ont été appelés les centres critiques du système de cubiques.
191. Si l'on nous donne trois cubiques U, V, W, les coordonnées du point double d'une cubique quelconque du système W + jji V + v W = o satisfont aux équations
XU2-l-}xV, + vW,=io, XUg-F- {JLV34- vWs — o,
et, en éliminant X, p., v, nous voyons que le lieu du point double est la Jacobienne
U,(V2W3-V3W,)+U2(Y3Wi-YiW3)HrU3(YiW2-W2W,)=o.
Si les trois cubiques ont un point commun, il sera un point double de la Jacobienne; en effet, si les termes de degré le moins élevé en x et y dans U, V, W sont respectivement ax + by^ a! X + b'y, a" x 4- b"y, les termes delà Jacobienne qui sont de degré inférieur au second en ^ et jk sont, comme on le voit facilement,
et cette expression s'annule identiquement. Le lieu des poinls
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doubles de toutes les cubiques nodales qui passent par sept points fixes est donc une courbe du sixième degré, ayant ces sept points pour points doubles, puisque l'on peut considérer U, V, W comme trois cubiques quelconques passant par les sept points donnés. De la même manière, les points doubles des cubiques nodales que l'on peut mener par huit points se trouveront déterminés comme intersections des deux lieux du sixième degré, obtenus en laissant d'abord de côté un des huit points donnés, puis un autre de ces mêmes points; et, comme ces deux courbes ont six points doubles communs, le nombre des autres points d'intersection est 36 — 24 ou 12 : ceci s'accorde avec le résultat trouvé dans le numéro précédent.
192. On peut, dans certains cas, apercevoir du premier coup la position de quelques-uns des centres critiques. Considérons, par exemple, le système \œyz-i-u\^w = o^ dans lequel a^ (^, w représentent des droites : il est évident que xj'z est une cubique du système et qu'elle a œy, y.z, zx pour points doubles; on voit de même que uv, ^Wy wu sont des points doubles: il n^y a donc plus que six autres centres critiques. Nous étudierons plus particulièrement le système \xyz -|- w^^ — - q^ et nous allons montrer que ce système n'a que trois centres critiques en dehors des points xy^yz^ zx^ u^. La classification que Pllicker a donnée pour les cubiques lui a été suggérée par l'étude de cette équation dans le cas où u est la droite à rinlini et où, par conséquent, v est sa satellite et x^ y^ z les Irois asymptotes. Nous pouvons donc, pour une position ([uelconque des droites x^ y, Zy étudier les formes que prend la courbe quand nous donnons différentes valeurs au paramètre X; et l'on comprendra facilement que chaque courbe nodale dans la série correspond à un changement d'une forme de courbe à une autre forme. Ainsi nous avons vu (n** 39) qu'une cubique acnodale est la forme limite d'une
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23o CHAPITRE Y.
cubique dans laquelle un ovale constitue une portion de la courbe; et de même si, pour une valeur de la constante, une cubique a deux branches réelles qui se coupent, en donnant naissance à un nœud, l'exemple des coniques fait facilement comprendre que, pour un très petit accroissement dans la valeur de la constante, la cubique aura des parties séparées l'une de l'autre et situées dans deux des angles opposés par le sommet que forment les branches qui se coupent, tandis que, pour une petite diminution de la constante, elle aura des parties dans l'autre couple d'angles opposés par le sommet. Cet exemple montre l'importance des centres critiques quand on étudie ainsi la forme de la cubique.
193. Gomme la polaire d'un point quelconque par rapport à u^ç passe par le point (w, r), tout point qui a la même polaire par rapport à xyz doit être situé sur la conique polaire de ui^ par rapport à a:yz, et il est, par conséquent, évident a priori que cette courbe est un lieu sur lequel se trouvent les centres critiques. Pour les déterminer complèternent, supposons que nous ayons
u ■=! oc -^ y -\- z ^ V z=:ia.x -h by -{- cz]
nous obtiendrons notre résultat sous une forme plus convenable si, avant de difFérentier 'kxyz-^ w^r, nous divisons le tout par ^^-. Nous avons, en prenant successivement les dérivées par rapport à x^ y, z,
\yz{x —
zf
Izxiy-
zY
'h.TVi Z —
(^x-^rY-^-zf
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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 23l
d'où nous déduisons
ax by cz
La forme des équations montre que le problème est ramené à trouver les centres critiques de deux coniques et que les trois points cherchés sont les sommets du triangle autopolaire commun aux coniques,
a x^" -f- by'^ -H cz'^- m o, ^^ + /^ + ^^ — lyz — izx — 2 xy =r7 o.
On remarquera que la dernière de ces courbes est la conique polaire de u par rapport à xyz] autrement dit, quand u est à l'infini, cette courbe est la conique qui est tangente, en leurs points milieux, aux côtés du triangle formé par les asymptotes. Deux centres critiques coïncideront avec le point de contact quand ax- -^ by- -j-cs-= o sera tangente à cette conique; si donc on regarde ç comme variable, le lieu des centres critiques doubles est la polaire conique de u par rapport à xjz. On voit facilement, par les règles ordinaires, que la condition de contact de ces deux coniques est
{bc -h ca ~- aby =1 2y a^b^c^ ou bien a '^ -h b ^H-c ^==0;
c'est réquation tangentielle de l'enveloppe de la satellite de u quand deux centres critiques coïncident. Elle correspond {Exemple^ n° 90) à l'équation en coordonnées de
points :r^ +J'' + ^'* := o (^).
194. Un point quelconque de Xxjz ^ u-v =^ o peut être déterminé commel'intersectionde^ = 9 pavecÔ).^^ -}- U'^ =z o,
. (') Pour la discussi^ plus approfondie de cette théorie, voir les Mémoires de M. Cayley « Sur un cas dHnvolution des cubiques et Sur la classification des cubiques {Transactions of Cambridge Philosophical Society ) t. XI, i864).
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232 GIlAriTRE V.
quand u est à Finfini : cette dernière équation représente un système d'hyperboles ayant ^r, jk pour asymptotes; et, d'après la propriété connue de l'hyperbole, les cordes interceptées par ces courbes sur une droite quelconque z^=-^v ont un point milieu commun; c'est le point de contact de cette droite avec l'une des hyperboles du système. Il est clair que si z^==^^v est tangente à la cubique, ou passe par un point double situé sur cette courbe, elle doit être tangente à l'hyperbole; le centre critique dans ce dernier cas sera le point de contact. Si donc nous joignons par des droites un quelconque des centres critiques aux points à distance finie où les asymptotes rencontrent la courbe, les centres critiques seront les points milieux des cordes interceptées par la cubique sur ces droites.
Section III. — Classification des cubiques.
195. Nous allons, en premier lieu, montrer que l'équation de toute cubique peut être ramenée à la forme
^j/^rrz ax^ -}- 3 hx^- z -I- 3cjr5^ -\- dz^ .
Toute cubique réelle a au moins un point d'inflexion réel; en effet, les quantités imaginaires se présentent toujours deux par deux et le nombre total des points d'inflexion est impair, c'est-à-dire égal à neuf, trois ou un (n° 147). Si nous prenons pour axe des z la tangente au point d'inflexion et pour axe des x une autre droite quelconque passant par ce point, l'équation de la courbe (n° 51, VII) sera de la forme ^cp = a^^, y étant une fonction du second degré, par exemple
y^ -\- 1 lyz + imxy -^ px'^ -\- iqxz + r^^;
mais, si nous effectuons une transformation de coordonnées, de manière à prendre la droite j/ + Iz + mx pour le nouvel
axe des/, les termes de cp qui contiennent jk au premier degré se-ulement disparaîtront, et l'équation aura la forme indiquée au commencement de ce numéro. La signification géométrique de la transformation que nous avons opérée consiste en ce que nous prenons pour axe des z, ainsi que nous l'avons déjà dit, la tangente en un point réel d'inflexion zx et pour axe des y la polaire harmonique (n^ 170) de ce point : en effet, si nous cherchons en quei point une droite issue du point d'inflexion rencontre la courbe représentée par l'équation cidessus, en faisant la substitution z-=^\xy nous trouvons pour j/ des valeurs de la forme ziz \kX] elles nous montrent que les points où la droite coupe la courbe sont conjugués harmoniques par rapport au point où elle rencontre la droite j et le point d'inflexion.
196. On peut, dans la classification des courbes, regarder comme fondamentaleslespropriétésdistinctives qui nesontpas altérées par la projection ou, en d'autres termes, celles qui séparent non seulement les courbes, mais aussi les cônes du même ordre. Les courbes du second ordre ne donnent pas lieu à des divisions de ce genre, car il n'v a qu'une seule espèce de cône de ce degré. Pour savoir si les cubiques présentent des différences caractéristiques de cette nature, il suffit de prendre la forme à laquelle toute cubique peut se ramener, ainsi qu'on l'a démontré dans le numéro précédent, et de rechercher si, parmi les courbes qu'elle peut représenter, il existe des variétés que la projection n'altère pas et quelles sont ces variétés. Et, comme nous ne nous occupons maintenant que des variétés non altérées par la projection, nous pouvons supposer la droite z à l'infini et discuter la forme
y^=iax^ -\-3bx^ -hScx -{- d,
qui est susceptible de représenter une projection d'une cubique quelconque donnée. Nous ferons remarquer que, si
un point d'inflexion es à l'infini, un système de droites issues de ce point devient un système d'ordonnées parallèles, et que la polaire harmonique devient un diamètre qui les divise en deux parties égales; et en effet, pour toute valeur de x^ l'équation ci-dessus donne des valeurs de y égales et de signe contraire.
Nous avons déjà discuté en partie l'équation précédente (n^ 39) et ce que nous en avons dit montre que les courbes qu'elle représente peuvent être rangées dans les cinq classes principales qui suivent :
Le second membre de l'équation peut être décomposable en trois facteurs inégaux et (I) tous trois réels. La courbe se compose alors (n° 39) d'un ovale et d'une branche infinie; ou bien (II), les facteurs sont l'un réel et les deux autres imaginaires. L'ovale disparaît alors et la branche infinie reste seule.
Le second membre de l'équation peut se décomposer en deux facteurs égaux et en un facteur inégal, et être de la forme [x — a)-(.r — P). Nous avons alors les cas suivants ^ (III), si a est moindre que [3, la courbe est acnodale(n^ 39) et l'ovale se réduit à un point conjugué; (IV), si a est plus grand que [3, la courbe est crunodale, l'ovale et la branche infinie s'avancent en pointe l'un vers l'autre, de manière à former une courbe continue qui s'entrecoupe elle même. (V) Les facteurs du second membre peuvent être tous égaux et la courbe est cuspidale (n° 39).
Newton a donné le nom de paraboles divergentes aux courbes considérées dans ce numéro; et son théorème, que nous venons précisément d'établir, consiste en ce que toute cubique peut être projetée suivant l'une des cinq paraboles divergentes.
197. Au lieu d'admettre, comme dans le numéro précédent, que la tangente stationnaire se projette à l'infini, nous pou-
VOUS supposer que ce soit la polaire harmonique qui passe à i'iufîni. Le point d'inflexion devient alors un centre, et toute corde passant par ce point sera divisée en deux parties égales. Echangeons z qI y entre eux dans l'équation du n° 195, puis posons ^=1; l'équation devient, dans ce cas,
y :=z aœ^ -^ Zb x^-y -H 3 c œy~ H- cly^ ;
c'est l'équation d'une courbe à centre (n" 131). On reconnaît, comme dans le n^ 196, qn'il y a cinq genres de courbes à centre, suivant la nature des facteurs du second membre de l 'équation, etFon établit ainsi l'extension donnée par M. Chasles au théorème de Newton, et qui consiste en ce que toute cubique peut être projetée suivant l'une des cinq cubiques à centre.
198. Il y a cinq espèces essentiellement distinctes de cônes cubiques qui correspondent à ces cinq espèces de courbes. Un cône d'un ordre quelconque peut comprendre deux formes de nappes distinctes, à savoir : 1^ une nappe composée de deux parties jumelles, ou qui rencontre une sphère concentrique suivant un couple de courbes fermées, telles que chaque point de Tune des courbes soit opposé à un point de l'autre courbe (un cône du second degré nous fournit un exemple d'une nappe de cette espèce), et 2^ une nappe unique^ c'est-à-dire qui rencontre une sphère concentrique suivant une courbefermée, telle que chaque pointde la courbe soit opposé à un autre point de cette même courbe (un plan est un exemple d'un cône de ce genre). Le cône qui correspond à la parabole I du n° 198 est une surface composée d'une nappe double et d'une nappe simple; celui qui correspond à la forme II ne comporte au contraire qu'une nappe unique. Il est évident que les singularités du nœud, du point conjugué et du rebroussement se reproduisent dans les cônes correspondants.
La classification des cônes cubiques, que nous venons de (aire, pourrait, si nous le voulions, être poussée plus loin. Non seulement il n'y a qu'une espèce de cône du second ordre; mais, avec quelques restrictions, deux courbes quelconques de cet ordre yjeuvent être regardées comme sections d'un seul et même cône. Il n'en est pas de même pour les cubiques; on a démontré en effet (n^ 167) que toute cubique possède une certaine caractéristique numérique, qui exprime le rapport anliarmonique des quatre tangentes qu'on peut mener d'un point de la courbe et qui est représentée par le rapport des invariants S^ : T^ de l'équation biquadratique qui détermine ces tangentes. Cette caractéristique n'est pas altérée par la projection; deux courbes pour lesquelles elle est différente ne peuvent donc pas être des sections du même cône, et le paramètre en question doit être regardé comme une caractéristique propre, non seulement à une cubique, mais aussi à tout cône dont elle peut provenir comme section. Les cinq genres de cône que nous avons énumérés pourraient donc être subdivisés à volonté, suivant les valeurs de ce paramètre. On a réellement établi des subdivisions de ce genre; nous ne croyons pas nécessaire d'en parler ici. Cependant, dans la dernière Section de ce Chapitre, nous discuterons les cas où l'on a S =: o, T = o ; on voit toutefois dès à présent que ces hj^pothèses donnent des familles non seulement de courbes, mais aussi de cônes.
199. Examinons maintenant, avec plus d'attention quedans le n^ 39, la configuration de la cubique représentée par l'équation considérée dans le n^ 196. Il sera commode de placer l'origine au point milieu du diamètre de l'ovale, en sorte que l'équation pourra s'écrire
n étant plus grand que jn. En différentiant, nous trouvons
COURBES DU TROISIÈME ORDIIE. iZ']
que les valeurs de x qui correspondent aux valeurs maxima dejK, ou aux points où la tangente est parallèle à l'axe des x^ sont fournies par l'équation
