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COURBES DU QUATRIÈME ORDRE, 3o3
Dans chacun des quatre derniers cas, la courbe est unicursale.
Toute quartique peut être considérée comme corn prise dans Tune ou l'autre de ces classes. Il existe toutefois des formes spéciales, provenant de la coïncidence de points doubles ou de points de rebroussement qui méritent qu'on les considère à part.
1° Deux nœuds peuvent coïncider, en donnant naissance à la singularité appelée nœud de tangence ou poin t tacnodal; c'est par le fait un contact ordinaire (biponctuel) de deux branches de la courbe {voir n*^ 38, III). Il faut remarquer que la tangente commune compte deux fois comme tangente double de la courbe; ainsi, en supposant qu'il n'y ait pas (en outre du point tacnodal) de nœud ou de point de rebroussement, la courbe appartient à la classe IV et ses caractéristiques sont celles que nous avons indiquées ci~dessus ; mais S =: 2 indique qu'il y a un point tacnodal, ett == 8 que les tangentes doubles se composent de la tangente au point tacnodal comptée deux fois et de six autres tangentes doubles.
2° Un nœud et un rebroussement peuvent coïncider, en donnant naissance à la singularité nommée, d'après cela, rebroussement nodal et que nous avons appelée un rebroussement ramphoidal (n"" 58).
Remarquons que la tangente compte une fois comme tangente double et une fois comme tangente stationnaire. Si donc nous supposons qu'il n'y ait pas d'aulre nœud ou d'autre point de rebroussement, la courbe appartiendra à la classe V et ses caractéristiques sont données ci-dessus ; mais 5 rr= I, X =3 I montrent qu'il existe un rebroussement nodal; T = 4 comprend la tangente au point de rebroussement et trois autres tangentes doubles; t. = 10 donne la tangente au rebroussement et neuf autres tangentes stationnaires.
3° Trois nœuds peuvent coïncider si on les considère comme points consécutifs d'une courbe de courbure finie;
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3o4 CHAPITRE VI.
ils ne donnent pas naissance à un point triple, mais à la singularité appelée nœud (f oscillation ou point oscnodal. C'est par le fait une osculation ou un contact triponctuel de deux branches de la courbe. La tangente en un point de ce genre compte trois fois comme tangente double de la courbe; la classe de la courbe est VII et les caractéristiques en sont données plus haut; mais 8=3 signifie qu'il y a ici un point oscnodal et t = 4 comprend la tangente en ce point, comptée trois fois et une autre tangente double.
4' Deux nœuds et un rebroussement, ou un point tacnodal et un rebroussement considérés comme points consécutifs d'une courbe à courbure finie peuvent coïncider ; ils ne donnent pas naissance à un point triple, mais à la singularité appelée rebroussement tacnodal; c'est en réalité une osculation ou intersection quartiponctuelle des deux quasi-branches en un point de rebroussement. La classe de la courbe est VIII et ses caractéristiques sont celles qui figurent au Tableau ci-dessus; S = 2, x = i indiquent qu'il existe un point de rebroussement^ t = 2, que la tangente au rebroussement compte deux fois comme tangente double; t, = 4, que la tangente au rebroussement compte une fois comme tangente stationnaire, et il y a trois autres tangentes stationnaires.
5" Trois nœuds peuvent coïncider, comme sommets d'un triangle infinitésimal, en constituant un point triple (point triple ordinaire avec trois tangentes distinctes). La courbe est de la classe VIII avec les caractéristiques qui s'y rapportent; 8=3 indique qu'il y a un point triple.
6^ Deux nœuds et un rebroussement peuvent coïncider en engendrant un point triple spécial, où une branche ordinaire de la courbe passe par un point de rebroussement. La courbe est de la classe VIII avec les caractéristiques données ci-dessus ; S = 2, X = I caractérisent ici ce point triple spécial.
n" Un nœud et deux rebroussements peuvent coïncider en
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COUIIBES DU QUATRIÈME ORDRE. 3o5
formant un point triple particulier qui ne diffère pas d'une manière visible d'un point ordinaire de la courbe. Cette dernière appartient à la classe IX, dont les caractéristiques ont été données plus haut; S = i, x = 2 se rapportent ici au point triple en question.
2M. Pour mieux montrer la distinction entre les différents genres de points doubles que nous avons énumérés, supposons que Forigine soit un point double pour lequel les deux tangentes coincïdent avec la droite y = o] l'équation de la quartique sera de la forme y^ -h u^ -[- Uh == o, dans laquelle
u^ = ax^ -h bœ'^y -h cxy'^ -]-df^, Ur, ■=. ex* 4-/^^/4- ....
Nous procédons maintenant comme dans le n'' 36. Pour déterminer la forme delà courbe dans le voisinage de l'origine, nous posons jK == mx^ et nous déterminons [3 de manière que deux ou plusieurs exposants de x deviennent égaux entre eux et moindres que l'exposant d'un autre terme quelconque; et nous nous attachons seulement aux termes du degré le moins élevé en x. Supposons que a ne soit pas nul. Nous trouvons [3 = |; la forme de la courbe près de l'origine est la même que celle de la courbe jk^ + cix"^ = o et l'origine est un rebroussement ordinaire.
i^ Supposons a=:o. Nous avons alors [3 = 2 et m est déterminé par l'équation du second degré m'^ + bm -\- e = o. La courbe se compose de deux branches, dont les formes près de l'origine sont respectivement les mêmes que celles des courbes jk = m^ ^^^ j^ - ^^^^j m^ et m^ étant les racines de l'équation ci-dessus. Les branches sont tangentes entre elles et Porigine est un point tacnodaL
2'' Supposons que l'équation du second degré dont il vient d'être question ait ses racines égales; la forme de Péqualion est alors
( j — mx")"-^ cxy'^ -\- dy"^ -4-/^^/ -H • . • ^^ o, S. — Courbes planes. 20
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3o6 CHAPITRE Yï.
et, au degré d'approximation auquel nous nous sommes tenus jusqu'ici, les deux branches coïncident dans le voisinage de ['origine. Pour faire la distinction entre elles, nous poserons r z= mx^ -4- nxy et nous déterminerons n et v comme plus haut. Nous trouvons alors ^ = 1 et ^2 = — (cm- -i-fm). La l'orme de la courbe près de l'origine se rapproche donc de
celle de la courbe j>^ = mœ'^ + nx ^ que nous avons considérée (n'*58). D'après cela, l'origine est un rebroussement romplioïdal ou rebroussement nodaL
3^ Si cependant, en plus des conditions précédentes, nous avons/ = — c/n, l'écjuation de la courbe est de la forme
( r — mx^ y H- cxy ( j — mx- ) -i- dy^ -j- g'x^-y- -f- . . . m: o.
En faisant y =z mx^-{- nx^ ; nous trouvons y r= 3 et ai est déterminé par l'équation du second degré
n^ H- c m n -H m- {dm -+- ^•) -= o.
Soient 71^, n^ les racines de cette équation; dans le voisinage de l'origine, la courbe se compose de deux branches osculatrices, dont les formes sont représentées par les équations
Gomme la différence de ces valeurs de jk a pour premier terme une puissance impaire de Xy les branches se coupent, tout en étant tangentes à l'origine. L'origine est alors un point oscnodal. 4'' Si, en plus des conditions précédentes, les racines de la dernière équation du second degré deviennent égales ou si dm -\- g-=: {c-, l'équation de la courbe est de la forme
{y ■ — nix' — cxy — dy-)-^=:.Kxy^ -h B j^,
et nous trouvons, comme plus haut, que sa forme près de l'origine est donnée par l'équation
yz=. mx^- -f- cm x"^ 4- px - .
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COL'UBES DU QUATRIÈME OTIBBE. 807
L'origine est un rebroussement tacnodal. Le point double ordinaire ne peut pas donner de singularité d'ordre plus ('devé dans une quartiquc proprement dite; car la dernière hypothèse à faire consisterait à supposer que A est nul, et dans ce cas l'équation se décomposerait en deux facteurs du second degré. Le cas où l'origine est un point triple ne nous semble pas exiger de plus amples développements.
245. Nous n'avons jusqu'ici fait aucune distinction entre le réel et l'imaginaire. Si nous admettons que la courbe soit réelle, les nœuds et rebroussements imaginaires ne se présentent que par couples, et leur présence nous permet de distinguer les différents cas en conséquence ; ainsi nous pouvons avoir un seul nœud réel, deux nœuds réels ou deux nœuds imaginaires, trois nœuds réels ou un nœud réel et deux imaginaires; il en sera de même pour les points de rebroussement.
Un point double réel peut aussi être crunodal ou acnodal. Ces distinctions, relatives au réel et à l'imaginaire, se présentent rarement en ce qui regarde les singularités dont nous avons parlé plus haut (la condition que les imaginaires se présentent par couples implique le plus généralement la réalité de ces singularités). La seule distinction qu'il semble utile de faire s'applique au point triple ordinaire; il peut avoir trois tangentes réelles, ou bien une réelle et deux imaginaires. Dans le premier cas, le point est l'intersection de trois branches réelles de la courbe; dans le second, il est la commune intersection d'une branche réelle et de deux branches imaginaires; ou, ce qui revient au même, nous avons une branche réelle qui passe par un point conjugué. Ce point ne diffère pas visiblement d'un point ordinaire de la courbe, il ressemble à cet égard au point triple spécial que nous avons mentionné ci-dessus sous le n° 7; la différence consiste en ce que, dans le cas d'une branche ordinaire
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3o8 CHAPITRE VI.
passant par un point conjug-ué, les tangentes sont l'une réelle et les deux autres imaginaires, tandis que, dans le cas du point triple spécial, elles sont toutes trois réelles et coïncidentes.
246. Il existe encore d'autres singularités dont il faut tenir compte. Un nœud ou point double peut être un point d'inflexion sur une des branches qui le constituent, c'est-à-dire que la tangente à cette branche au point double peut rencontrer cette branche en trois points consécutifs (ou la courbe en quatre points coïncidents); le nœud peut aussi être un point d'inflexion sur chacune des branches qui le constituent.
Un pareil point double peut être considéré (dans le premier cas) comme formé par la réunion d'un point doubJe ordinaire avec un point d'inflexion, et (dans le second cas) de ce même point double avec deux points d'inflexion; le nœud pourrait s'appeler un nœud inflexionnel, point yZecnodal ou point biftec no dal suivant le cas. Le point ou les points d'inflexion qui coïncident ainsi avec le point double, doivent être comptés parmi les points d'inflexion de la courbe et le nombre des points d'inflexion restants doit être diminué en conséquence. Un point biflecnodal a des propriétés analogues à celles que nous avons établies (n°^ 170 et suivants) pour les points d'inflexion des cubiques. En général, si nous cherchons le lieu des moyennes harmoniques sur les rayons vecteurs issus de l'origine que nous supposons être un point double de la quartique U/^ -i- Us -{- U2 = o, nous trouvons ^^3 + 2U2 = o. Si donc 112 est facteur dans u^^ le lieu devient une ligne droite, et le point double, qui a une polaire harmonique, jouit des propriétés établies (n° 170). Lespointsde contactdes tangentes issues de ce point se trouvent sur une ligne droite et la courbe peut être projetée de manière qu'il devienne un centre, ou, encore, de manière que toutes les cordes parallèles à une droite donnée soient
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COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. SoQ
coupées en deux parties égales par un diamètre fixe. Dans ce dernier cas, la forme de l'équation est, en général,
Il n'y a pas de difficulté à discuter, comme dans les n*"' 39 et 199, les différentes formes possibles de courbes comprises dans cette équation, en ayant égard à la réalité et à la grandeur relative de <2, 6, ... ; on en déduit aisément les différentes formes que peuvent affecter les projections de ces courbes.
247. Enfin une quartique peut encore avoir un autre genre de point singulier dont il faut tenir compte dans la classification; c'est un point d'ondulation, c'est-à-dire un point où la tangente rencontre la courbe en quatre points consécutiis. La taqgente en un pareil point remplace deux tangentes stationnaires et une tangente double. Une quartique peut avoir quatre points d'ondulation réels. Il est facile de s'en convaincre en écrivant l'équation sous la forme wxyz^=^ S^, dans laquelle S est une conique tangente aux quatre droites w, ^, jr, z.
248. Nous n'avons pas encore épuisé la liste des éléments caractéristiques que la projection n'altère pas et dont il faudrait tenir compte dans une classification complète des quarliques. On se rappelle que nous avions divisé les cubiques non singulières en cubiques unipartites et en cubiques bipartites, suivant que tous les points réels de la courbe constituent ou non une suite continue. Il est naturel de penser qu'il doit exister une distinction semblable pour les quartiques.
Zeuthen a étudié en détail [Math. Annalen, t. Vil, p. 4i i) les formes possibles des quartiques non singulières. Il fait remarquer que les branches d'une courbe peuvent être divisées en branches d'ordre impair, qu'une droite rencontre en
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3lO CHAPITRE VI.
un nombre injpair de points, et en branches d'ordre pair. Ces dernières sont ce que nous avons appelé des oçales (n^WO); nous employons ce mot pour désigner non seulement les ovales dans le sens ordinaire du mot, mais encore leurs projections. Par exemple, dans cette acception, nous dirons que toutes les formes des coniques sont des ovales. Zeuthen montre qu^une courbe non singulière ne peut avoir plus d'une branche d'ordre impair et que, par conséquent, une courbe de degré pair ne peut en posséder. Une quartique ne peut donc se composer que d'ovales. On voit immédiatement que, si une quartic[ue se compose de deux ovales, dont l'uu soit entièrement intérieur à l'autre, elle n^ peut pas avoir aucun autre point réel. En effet, s'il en existait un, en le joignant par une droite à un point situé au dedans de l'ovale intérieur, cette droite couperait la courbe en cinq points. Pour la même raison, l'ovale intérieur ne peut avoir ni tangentes doubles, ni points d'inflexion. On donne le nom de quartique annulaire à une quartique composée de deux ovales dont l'un est intérieur à l'autre. Les raisonnements qui précédent n'excluent pas le cas d'ovaies extérieurs les uns aux autres; toutefois la quartique ne peut pas se composer de plus de quatre ovales; si, en effet, elle avait d'autres points réels, une conique passant par l'un d'eux et par des points situés à l'intérieur des ovales couperait la courbe en neuf points. La courbe
(c <^ 6) que nous avons considérée (p. 64-65) montre qu'une quartique peut effectivement se composer de quatre ovales; cela résulte aussi de l'exemple suivant que Plûcker a donné pour montrer que les vingt-huit tangentes doubles d'une quartique non singulière peuvent toutes être réelles. Considérons la courbe 0 = dz A', dans l'équation de laquelle
il zzz ( j- — x-){x — i){oc — I) — 1 [ j^^ -\- œ {x ~ Q.)Y' '
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COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 3ll
L'équation Q = o représente une quartiqae à trois points doulales, dessinée en traits gras dans la /i^'. 46. L'équation 0 = A" est celle d'une courbe qui ne rencontre la
Fig. 46.
courbe Ù en aucun point à distance finie, qui s'écarte d'autant moins delà courbe ù que k est plus petit, et qui, suivant le signe attribué à cette quantité, est tout entière à l'intérieur ou à l'extérieur de la courbe Q. Quand elle est tout entière à l'extérieur, la courbe est unipartite; si, au contraire, elle est entièrement à l'intérieur, elle se compose de quatre ovales en forme de ménisques, situés chacun dans l'une des boucles en lesquelles la courbe 0 est subdivisée. Chaque ménisque a une tangente double ; on verra de plus que deux ovales quelconques ont quatre tangentes communes et il y a six couples formés par ces ovales pris deux à deux. Si l'on suppose que !a valeur de la constante varie, il est facile de concevoir que l'un, puis l'autre de ces ovales devienne imaginaire; il s'ensuit que les quartiques non singulières peuvent être unipartites, bipartites, tripartites ou quadripartites. Nous pouvons conclure, de la même manière, que si une quar tique a un point double, elle peut être unipartite, bipartite ou tri-
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3l2 CHAPITRE yi.
partite; que si elle a deux points doubles, elle peut être unipartite ou bipartite (^ ).
248 a. Zeuthen prend pour base de sa classification des quartiques les bitangentes réelles de la courbe et il les divise en deux classes. Quand une quartique se compose d'un couple d'ovales extérieurs l'un à l'autre, il est facile de voir (de même que si c'étaient deux coniques) que ces ovales ont quatre tangentes communes et qu'ils ne peuvent en avoir davantage. Ce sont ces tangentes communes qui sont pour Zeuthen les bitangentes de seconde espèce. Quand une quartique a deux ovales extérieurs l'un à l'autre, le nombre de ces bitangentes est 4; quand elle se compose de trois ovales, Je nombre des bitangentes est 12 ; si elle en comprend quatre, le nombre en question est 24. Les bitangentes de première espèce sont : (a) les droites doublement tangentes à une branche unique de la courbe, ou (6) les bitangentes dont les deux points de contact sont imaginaires.
Zeuthen a démontré que toute quartique a quatre bitangentes de l'une ou de l'autre de ces deux dernières classes ; nous les appellerons les bitangentes de Zeuthen. Le nombre total des bitangentes réelles d'une quartique s'obtient ainsi en ajoutant aux quatre précédentes o, 4> ^^ c>u 24 bitangentes de seconde espèce ; ce nombre est donc 4 ^ 8, 1 6 ou 28. La méthode de Zeuthen consiste à considérer le système de quartiques S + XS^ dans lequel S et S' sont deux quartiques non singulières. Le nombre des bitangentes réelles d'une courbe du système ne changera que s\\ est tel que la courbe présente quelque singularité. Zeuthen démontre que, si \ passe par une valeur pour laquelle la courbe a un point double, on ne perdra ou on ne gagnera que des bitangentes
(') En général, le nombre maximum des parties d'une courbe est supérieur d'une unité au genre de la courbe.
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COURBES DU QUATRIÈME ORDRE. 3l3
de seconde' espèce et qu'aucune singularité ordinaire ne change les bitangentes de première espèce en bitangentes de seconde espèce et réciproquement. Considérons une bitangente de première espèce, tangente à une branche en deux points réels. Si le paramètre contenu dans l'équation varie, ces points peuvent se rapprocher l'un de l'autre, et l'arc qui les sépare devenir de plus en plus petit. A la limite, ces points se confondent et la courbe a un point d'ondulation; après cela, la bi tangente a ses points de contact imaginaires. Nous voyons aussi que, pour la valeur de "X C[ui détermine un point d'ondulation sur la courbe, les bitangentes de Zeuthen de la classe (a) se changent en bitangentes de la classe (b) ou iîiverseraent. La seule modification qui affecte les tangentes de première espèce consiste en un échange de ces deux classes ; le nombre total de ces bitangentes est donc le même pour le système entier des quadriques compris dans la forme S -j- IS'; il est par conséquent le même pour une quartique quelconque, et l'exemple donné par Plûcker montre qu'il est égal à quatre.
248 b. Quand une branche a une tangente qui lui est tangente en deux points réels, il est évident qu'en chacun de ces points l'arc tourne sa convexité vers la tangente et qu'il existe une partie intermédiaire de l'arc total qui tourne sa concavité vers cette même droite ; la partie concave est séparée des parties convexes par un point d'inflexion situé à chacune de ses extrémités. Toute bitangente de cette espèce implique donc l'existence de deux points d'inflexion réels; et il n'est pas difficile de voir que la réciproque est vraie. Puisqu'il peut exister au plus quatre tangentes de cette espèce, une quartique peut avoir tout au plus huit points d^ inflexion réels, Zeuthen réserve le nom à^ovale aux branches qui n'ont ni bitangentes ni points d'inflexion réels; si la branche a une seule bitangente réelle, il l'appelle unijolium; si elle en a
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3l4 CHAPITRE VI.
deux, trois ou quatre, il lui donne les noms de bijolium, trifoUum o\\ quadrifolium. Ainsi, dans la figure donnée par Plûcker, la courbe extérieure est un quadrifolium; les quatre courbes intérieures sont des unifolium. La fig\ 3, p. 65, représente deux bifolium; la Jig. 5, p. 65, représente une quar tique annulaire, qui est un quadrifolium avec ovale intérieur.
248 c. Zeuthen démontre, par la méthode du n° 125 {Ex. 4), que les points de contact de trois quelconques de ses bi tangentes sont situés sur une conique et que de plus c'est la même conique qui passe par les points de contact des quatre bitangentes. Si donc (^, x^ y, z représentent quatre droites et V une conique, l'équation de la quartique doit être de la forme wxyz :=\^, Zeuthen analyse les différentes formes possibles de quartiques en discutant les différentes positions que peuvent avoir les points d'intersection des quatre droites et de la conique par rapport au quadrilatère formé par ces droites. Quand V rencontre toutes les droites en des points réels, il distingue les cas suivants : i° quartiqcie annulaire, un quadrifolium et un ovale intérieur; i'' un quadrifolium et deux ovales; 3^ quatre unifolium; 4° ^^i" trifolium, un unifolium et un ovale; 5^ un bifolium, deux unifolium et un ovale; 6^^ deux bifolium et un ovale; 7° deux bifolium et deux ovales; 8'^ un bifolium et deux unifolium; 9"" un trifolium, un unifolium et deux ovales. II énumère trente-six cas en tout, mais les figures qu'il donne pour les neuf cas que nous venons de mentionner suffisent pour donner une idée des autres; il suffît en effet d'une très légère modification pour changer un unifolium en un ovale, .... Piemarquons que la classification ainsi établie repose uniquement sur les propriétés projectives, mais qu'elle n'a trait en rien à la droite de l'infini. Nous donnerons dans le n^ 249 les principes qui permettent de subdiviser ces
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COURBIJS DU QUATR1È3ÏE ORDRE. 3l5
classes en espèces, en tenant compte de la nature des branches infinies.
248 d. Zeuthen a aussi appliqué sa méthode de classification aux quartiques nodales considérées comme cas limites des quartiques non singulières. Il énumère et discute les cas suivants .' (<^) points conjugués considérés comme cas limites des ovales ; (^) nœuds qui prennent naissance dans les cas limites des quartiques annulaires, quand la branche intérieure vient à couper la branche extérieure ; dans aucun de ces cas les bitangentes de Zeuthen ne subissent de modification; (c) nœuds produits par l'intersection mutuelle de deux branches extérieures l'une à l'autre ; (<i) nœuds qui se produisent quand une branche d'ordre pair se décompose en deux branches d'ordre impair qui se coupent. Dans les cas où les bitangentes de Zeuthen éprouvent des changements, la discussion se fait en considérant les formes représentées par l'équation wxyz = V^, quand V passe par le point d'intersection de deux droites, ou quand deux de ces droites coïncident l'une avec l'autre.
249. Pour reconnaître comment on peut classer les quartiques en ayant égard à leurs branches infinies, nous remarquerons que la droite de l'infini peut rencontrer une quartique : (a) en quatre points réels, (6) en deux points réels et deux points imaginaires, (c) en quatre points imaginaires, ((i) en deux points coïncidents et deux points réels, (^) en deux points coïncidents et deux points imaginaires, (/) en deux couples de points coïncidents réels, (^g) en deux couples de points coïncidents imaginaires, (A) en trois points coïncidents et un point réel, (i) en quatre points coïncidents. On pourrait encore établir des distinctions spéciales dans les cas ((i), (e), (/), (^), suivant que la droite de l'infini, dans ses points de rencontre avec la courbe, est simplement une
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3l6 CHAPITRE VI.
tangente, ou qu'elle passe par un point double ; ce point double peut être lui-même crunodal ou acnodal, ou appartenir à l'une des variétés particulières dont nous avons parlé précédemment. De même, dans le cas (^), la droite de Tinfmi peut être une tangente stationnaire ordinaire, ou une tangente en un point double ou en un point de rebroussement, ou bien encore elle peut passer par un point triple et, dans le cas (i), elle peut être tangente en un point d'ondulation, ou en un point double de variété spéciale, ou enfin être tangente en un point triple. L'un quelconque des points qui comptent seulement comme des points d'intersection simples de la droite de l'infini avec la courbe peut être sur cette dernière un point d'inflexion ou d'ondulation. Quand ce cas se produit, il en résulte dans la configuration de la courbe une difierence dont il faudrait tenir compte dans une classification complète des quartiques.
2o0. Nous avons déjà montré (n^ 70) comment on forme l'équation de la Hessienne d'une quartique ; c'est une courbe du sixième degré qui coupe la quartique aux vingt-quatre points d'inflexion. Nous avons vu aussi que l'équation de la réciproque d'une quartique est de la forme S2 = T^, dans laquelle S représente une courbe de quatrième classe et T une courbe de la sixième classe ; la forme de l'équation fait reconnaître que ces deux dernières courbes sont toutes les deux tangentes aux vingt-quatre tangentes stationn aires. Nous réservons pour un autre Chapitre la solution du problème qui consiste à former l'équation d'une courbe passant parles points de contact des tangentes doubles d'une courbe donnée. Quand nous traiterons cette question, nous montrerons que, dans le cas d'une quartique, l'équation d'une courbe bitangentielle de cette sorte peut être écrite sous la forme 6 = 3H<Ï>; 0 est le covariant AU^ + . . . comme dans le n^ 231. En d'autres termes, U, ... sont les dérivées
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premières de la Hessienne et A représente la quantité bc — /-, dans laquelle a^ b^ ... sont les dérivées secondes de U. De même <ï> représente la quantité Ka' -\- . . ., comme dans le
2SI . Pour traiter cette question, il est commode de commencer par étudier préalablement une théorie plus générale dans laquelle se trouve comprise celle des bitangentes. Considérons d^abord la forme UW ==:V^, dans laquelle U,V,W représentent des coniques ; elle contient implicitement seize constantes ; on peut, par conséquent, y ramener l'équation de toute quartique, et cette réduction est possible d'une infinité de manières, comme nous le verrons d'une manière plus complète dans la suite. La forme de l'équation montre que U et W sont tangentes chacune à la quartique en quatre points, ceux où elles rencontrent respectivement V^. Nous avons déjà discuté [Sections coniques, n° 270) l'équation U W = V^ quand U, V, W représentent des droites ; les résultats que nous avons obtenus sont encore applicables au cas où ces quantités représentent des coniques, à la condition d'y apporter les modifications convenables. Il suffira simplement de nous rappeler que deux coniques, représentées par des équations de la forme W] + [jl V + v W = o, au lieu de se couper en un seul point; se rencontrent suivant quatre points, et que, si l'on nous donne un point d'une conique dont l'équation doit pouvoir être mise sous cette forme, nous en connaissons nécessairement trois autres points; en effet, si nous avons ).U^+ piV^4- vW^==: 0,1a conique >.U+ [a V + vW = o passera, cela est clair, par les quatre points déterminés par les
U V W équations |:y7 = :r7y =: ..^/ • Il résulte, de la discussion faite
dans les Sections coniques et qu'on vient de rappeler, que la
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3l8 CHAPITRE VI.
qiiartique UW = V^ peut être considérée comme l'enveloppe d'une conique variable ).2[j j 2).V + W = o, où \ est variable, et qui est tangente à la quar tique donnée aux quatre points déterminés par les équations
XU-i-V=:o, "XY + W = o.
Les deux systèmes de quatre points suivant lesquels deux des coniques enveloppantes touchent la quartique sont situés sur une autre conique, comme on le voit en écrivant l'équation donnée sous la forme
(X-U-H2XV-f-W)([X-U-|-2[xV-f-W)r=:[XfxU-i-(X + [x)V+W]-.
On peut de même étendre les propriétés des pôles et polaires à la courbe dont nous nous occupons. Par un point (ou bien, si nous le voulons, nous pouvons dire par un système quelconque de quatre points) on peut mener deux coniques du système X^U + 2XV + W = o ; les deux systèmes de points de contact sont situés sur la conique UW' 4- WU^ — aVV^^o qu'on peut appeler la polaire du point donné ou du système de points et la symétrie de l'équation montre que la polaire (dans le sens propre du mot) d'un point quelconque appartenant à la dernière conique passera par le point donné. Réciproquement une conique quelconque a U+6V+cW= o rencontre la quartique en deux séries de quatre points ; par chacun de ces systèmes on peut faire passer "une conique quadruplement tangente, et ces deux coniques se coupent suivant un système de points qui constituent dans ce sens le pôle
2o2. Il est utile de rappeler ici les propriétés établies (Sections coniques^ n^ 338, . . .) pour un système de coniques comprises dans l'équation aU + P V -\- yW = o. En premier lieu, si cette équation représente un couple de droites, leur point d'intersection se trouve sur une cubique fixe qui est la
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TANGENTES DOUBLES. Srg
Jacobienne de U, V, W; cette courbe peut aussi se définir comme le beu d'un point dont les polaires par rapport à toutes les coniques du système aU4-pV + yW = o se coupent en un même point. Si nous considérons deux coniques faisant partie de ce système, l'équation d'une conique passant par leurs points d'intersection doit être de forme similaire et par conséquent les points d'intersection de chacun des trois couples de droites qui joignent les quatre intersections des deux coniques doivent être situés sur la Jacobienne. Si les deux coniques sont tangentes, deux de ces trois points d'intersection coïncident avec le point de contact; et par conséquent, si deux coniques du système aU + pV-f-yW sont tangentes l'une à l'autre, leur point de contact se trouve sur la Jacobienne.
En second lieu, le système aU-f-pV + yW peut être considéré comme un système de coniques polaires d'un point variable (a^y) par rapport à une certaine cubique fixe^ qui a pour Hessienne la Jacobienne du système et dont l'équation peut se former quand on connaît les équations des trois coniques.
Troisièmement, si aU + (â V + y W représente un couple de droites, toutes les droites de cette nature sont tangentes à une courbe de la troisième classe qui est la Cayleyenne de la cubique mentionnée ci-dessus,
253. Une conique enveloppante X^U + 2XV -h W et la conique qui passe par les quatre points de contact faisant chacune partie du système aU -h |3 V -H y W, nous en déduisons en particulier que, si nous menons les trois couples de droites joignant les points de contact d'une conique quelconque qui enveloppe UW =^ V^, les intersections de chaque couple se trouvent sur une cubique fixe qui est la Jacobienne, et les droites elles-mêmes sont toutes tangentes à une courbe fixe de la troisième classe, la Cayleyenne.
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320 CÎIÀPITRE VI.
Si les deux coniques XU -f- V = o, XV -|- W = o sont tangentes entre elles, la conique À-U-h 2XV 4- W, au lieu d'être tangente à la quartique en quatre points distincts, a deux fois un contact ordinaire avec elle, et elle la rencontre une fois en quatre points consécutifs. D'après ce que nous venons de voir, ce point de contact d'ordre supérieur est situé sur la Jacobienne. Nous concluons de là que douze coniques du système X^U+sXV + W^o ont avec la quartique ce même contact d'ordre supérieur : ce sont les douze coniques qui passent chacune par une des intersections de la Jacobienne avec la quartique.
254. Six coniques du système X^U + aXV + W se réduisent à un couple de droites, car le discriminant de cette forme, étant une fonction du troisième degré de ses coefficients,sera une fonction du sixième degré enX, et par conséquent on peut trouver six valeurs de X pour lesquelles il sera nul. Quand une conique enveloppante se réduit à un couple de droites, les quatre points de contact sont situés deux à deux sur chaque droite, et chacune de ces dernières est une tangente double de la quartique. Il résulte du n"^ 249 que, si ab^ cd sont deux quelconques de ces six couples de bitangentes, l'équation de la quartique peut être ramenée à la forme abcd = V^, et les huit points de contact sont situés sur une conique V. Nous voyons ainsi que la forme X^UH-sXV + W comprend les six couples de bitangentes de la quartique ; ces douze bitangentes sont toutes tangentes à une courbe de la troisième classe; la Cayleyenne du système et les points d'intersection de chaque couple sont situés sur la Jacobienne. De même aussi, si l'on joint directement et transversalement les points de contact de ces couples de bitangentes, les droites de jonction sont tangentes aussi à la Cayleyenne et les intersections de chaquecouple se trouventsurla Jacobienne. On peut établir cette propriété sous une forme un peu difTérente,
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en considérant la cubique S dont U, V, W sont des coniques polaires. En effet, si l'équation d'une quartique est une fonction du second degré en U, V, W; en égalant cette fonction à zéro, on obtient la condition pour que la droite x\J + J^V -f- ^W = o soit tangente à une conique fixe; il est alors facile de voir que la quartique peut être définie comme le lieu d'un point dont la polaire par rapport à S est tanf;ente à une conique fixe, ou, en d'autres termes, comme le lieu des pôles par rapport à S des tangentes de cette conique iixe; il revient au même de la définir comme l'enveloppe des coniques polaires des points de cette conique. Les tangentes doubles de la quartique correspondent aux points où la conique rencontre la Hessienne de S.
2o5. Considérons maintenant deux des bitangentes d'une quartique et prenons-les pour axes des o) et des y ; si nous faisons x = o, l'équation de la quartique doit se réduire à un carré parfait, par exemple [z^ -j-- ayz -{- by^)- et, si nous posons j/ =: o, nous devons avoir de même (3- -h c^^ + dx-y. Par conséquent, l'équation de la quartique doit évidemment être de la forme
,^ y U := ( z- -h- ayz 4- bf- -h cœz-\- dœ-)-,
c'est-à-dire de la forme xy\] = V-, que nous avons discutée ; cette équation peut aussi s'écrire
Gomme nous l'avons vu, en outre de la valeur ). := o qui correspond au couple de droites .z-jk, il J a cinq autres valeurs de \ pour lesquelles \'\] -y i\Y -r- -^y représentera ui? couple de droites, et, par conséquent, l'équation peut de cinq manières différentes se ramener à la forme ççxyz^^^Y-, DonC; par les quatre points de contact de deux bitan génies quelconques^ nous pouvons mener cincj coniques^ S. — Courbes pla/ies. 21
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322 CHAPITRE YI.
dont chacune passe par les quatre points de contact de deux autres bitangentes.
Une quartiqiie non singulière a 28 bitangentes et il y a par conséquent 1(28.27), ou 3^8 couples de bitangentes; chacun de ces couples donne naissance à cinq coniques différentes; mais chaque conique peut provenir d'un quelconque des six couples différents formés par les quatre bitangentes qui correspondent à cette conique. Donc il y a en tout 1(378) ou 3i5 coniques, dont chacune passe par les points de contact de quatre bitangentes dhine cjuartique (' ).
256. Nous avons vu que chaque couple de bitangentes se combine avec cinq autres couples pour former un groupe de six couples, tel que les points de contact de deux quelconques de ces couples soient sur une conique. Il en résulte quj les 378 couples peuvent être partagés en 63 groupes de six. Les douze bitangentes de chaque groupe sont tangentes à la même courbe de la troisième classe et cette dernière est aussi tangente aux droites qui joignent directement et transversalement les points de contact de chaque couple. Les intersections de chaque couple de bitangentes, de même que celles des droites qui unissent les points de contact, sont situées sur une cubique. Il y a douze coniques en correspondance avec chaque groupe, et chacune d'elles est tangente à la quartique en deux points de contact ordinaire; elle lui est en outre tangente en un autre point où elle a quatre points consécutifs communs avec la quartique ; ces points de
(*) Plucker a indiqué le premier la possibilité de mettre l'équation d'une quartique sous la forme xyzw ■=■ V^; m.ais il en a conclu trop précipitamment que les six points de contact de trois bitangentes quelconques sont sur une conique; il a été ainsi conduit à une conclusion erronée pour le nombre total des coniques passant par huit points de contact de bitangentes. {voir la Théorie der algebraischen Curven, p. 246).
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contact d'ordre supérieur sont silués sur la cubique dont nous avons parlé en dernier lieu. Comme il y a 63 groupes^ on peut mener en tout ^56 coniques de ce genre.
257. Nous allons montrer comment on peut former un tableau des 3i5 coniques et, à cet effet, nous représentons provisoirement les 26 premières bitangentes par les lettres de Falpliabet, en ajoutant les deux symboles cp et <]> pour indiquer les deux autres. Nous représentons par abcd la conique qui passe par les huit points de contact des bitangentes a, b^ c, ci. Si maintenant abcd, abef sont deux des 3i5 coniques, les couples ab^ cd,^ ^/appartiennent au même groupe et, d'après ce que nous avons vu, C(^(?/sera une autre de nos coniques. On peut aussi le démontrer directement comme il suit. Soit ahcd-=^y- l'équation de la quartique,
ou
a/>(c€/-i-2XV4-X-a^)^(Y + Xa/^)^
Nous pouvons déterminer X de manière que l'on ait
cd ^ i\N -^-V' ab ^-- ef.
Tirons V de cette équation et portons sa valeur dans l'équation de la quartique; il vient
X* à- b'^ -A- c-d^- -\- e'-p — 2 X^ abcd — 2 X^ abef — 2 cdej n= 0
ou bien
[\cdef^=i{cd-\- ef — l-aby.
Cette forme démontre le théorème énoncé. On voit ainsi que, étantdonnés trois couples de droites qui doivent être des couples de bitangentes du même groupe d'une quartique, l'équation de la quartique sera de la forme
l\/ab -H m \jcd -h n \Jef — o,
en sorte que, si l'on donnait deux points de plus, on pourrait trouver une quartique unique satisfaisant aux conditions
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324 CHAPIJUE VI.
requises. En correspondance avec chaque groupe, il y a i5 coniques passant respectivement par les points de contact de deux des six couples qui composent le groupe. Il semble donc qu'il y aurait ainsi 63 X i5 = 94^ coniques; mais chaque conique est comptée trois fois comme appartenant aux trois groupes ab, ed, . . . , ac, bd^ . . . , ad, bc, ... ; le nombre total est donc 3i5, comme on l'a énoncé ci-dessus.
258. Considérons une conique quelconque abcd; le groupe ab, cd, . . . et le groupe aCy bd, ... ne peuvent avoir d'autre bitangente commune, si nous supposons que la c[uartique est une courbe non singulière. Par exemple, si abef Qsl une conique du premier groupe, aceg ne peut être une conique du second. En efFet (n° 257), l'équation de la conique passant par les points de contact de a, 6, c, d peut être mise sous la forme
À ab + -{cd — ef) =: o,
et, si aceg est une autre conique, elle doit être identique avec la forme
{jLac H ( bd — eg) = o.
rjous déduisons nnmédiatement de cette identité
Il en résulte que, e étant identique avec un des facteurs dans lesquels se décompose le premier membre, elle passe par l'intersection de a et c, ou b et d. Mais, dans l'un et l'autre cas, le point par lequel on a démontré que e passe sera un point double de la courbe
[^V-abcd~{\^ab^cd—eff,
et par conséquent la quartique ne pourrait pas être une courbe non singulière.
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Nous voyons précisément de la même manière que si ahef^ acmn sont deux coniques, il existe entre elles une identité
(\b — MvC) 1 a — , — d] -=■ ^ef mn,
et, par conséquent, les diagonales du quadrilatère efmn passent l'une par ad^ l'autre par bc] en d'autres termes, les intersections de chaque couple de bitangentes sont, d'après une certaine loi, situées trois par trois sur des droites. Quand on a une fois fait un tableau des 3 15 conicjues, il n'y a aucune difficulté à distinguer quelle est la diagonale qui passe par ad et quelle est celle qui passe par bc. Par exemple, si nous savons que aemu^ afnv^ aduv sont des coniques du système, nous concluons de la même manière que les diagonales emfn passent par ad uv, et que par conséquent ad est situé sur la droite qui joint 6/2, fm. Considérons maintenant une conique abcd\ elle appartient aux trois groupes aZ>, ce/, . . ., ac, bd^ ... et ad^ bc^ . . ., et nous voyons maintenant que chacun des seize quadrilatères que l'on forme en combinant un des quatre autres couples appartenant au groupe ac^ bddiyec un couple du groupe ad^ bc aura une diagonale passant par ab. Mais le couple ab fait partie de cinq coniques différentes et, par conséquent, il y a quatre-vingts quadrilatères qui ont une diagonale passant par ab. On trouvera, comme nous l'avons indiqué, que ces quadrilatères peuvent se partager en couples ayant une diagonale commune; donc, par chacun des 378 points ab^ on peut mener 4o droites qui passent chacune par deux autres points du même genre, et il y a en tout 5o4o de ces droites.
259. Nous pouvons maintenant former un tableau des 3i5 tangentes, dans lequel il n'y aura plus rien d'arbitraire que la notation. Commençons par écrire le groupe ab^ cd^ cf, gh^ ij\ kl] comme les groupes aCj bd et ad^ 6c ne peuvent
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3^6 CHAPITRE Vï.
avoir de bitangente commune avec le précédent, ni l'un avec l'autre, ces groupes peuvent s'écrire ac, hd^ mn^ op^ qr^ st\ ad, bc^ uv^ wXy yz, cp'i. Ecrivons maintenant le groupe ae^ bf\ il ne doit pas renfermer de bitangente du groupe ah^ ::iais dans chaque terme une des bitangentes du groupe ac, sera combinée avec une bitangente du groupe ad. Gomme nous étions libres d'écrire les couples de chaque groupe dans Tordre que nous voulons, ce n'est simplement qu'une affaire de notation et nous n'introduisons aucune condition géométrique, sinous prenons pour ce groupe a^, bj\, mu, ow, qy,S(^, De la même manière, c'est une pure affaire de notation que supposer que les bitangentes ont été représentées par des lettres, de manière que ag et rax, ai et r)%z, ak et mh^ appartiennent au même groupe. Ceci admis, on trouvera que le groupe a/, be est nécessairement /i(^, px, rz^^t^, et nous pouvons procéder ainsi pas à pas, pour écrire le système entier. Nous avions, d'après cela, introduit dans l'édition précédente une Table des 3i5 coniques; nous ne la reproduisons pas ici, parce que Hesse adonné (^Crelle, i855, t. 49, p. 243) un algorithme discuté ensuite plus minutieusement par M. Cayley ( Cr^//^, i858, t. 68, p. 17^)? qui présente sous une forme facile à reconnaître les relations mutuelles des 28 tangentes. La méthode de Hesse s'appuie sur des considérations tirées de la Géométrie à trois dimensions. Il égale à zéro le discriminant de l'expression aU+ [3V + yW = o dans laquelle U, V, W représentent des surfaces du second degré. Ce discriminant étant une fonction du quatrième degré en a, p, y, si l'on regarde ces quantités comme des variables, l'c'quation représente une quartique plane. Mais, pour une valeur quelconque de a, p, y qui fait annuler le discriuiinant, a[J+ pV-f-yW représente un cône, en sorte qu'à chaque point delà quartique plane correspond un point de l'espac ; qui est le sommet de ce cône. Le méthode de Hesse relie les tingentes doubles de la quartique plane avec les droites
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COURBES DU QUATÎMÈMfi ORDîlE. 3l27
joignant chaque couple des huit points de l'espace qui sont les intersections de trois surfaces du second degré. Nous ne faisons ici aucun usage de principes de Géométrie de l'espace, mais nous empruntons simplement la notation que suggère la méthode de Hesse ( ' ).
260. Prenons huit symboles i, 2, 3, 4> 5? 6, 7, 8. Leurs combinaisons deux à deux nous donnent 28 symboles 12, i3, .... 78 que nous emploierons pour représenter les 28 bitangentes. Cette notation, quand les symboles sont convenablement appliqués aux 28 bitangentes, nous permet de représenter correctement leurs relations géométriques, quoiqu'elle soit complètement en défaut pour faire ressortir Ja symétrie du système. En effet, la notation pourrait donner l'idée que la bitangente 12 se comporte difléremment avec les bitangentes i3, i4> • • • et avec les bitangentes 34? 56, . . . , tandis qu'il n'y a réellement pas de différence géométrique entre les relations d'un couple quelconque de bitangentes. Nous supposerons les symboles appliqués de teiie manière que 12, 34? «^6, 78 représentent des bitangentes dont les huit points de contact soient sur une conique. La même propriété appartiendra alors à tout tétrade ou système de quatre bitangentes représenté par un système semblable de duades ou de deux symboles, c'est-à-dire par quatre duades quelconques contenant tous les huit symboles. Mais, si nous faisons le compte de ces arrangements, nous trouvons que
(') Uji autre mode de rattacher la théorie des 28 biLangentes avec la Géométrie de l'espace a été employé par Geiser, Matheniatische Annalen, t. I. 129; c'est le suivant : D'un point d'une surface cubique, on peut mener un cône du second degré tangent à la surface. Ce cône sera une surface non singulière, ses plans bitangents sont le plan tangent à la cubique en son sommet et les plans qui joignent le sommet aux 27 droites de la surface. Zeuthen démontre que sa classification des quadriques basée sur la réalité de leurs bitangentes conduit par une voie différente aux résultats que Sclilâni a obtenus en classant ces surfaces du troisième ordre d'après la réalité de leurs droites.
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828 CHAPITRE Yï.
nous n'en pouvons faire que îo5 contenant les huit symboles en systèmes, tels que 12, 34, 56, 78. Les 210 coniques restantes correspondent à quatre bitangentes dont les symboles sont tels que 12, 28, 34? 4i? c'est-à-dire que les duades se déduisent cycliquement d'un arrangement quelconque de quatre des huit symboles, etl'on trouvera que nous avons 210 tétrades de cette sorte. Ainsi le groupe appartenant au couple 12, 34 se compose de 56, 78; 57, 68; 58, 67; 1 3, 24; 1 4? 23, et le groupe appartenant à 12, i3 est 24, 34; 25, 35; 26, 36; 27, 37; 28, 38. La notation montre donc complètementcommentles bitangentes doivent être combinées en groupes. Elle donnerait cependant à penser que les io5 coniques de la forme 12, 34, 56, 78 diffèrent quant à leurs propriétés des 210 coniques d la forme 12, 23, 34, 4'? ce qui n'est pas; les 3i5 tétrades forment un système indissoluble.
261. M. Cayley a fait remarquer que les recherches de Hesse établissent la règle générale suivante : Une substitution bifide Reproduit aucun changement dans les relations géométriques des bitangentes représentées par un système quelconque de symboles. Par une substitution bifide nous entendons qu'après avoir écrit un symbole de substitution, tel que 1234, 5678, nous permutons partout les duades 12, 34; ï3, 24; i4j 23 de même que 56, 78; 57, 68; 58, 67; mais nous laissons sans changements les duades, tels que i5, 36, dans lesquels un symbole de la première série est combiné avec un symbole de la seconde. Le nombre des substitutions bifides possibles est 35, ou bien, si nous ajoutons l'unité (aucun changement dans les duades), le nombre est 36.
Par exemple, si nous appliquons la substitution bifide 1 234- 5678 au couple 12, 34, nous obtenons le même couple dans un ordre opposé; si nous l'appliquons à 12, i3, nous avons 34, ^4? couple de même type que 12, i3; si nous l'appliquons à s 2, i5, no LIS obtenons 34, i5, couple d'un type différent en
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apparence, mais qui ne diffère pas quant aux relations géométriques. Si de même nous appliquons la même substitution bifide que ci-dessus au tétrade i5, 67, 28, 34, q^n appartient au système des io5 dont on a déjà parlé; nous obtenons i5, 58, 82, 21, qui rentre dans le système des 210 et qui, suivant la règle, possède les mêmes propriétés géométriques.
26^. Dans le Tableau qui suit, M. Gayley a fait ressortir les relations géométriques des bitangentes, prises une à une, deux à deux, trois à trois ou quatre à quatre, et le nombre de termes appartenant à chaque type d'arrangement de symboles.
