ATT

est pi — (iir = o; et^ comme nous avons trouve p. = — ^jt^?

nous avons 9 = — " tït^' ^^ le problème est complètement résolu.

239. Nous allons indiquer une autre forme générale à laquelle on peut ramener l'équation d'une cubique et qui est la suivante :

ax'^ -{- by^ -f- cz"^ + dii^ = o où

x-\-y-^z-^u^=zo,

La conique polaire d'un point [x' ,y ^z\ u') étant

ax' x^ -+- by'y- -h cz' z- -h du' ir =: o,

la conique polaire du point pour lequel ^^= o, jk'= o est un couple de droites passant par ^^ = o, ^ = o, on voit par là que les points ^jK, ^u \xz,yu'^xujyz sont des couples de points correspondants sur la Hessienne. La forme que nous venons d'écrire contient implicitement onze constantes et l'équation générale d'une cubique peut s'y ramener d'une infinité de manières. Les valeurs des invariants pour cette forme sont^

S = — abcd,

— 2abcd{ab ^ ac -^ ad ^ bc ~\- cd -\- db).

Le discriminant se forme au mojen de trois équations

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29B CHAPITRE y.

obtenues en prenant les dérivées par rapport k x, y'j z respectivement; ces équations sont

aœ'^=::dir, by'^:=^du^^ cz'=:du^;

donc ^, y, z^ u sont respectivement proportionnels aux inverses de y/a, y/6, yc, \/d. En substituant ces valeurs dans ^+jK+^ + i^=o, nous obtenons le discriminant sous la forme

^ bcd + sjcda -^-\Jdab -\-\Jabc ■=. o.

Cette expression, débarrassée de radicaux, donne, comme plus haut, R = T2 + 64S3 = 0 ( ' ).

240. Nous terminons ce Chapitre par quelques remarques sur le cas où la cubique se décompose en une conique et une droite. Si une courbe possède deux points doubles, ou un rebroussement, non seulement son discriminant est nul, mais il en est aussi de même des fonctions obtenues en différentiant, par rapport à un quelconque des coefficients de Féquation primitive, l'expression générale du discriminant en fonction de ces coefficients (voir Algèbre supérieure, n°^ 103, 113). Mais l'expression du discriminant d'une cubique étant de la forme

T2-h64S^zz=0;

ses différentielles sont de la forme

^<:/T r.^d^ r^dT r.^d%

da ^ da db ^ db

(*) Pour les autres invariants et contravariants, quand l'équation est écrite sous cette forme; voir Philosophical Transactions, p. 262 ; 1860. Voir aussi la Géométrie à trois dimensions, n° 538, pour quelques remarques sur la méthode par laquelle on forme les invariants, etc., quand l'équation a été écrite avec une variable additionnelle liée aux variables originelles par une relation linéaire.

Si la courbe a un point de rebroussement, nous avons S = o, T = o (n° 224), et toutes ces différentielles s'annulent conformément à la théorie. Si la courbe a deux points doubles, c'est-à-dire si la cubique se décompose en une conique et une droite, nous avons la suite d'égalités de rapports

da " cla

dl^ ^ dS db ' db

dT ^dS de ' de

Ces équations, écrites tout au long, formeraient un système d'équations dont chacune est du huitième ordre par rapport aux coefficients ; elles constituent le système de conditions pour que l'équation générale du troisième degré soit résoluble en facteurs.

241. Il est une autre forme sous laquelle on peut écrire les conditions précédentes. Remarquons d'abord qu'un point double sur la courbe étant aussi point double sur sa Hessienne, les équations d'un pareil point satisferont aux équations obtenues en différentiant par rapport à ^, jk, ^ les équations et de la courbe et de la Hessienne. Dans le cas de la cubique, ces six équations différentielles sont toutes du second degré, et nous pouvons en éliminer linéairement les six quantités x^, y^y z'^^yZj zx^ xy de manière à obtenir le discriminant sous la forme du déterminant

Nous avons vu aussi (n° 226) que les conditions pour que la courbe ait trois points doubles s'expriment en prenant une quelconque des trois premières lignes horizontales, la ligne

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3oO CHAPITRE V.

correspondante dans les trois autres et en égalant à zéro le déterminant formé avec deux colonnes quelconques de ces lignes. De la même manière aussi, les conditions pour que la courbe ait deux points doubles s'expriment en prenant deux quelconques des trois premières lignes et les deux lignes qui leur correspondent dans les trois autres, et en égalant à zéro le déterminant formé avec quatre colonnes quelconques de ces lignes. Pour le démontrer, il suffît de remarquer que, si U = PV, V représentant une conique et P une droite a^ + p^-f-y^, la Hessienne de U est de la forme XU + [jlP% comme nous le démontrerons dans le numéro suivant. En conséquence, nous avons

dx ~

'^dx^

3ixaPS

dy-

, dU

dz ~~

, dU dz

îp^p-

lisons

^ dx

dll

,dl] + aX -T- = o:

ce qui montre que les différentielles de H et U relativement à ^ et jK sont liées par une relation linéaire identique et que, par conséquent, le déterminant formé des coefficients de quatre termes correspondants de ces équations s'annule.

242. La Hessienne de l'expression PU, dans laquelle P représente la droite oljo + ^y + yz etU une fonction de degré quelconque, peut se former de différentes manières. Les dérivées secondes de PU sont P(2+2aL, P^ + s^M, Pc+2yN, P/+pN + yM,P^ + yL + aN,PA + aM-+-[3L; dans ces expressions, L, M, N représentent, comme précédemment, les dérivées premières, et a, b^ . . . les dérivées secondes

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COURBES DU TROISIÈME ORDRE. 3oi

de U. Servons-nous de ces valeurs pour former Féquation de la Hessienne et réduisons le résultat au moyen du théorème sur les fonctions homogènes

{n ~ i)h^=i ax + hy -^- gz] nous obtenons pour la Hessienne de PU

^' psH ^L FPU;

ici F est la quantité [hc —/'^)ol' + . . . (n^ 184) qui, géométriquement, représente le lieu des points dont les coniques polaires sont tangentes à la droite donnée.

Plus généralement, nous trouverons de la même manière que la Hessienne de UV est

{n'—iy (^ — 0'

(UV20 + U-Y0')

uvw.

Gomme dans les Sections coniques^ n"" 370, 6 et ©^ représentent respectivement ici (^c—/-)a^+. . . et(6V — f-)a-\-..,y et W est le covariant

{bc'-{-b'c — iff ')!!.'-{- ..,.

La forme que nous venons d'écrire montre que les intersections de U, V sont des points doubles sur la Hessienne et que les tangentes en ces points sont respectivement les tangentes à U et V (^).

(•) Pour la théorie générale des formes cubiques ternaires, voir les IMémoires d'ARONHOLD, Journal de Crelle, t. 39, p. i4o (i85o) et t. 55, p. 97 (i858); le troisième et le septième Mémoire sur les formes de M. Gaylly, Philosophlcal Transactions^ i856 et 1861, et le Mémoire de Clebsch cl GoRT)K^,Mathematische Annalen, t. I, p. 56 (1869), t. VI, p. 436 (iS^S). Voù aussi GuNDELFiNGER, Math. Annal. :> t. IV, p. i44 (18; O*

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243. On se rappelle que nous avons établi la classification des courbes du troisième ordre en combinant entre elles une division fondée sur les éléments caractéristiques que la projection n'altère pas, et une autre division basée sur la nature de leurs branches infinies. Les mêmes principes de classification sont applicables aux courbes du quatrième ordre ou, comme nous les appellerons, aux quartiques ; mais le nombre des espèces est si grand et la discussion de leurs formes constitue un tel travail qu'il semble sans utilité d'entreprendre la tâche d'une énumération. Nous nous contenterons ici d'attirer l'attention, d'une manière générale, sur les points principaux dont on doit tenir compte dans une énumération complète. Une quartique peut être non singulière, c'est-à-dire n'avoir pas de points multiples, ou bien elle peut avoir un, deux ou trois points doubles, et quelques-uns d'entre eux ou même tous ces points peuvent être des points de rebroussement. D'après cela, nous avons dix classes, pour lesquelles les caractéristiques de Plûckeretle genre (n""^ 44, 82) sont les suivants: