OÙ

(dca):=z a^{d.^c^— ?>d^c^-\- ?>d^c^ — d^Cç,)

-\- ai{d^CQ — Zd^c^ + 3<iiC2— d^c^)^ {dlP')^=- dç^h\ — [\d^b^b.2 + ^d^bl + ^d^^b^b^ — [\d^bQb^-\-dj,bl, (c^ b) ~ b^ (C0C2 — c| ) — ^1 (co C3 — Cl C2) + 60 (Ci C3 — c^ ) ;

les invariants (<i^), {dca)^ . . ., sont tous connus d'après la théorie des formes binaires.

294-. L'invariant B qui vient immédiatement après comme simplicité est du sixième ordre par rapport aux coefficients. On peut le former en prenant les six équations que l'on obtient en différentiant deux fois l'équation donnée par rapport à ^, JK, z, et en éliminant dialytiquement x^,jK^, ^^, zx^ xy^ yz entre ces six équations. Nous avons ainsi B sous la forme du déterminant

Nous allons maintenant donner l'expression développée de B. En passant, nous remarquerons que Clebsch s'est servi de cet invariant pour montrer que la forme

dans laquelle />, q^ r, 5, t sont des fonctions linéaires des coordonnées, n'est pas une de celles auxquelles on puisse ramener l'équation d'une quartique quelconque. Comme />, ^, . . . contiennent chacune implicitement trois constantes, la forme qu'on vient d'écrire contient quatorze constantes indépendantes, et par conséquent paraît, à première vue, susceptible d'être employée comme forme canonique suffi-

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IINVATIIANTS ET GOVARIANTS DES QUARTIQUES. 878

samment générale pourreprésenter une qiiar tique quelconque. Mais, en formant pour l'équation ci-dessus l'invariant B, on trouvera qu'il est nul et que, par conséquent, cette forme ne représentera que les quartiques pour lesquelles B = o (^).

295. Pour le calcul de la valeur de B, il est commode de se servir de la valeur suivante d'un déterminant symétrique à six lignes et six colonnes, dont les éléments sont représentés par a-, ab^ ac^ ... ; èa, b'^, bc^ ... :

a^ b^ e- cl- e^f --^a'b^ c" d? ( eff ^ iy.o}b''c' .de, ef.fd -^^a'b''{cdY{efY — i^a'-b''. cd.de. ef.fc-^ i^d^ .bc.cd.de. ej .Jb

— ilLa''{bcYde.ef.fd-^iI.{aby-cd.de.ef.Jc — ^ {aby {cdf {eff

— i^ab .bc.cd.de. ef .fa -\~ 2 I^ab .bc.ca.de . ef.Jd.

La valeur développée de B est la suivante :

abc {fgh — //^ — gi-n} — A/i^ + 2 Imn ) ~bc[l'* — l^ gh + i{gm — ni) a^l -\- i{ hn — ml) a^ l

-\-{n^—fg)al-^{m'' — fh)al-\-'2{fl—mn)a,^a,']

- ca [ m'' — ni^fh -\-2{/l — jjin )b^7n + 2{hn — ml) b^ m

-^{n'^-fg)b\-^{l'-.gh)bl-\-i{gm~nl)b,b,'\

- ab [ n'* — ^^^^fg H- 2 (// — mn)ci n -i- 2 {gm — ni) c^ n

-^{m^—/h)c\-i-{l^ — gh)cl-i-2{hn — lm)c,c,^] .{af-^ bg'' ■+- cJi^ ) {fgh —fV — gm"" — hn"" + 4 Imn )

- 8 ( afni" n'- + bgn'' V H- chP- /n^ )

- 2 af^- [b^ gn + Cl hm ) -+- 2 bg'^ {c^hl-\- a^Jn ) + 2 cli'-' ( ajm -\- b-^gl)

- 2 af{ b^ n^ -hc^m^) — 2bg{ c^ l^ -^ a^n^) — 2 ch {a^m"^ -{- b^ P )

- 2afl{b.^n'^^ c^m}) -\- 2bgm{cy P' -\- a-^n''-) + 2chn{a'^m} -\- bi l^)

- 2afmn{b.^g -\- c^h)-~ 2bgln{c^li-^- a-J)— 2chlm{ayJ-^ b^g)

- 2 a ( 63 mn^ -\- c^nv' n)— 2b{ c^ nl^ -^ a^ln^)— 2c{ a^ Im^ -h b^ ml^ ) -a{blgn^^clhm^)-^b{clhl'-halfn'')-\-c{alJm^-hblgP)

- 2afl{mb^Ci H- nbiC^)-^- 2b gm {nc^a.^~\- lc^a^)-\- 2chn(la^b>^-\- ma^b^)

- 2amn{mb^Ci H- nb^c^)-^ 2bnl{nc^a.^-\- Icia^)-^- 2 clm{ la^b^ -+- ma^ b.^] - 2 af{hnb^Ci -+- gmb^ c^) — 2bg {fie 2 ^3 H- hnc^ a^) — 2 ch{gina^ by ~\-flao b-^)

(^) Cette classe de quartiques a été étudiée par Lûroth {Mathematische Annalen, t. I, p. 3^; 1870).

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3^4 CÏIAIMTRK VI.

-^2{fg li-\-lmn) {ab^c^-\-bc ^ a^-\-ca^^ b^) — 2 afP- b-^ c^ — 2 bgiii'-' c^ a^ — 2 cliii-a.b^

— 2 ( af'^ eb^ Cl + bg'^ mc^ a- -\- ch^ na^ b^ )

— iab^c^{b^gn-\- c^km) — 2 bc^a.^(^c^hl H- a^fn) — ica^b^ {a^fm -\- b^gl) + 2 a^i Cl ( ^2 ^^ 4- b^n})-\~ 2 bc^ a^^a^n"- -\- CxV^) -\- 1 ca-^ bs{biP-i- a^ m^ )

— 2 al{mbic\ 4- riCib\) — 2 bni{nc^^a\ -\- la^cl) — 2cn{a^b\ -^b^a\) + a{hblc\-^- gb\cl) ^ bifclal-^ hc\a\)^ c{galb\^ ha\bl)

-f- afb\ c\-\-bgc\ a\-^chal bl-\-ialb^ c^ b^ Ci-\-2bmc^ a^c^ a^-\- 2 cna^^ b^ a^ /^^

— 2 ab^Ci {mc^b^-\-nbiC^) — 2 bc^a^^na^c^-^- Ic^i^a^) — 2 ca-^b ^{Ib ^cii-i- ina-Jj ^) -r if g'*- li^ — fgh{fl^ -^ gm"" -^ hn})-\- lofghlmn — (//^+ gm? -^ lni'-y

-h 2 /m/2 (//2 | gjyf^ | /|,^2 ^ — p-mP- n}

-\- 2 ( ^1 ^n + Cj /i7?2 ) (^vn^ + hn} — 2//^ — fgh — Imn )

H- 2 ( «2/-^^ -^ c^hl) {hn^ -\- fP- — 2 ^772^ — /5>7z — Imn )