a^x^z 4- f^b^y^x 4- ^bzy^z -\- [\c^z^x 4- 4<^2^^7~o

Le concomitant de l'ordre le moins élevé en fonction des coefficients est le contravariant (n° 92) du second ordre par rapport aux coefficients, dont l'expression symbolique est (ai 2)^; quand cette fonction est nulle, elle exprime que la droite a^-f-^jK + y^ coupe la quartique en quatre points pour lesquels l'invariant S est nul. Nous appellerons ce contravariant a-; il est du quatrième ordre par rapport aux va-

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IlSYAUIANTS ET COYARIANÏS DES QUARTIQUES. 87!

riables a, (3, y ^t ses coefficients sont

K — bc -\- Zp — [\h^c^ B trz ca H- 3^-^ — 4^1 ci-i

V ■=! af -\- gh 4- 2 /'^ — 2 «2 ;i — ia^ m

G =: ^^' -H A/ 4- 2 7?i- — 2 />3 / — 2^1 ;i II =r cA +/^^' H- 2 /i^ — 2 Cl m — 2 (?2 ^

L =rz 2// — 77171 — gb-^ — hc^ 4- bi Cl

M =: 2 g77i — Til — hci — fa^ + Cg a^

N = 2 /i/2 — l77i — fa^ — gbi -H «3 ^3

A2 = 3/72C2 — 3 nf — cbi -h ^3 Cl, A'^-=: Snb^ — 377i/ — bci H- biC^ ,

B3=:3/^a3 — 3/^ — ac2 4-^2<^i> Bi-r=3/ci — 3/i^ — ca2H-C2<r^3,

Gi = 3/6i — 3m/z — ba^-^b^a^, G2^=3/?ia2 — 3/A — ab^-^-a^bi.

293. Le contravariant que nous venons d'indiquer est l'évectant de l'invariant le plus simple A, lequel est du troisième ordre par rapport aux coefficients et a pour expression symbolique (i23)'*; autrement dit, on trouve a- en effectuant sur A l'opération

et réciproquement les valeurs déjà données pour les coefficients de a- nous permettront d'en déduire les coefficients de A. Cet invariant est

A iziz abc H- 3 (a/- -f- bg^ 4- cJi^) — [\{abàC^^ 4- bcia^ 4- ca.^b^ ) -r- 1 2 (//^ 4- g77i'^ 4- h7i^ ) 4- ^fgh — 1 2 lm7i

— .r 2 ( a2 7if 4- ^3 /7if 4- bi 7ig 4- ^3 Ig 4- Cl mh 4- C2 Ih )

- r I 2 ( Ibi Cl --H 772^2 «2 4- 7ia^ ^3 ) + 4 ( <^2 ^3 <^1 + ^*^3 ^1 <^2 )•

Si nous employons la même notation que dans le n*^223, la \aleur de A peut s'écrire

r(6/^)4-4(^ca) + 3(^6-) — i2(c2^),

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3'72 CHAPITRE YI.