CoC3 — CiC2)' + 2(CoC2 — C^)(CiC3 — c

— 2<i3(CoC2 — c^) (C0C3 — C1C2) + <^4(CoC2 — cf )-, ( èa^ ) rzz ^2 ^0 — 2 ^j «0 <^i -+- boal, {d'cb^a)=: [boa^Ci — ^1(^1^0 4- <^oCi) H- ^2<^oCo]P

+ [b^a^c^— by{aiCi H- «^0^2) + ^2<^oCi]Q H- [60^1 C3— bi{aiC^ + aoC3)+ è2<^oC2]R et

P = bç^^d^d,^-— d\) — b^i^did^ — d^d^)-^ b^{did-^— dl),

Q~ bQ{d.j,d.^ — didr^)~bi{dl — ^o<^4) + b^^d^d.^ — d^d-^), Rnz bQ(did.i — d'I) — bi {d^d-^ — did^)-{- b^^d^^d^ — d\) {d^b^)^{d^d,~dl)bl~\-{d,d,-dl)b\^{d,d^-d\)b\ + ib^b^^did^-— d^d^)

-\~ 2b^bQ{did^ — dl) -f- 2 b^bi^d^d^ — d^d^), (<ic^èa)=zao[P(ciC3 — c^)+ Q(c2Ci — CoC3)+R(çoC2— c^)]

+ ai [ P^ (Co C2— c? ) + Q' ( Cl C2— Co C3 ) + R' ( Ci C2— c^ )], où

p — bQ{c^^d^ — C3<ii)H- bi{c^dQ — Cid^)-h b^{cidi — c^do), q^ boic^d.^ — c^d^) H- bi{c^di — Cid-i) + b^{cid^ — c^dy), ]\~ b^{c^dr,~ c^dz) -^ bi{czdi--Cid,^)-\- b^ic^do — c^d^),

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376 CHAPITRE Yl.

0'=- bo{c^d2— Cid^)-{- b^{cQds— c^d^)-^ b^icid^ — CQd^)^ IV = ^0 (^2 <^i — <^i <^2 ) + ^1 ( <^o ^k — C2do)-\~ b^ic^do — Cq d^), (dc'^ b^):z=i do[cl b^bl — '2C^C2{b(^bib2-\-b\) -h'2C^c^b\b^^ -\-cl{b,bl-^?>b^b\) — [^c,c.^b,bl-\-b\c\'\

— 2d^[clblb.^ — c^'C^X^lb2+ "^^bç^bl)

-+-c^Coblb2-\- 2clbobib2 -{-c^c^blb^ — iCç^c^b^bl — clb^pl-^ Cç^c^bll -f- ^2 [^3 ^0 — 2 C3 Cl ( bl ^2+ 2 ^0 ^1 ) + 2 <^3 Co ( ^1 + ^0 ^1 ^2)

— 2 C2 Co (Z?0 ^1 + 2 62 ^1 )— C^ ( /^O 6? + 2 ^2 ^D ^-<^0 ^2]

— id.^[clb\b^— Cf^c.^{bç^bl-i- ^b^bl)-^ c^c-^b^bl

^2c\bQb^b2-\-c^C2bç^b\—iCiC^blb^—c\bJ?l-i-C2Czbl'] -^ d^lclb^bl— 2 Co Cl (^0^1 ^2+ ^1)-+- 2CoC2^i ^0 + c?(6,^Z^2-H3Z^o^n+i^oCi^i^o-H^Scy,

(c^ b)=:b,^{CoC2—cl) — bl (C0C3 — Cl C2) + ^0 (Ci C3 — cl ).

t297. Nous avons vu (n^ 221 ) que, si nous avions un co variant du quatrième degré, nous pourrions déduire des invariants déjà obtenus toute une série d'autres invariants. On peut immédiatement avoir un invariant de cette nature en ibrmant l'équation du lieu d'un point dont la première polaire est une cubique pour laquelle l'invariant S s'annule; en d'autres termes, en égalant à zéro le S de la cubique polaire. L'expression symbolique de ce covariant est

Le covariant de la quartique

ax^ H- by^ -\- cz^ -\- d u/' -{- e ^^ ^=.0

est de la forme

Donc, comme nous l'avons vu, la première forme, quoique

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INVARIANTS ET GOVARIANTS DES QUARTIQUES. 877

contenant en apparence un nombre suffisant de constantes, est une forme spéciale à laquelle l'équation d'une quartique ne peut pas en général être ramenée; de même aussi la seconde équation est une forme à laquelle on ne peut pas ramener l'équation d'une quartique, à moins qu'une certaine relation entre les invariants ne soit satisfaite.

Il y a encore d'autres covariants du quatrième degré; mais celui dont nous venons de parler est de l'ordre le moins élevé en fonction des coefficients. Tout autre covariant du quatrième degré et du quatrième ordre par rapport aux coefficients doit être de la forme S -f- A'AU, dans laquelle k est un coefficient numérique et A le premier invariant. On peut facilement le vérifier en formant le contravariant du contravariant du n° 292.

298. Les valeurs générales des coefficients de S n'ont pas été calculées, pas plus que celles des invariants d'ordre plus élevé. J'ai pensé cependant qu'il était intéressant d'étudier le cas particulier

a^^ + by^ -f- cz^ --h 6/ y^^ ^ ^gz^œ''- + ^hx^y- — o.

Cette forme, qui ne contient implicitement que onze constantes, est par conséquent un cas très particulier de l'équation générale de la quartique; mais elle se prête facilement au calcul, parce que le covariant S est de la même forme

et par conséquent (n^ 221) on peut d'un invariant quelconque déduire un autre invariant, en effectuant sur le premier l'opé-

ration d,-. — \-h -^j -\- - - * -, que nous représenterons par le

symbole cp. Quoique des invariants qui existent en général puissent s'annuler pour le cas particulier que l'on considère ici, les invariants qui sont distincts dans ce cas seront cependant distincts en général. En calculant les invariants pour le

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cas parliciiHer, nous obtenons tous les termes des invariants généraux qui ne contiennent que les coefficients a, 6, c,/,

Les valeurs des coefficients de S, pour la forme en question, sont

a =6^-/r, b=:6Ay^

f -=. bcg/i —f{bg'--'r~ ch') —fgh, g zrz ca/if — g{ch^ + af) —fg'-h, h =r ahfg - h{ap + %2 ) -fgh\

Il esl bon de se rappeler que, pour la même forme, les valeurs des coefficients du contravariant a* (n" 292) sont

A z=i bc -{- 3/^ , B = ca-i- 3i

F = a/+ gh, G-bg-^ h/) H =^ ch -^fg.