c2-i-2a3Ci— ^aiC.,)iJ

4- ( 4 ^2 <^3 + 4 ^2 <^1 2 <:/2 ^3 2 «2 C2 2 Z?i Z?3 2 ^i Cg ) vX

4- ( 4 «2 <^3 + 4 ^1 <^3 — 2 ^1 ^2 — 2 «3 Z^3 — 2 Ci 63 — 2 C2 ^3 ) X [JL zm O,

L'enveloppe est donc une conique que nous appellerons la conique polaire et qui est aussi la même, que les droites appartiennent au premier ou au second système.

Si nous nous servons maintenant des mots de pâle et polaire pour exprimer le genre de correspondance que nous considérons ici, nous avons immédiatement la polaire d'un point situé sur la conique pâle. En eflfet, de ce point menons deux tangentes à la conique polaire : l'une d'elles est la polaire quand le point est considéré comme appartenant au premier système ; l'autre est sa polaire quand il est considéré comme faisant partie du second.

Réciproquement, nous pouvons trouver le pôle d'une tangente à la conique polaire. Nous n'avons qu'à prendre les deux points où cette droite rencontre la conique pôle ; l'un de ces points est son pôle dans le premier système et l'autre son pôle dans le second.

Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouverla polaire d'un point quelconque O. Menons de ce point deux tangentes OT, , OÏ2 à la conique polaire. Supposons que OT^ rencontre la conique pôle en Ai, A2, et que OTo la coupe en Bi, Bo. Si

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ÉCIÎA?(Gi: ErrrUE les COOIîDD.^NÉES de DUOJTE et de point. ^2D

alors Al est le point du premier système qui correspond à OTi et B, celui qui correspond à OTo, A^B, est évidemment la droite du premier système qui correspond à O considéré comme appartenant au second système. Demême A2B2 est l'autre polaire de O.

Inversement, pour trouver le pôle d'une droite donnée qui rencontre la conique pôle aux points A, B, nous mènerons de ces points les tangentes AP^, APs^ BQi? BQ2 à la conique polaire; et si APi, BQ< sont les droites du premier système qui sont les polaires de A, B, leur intersection donnera le point du premier système qui est le pôle de AB. Et de la même manière, l'intersection de AP2; BQ2 donnera le point du second système qui est le pôle de AB.

Le lecteur verra facilement comment ces constructions se ramènent aux polaires réciproques ordinaires, si a2=6o /:?3 = C2, Ci =z «2- Les coniques pôle et polaire coïncideront alors, la polaire d'un point sur cette conique sera la tangente en ce point; la polaire d'un autre point quelconque sera la inême pour les deux systèmes, ce sera la droite qui joint les points de contact des tangentes menées du point à la conique.

336. Il résulte immédiatement de ces principes que, dans le cas général, la conique pôle et la conique polaire ont un double contact l'une avec l'autre. En effet, prenons un point (l'intersection de ces deux courbes; ses deux polaires coïncident avec la tangente en ce point à la conique polaire, les deux pôles de cette droite doivent donc coïncider, et par conséquent les deux points où elle rencontre la conique pôle doivent se confondre ; la tangente à la conique polaire en ce point d'intersection doit donc aussi être tangente à la conique pôle. Même démonstration pour l'autre point d'intersection. M, Gayley l'a également prouvé analytiquemènt en montrant ([lie, si U =: o est Téquation de la conique pôle, celle de la

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426 CHAPITRE Ylll.

conique {3olaire (qui se trouve en remplaçant \, ^.y v parleurs valeurs dans Féqualion du numéro précédent) peut être mise sous la forme

--h chib^c-i'— b-^c^)-^ a^{b^Ci ~ b^c^)'\-=zo. Cette forme montre qu'elle a un double contact avec U.

337. Il y a, dans le cas général, trois points dont les polaires sont les mêmes par rapport aux deux systèmes. Supposons en effet cjue dans chaque système les équations des polaires soient

\x-\-\ky-\'NZ^=io et X'cT -h [jl'jk H- v^^ ==: 0.

11 est clair alors que le système d'écjuations

X (JL V

est satisfait pour trois points. Et la théorie exposée dans le numéro précédent montre immédiatement ce que sont ces trois points. En effet, deux points de contact des coniques pôle et polaire ont chacun la même polaire dans les deux systèmes : ce sont les tangentes communes en ces points, et le point où les tangeates se coupent a aussi la même polaire dans les deux systèmes; c'est la corde de contact des coniques.

11 y a donc trois points qui ont la même polaire dans les deux systèmes ; deux, de ces points sont situés sur leur polaire, mais le troisième ne s'y trouve pas.

338. Il est bon de montrer que les constructions que nous avons données ne présentent pas d'ambiguïté et que nous n'avons pas besoin de nous inquiéter de savoir quel est celui des deux pôles d'une droite donnée c[ui appartient au

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