ÉCHANGE ENTRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT
332. Dans la méthode de transformation que nous venons de décrire et dans les autres que nous avons considérées dans ce Chapitre, un point correspond à un point et une droite à une droite; il existe néanmoins des transformations dans lesquelles un point d'une figure correspond à une courbe dans l'autre figure. Nous rencontrons une transformation de ce genre dans la méthode des polaires réciproques, où un point correspond à une droite et réciproquement. Il en est aussi de môme dans la transformation homographique plus gêné-;
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422 CHAPITRE YlII.
raie, ou dans la théorie des réciproques gauches, qui est définie comme il suit : Imaginons un système de coordonnées de points x^ y, z et un système de coordonnées de droites a, j3, y situés dans le même plan ou dans des plans différents; un point du premier système correspondra à une droite du second si les coordonnées x, j, z du point sont respectivement proportionnelles aux coordonnées a, (3, y de la droite. Dans ce cas, une droite quelconcjue Ix + my + nz du premier système aura pour correspondant le point la~\-m^-\-n^ du second. Il est évident aussi qu'un système de quatre points situés sur une même droite aura pour correspondant un faisceau de quatre droites ayant le même rapport anharmonique. En effet, le rapport anharmonique de j^ — lx,y — mx^ y — nx^ y — px est la même fonction de /, m, az, /j>, cpie x ely représentent des coordonnées de droites ou de points. La méthode que nous venons d'indiquer peut être combinée avec une autre quelconque des transformations que nous avons définies dans ce Chapitre; autrement dit, nous pouvons supposer c[ue, dans l'une quelconque d'entre elles, un des systèmes de coordonnées a été changé en un système de coordonnées de droites ou coordonnées tangentielles ; et de cette manière nous pourrons obtenir toutes les transformations possibles dans lesquelles un point correspond à une droite, et une droite à un point.
333. Supposons maintenant que les deux systèmes soient situés dans le même plan et cherchons à exprimer la transformation uniquement à l'aide des coordonnées cle points. A un point quelconque (x', y\ z') doit correspondre une droite dont les coordonnées rapportées à un certain système de coordonnées de droites (a, p, y) sont [x' ^ y' y z'). Ceci revient à dire que son équation doit être x'^-\- y'Y -\- z'Tj=-o où X = o, Y = o, Z = o sont les droites qui joignent les points représentés par a=::o, [3 = 0, y=:o; et, comme ce
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ÉCilANGE ExMRE LES COORDONNÉES DE DROITE ET DE POINT. 420
sont des droites connues, l'équation de la droite qui correspond au point x'y z' doit être de la forme
C'est une équation qui contient huit constantes et qui coïnciderait avec l'équation de la polaire d'un point par rapport à une section conique, si l'on avait seulement b\^= a^-, Cv = <^2? ^3 == ^2 ; l'équation, dans ce cas, ne contiendrait que cinq constantes.
334. Dans le cas général, chaque point a pour correspondant une droite différente, selon que le point est considéré comme appartenant au premier ou au second système. Ainsi l'équation que nous venons d'écrire exprime la relation qui existe entre un point (x- , y' ^ z') du premier système et un point [x^y, z) situé sur une droite correspondante du second système. Supposons maintenant que le dernier point soit fixe et le premier variable, nous aurions pour la droite du premier système qui correspond à un point du second l'équation
~^{a^x' -^ b-^y' -\- c^z')z-=io.
Dans le cas des polaires réciproques par rapport à une conique, la même droite correspond à un point unique, qu'on le considère comme appartenant au premier ou au second svstème.
335. Pour donner, dans le cas général, une construction géométrique de la droite qui correspond à un point, nous chercherons d'abord le lieu des points qui se trouvent sur les droites qui leur correspondent. C'est évidemment
-i-(a3-h Ci)xZ 4-C35-—U--0.
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4 2^1 CHAPITRE VlU.
Et c'est la même conique que le point soit considéré comme appartenant au premier ou au second système. Nous l'appellerons la conique pôle.
Cherchons maintenant l'enveloppe des droites qui passent parle point qui leur correspond. La droite \x^ -\- ]}.y -\-y z^ (où x\ y\ z' est un point de la conique qu'on vient d'écrire) est tangente à la courbe (voir Sections coniques^ n° 151)
H- ( 4«i ^3 + 4 ^1 ^2 — 2^2 «3 — 2 ^2 Cl — 2 5i «3 -— 2 ^i Cl ) (J.V
