ÉCHANGE ENTRE LES GOORDO?(NÉES DE DROITE ET DE POLNT
deux polaires de TLin ou l'autre de ces points, lesquelles, en général, ne passeront pas parle même point, et à faire tourner la figure de manière à amener ces polaires à coïncider, et alors, d'après ce que nous avons démontré, les polaires de tout autre point coïncideront.
341. Nous pouvons facilement obtenir une expression qui définisse Fangle dont il faut faire tourner la figure. Les deux figures étant concentriques et l'origine étant le centre, on voit facilement que les équations les plus générales des deux polaires d'un point sont
et
Les deux polaires du point à l'infini, pour lequel /^= ix' j
sont
(^1 H- lb^)x ^ (<^2-+- «'^2)7 = 0,
et l'angle dont l'une de ces droites doit tourner pour coïncider avec l'autre est la différence des angles dont les tangentes sont
«1 + ib^ «1 H- ia^ n- Qi
^1 + i^^^ C'est donc l'angle réel dont la tangente est — 7-^ •
342. On peut obtenir le même résultat plus simplement comme il suit : si, en général, la droite du second système qui correspond au point {x' ^ y') dans le premier est
quand le second système a tourné d'un angle 9, Téquation de cette droite devient
{a^x' 4- b^y'){x cos6 — y sinô)
-^\a^x' -\-b2y'-){^'i^ sinô -i- j cosG)h- Csrzr o
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43o CHAI' il RE VIU.
OU bien
[(«1 cosO + a2sin6)^^4- {b^ cos6 H- b^ sinO)/']^^
H- [(^2 003 6 — (2iSin6)^^ + (^2COSÔ — ^isin6)y]j + ^3= o.
Mais le lieu des points du premier système dont les polaires passent par x\y' ^ c'est-à-dire la droite qui correspond à x' y' ^ considérée comme appartenant au système transformé, sera
[(aicosô -H a^sinô)^^ + (a2cos0 — a^?>m^)y'\x
4- [(^1 ces 6 -\- b^ sinO)^' -4- (Z^gcosô — ^isinô)^]/^- 03 = 0.
Cette droite coïncidera toujours avec l'autre, si nous avons
b^ CCS ô 4- Z>2 sin 0 = (22 cos 6 — a^^ sin 0
oUj comme ci-dessus,
tango r= ^•
343. Avant d'aborder la théorie générale, il sera instructif d'étudier en détail une autre méthode particulière : c'est celle où les coordonnées du point P^ sont des fonctions du second degré des coordonnées de P, c'est-à-dire où x' \y\ z' =U : V : W. Ainsi aux droites ^i=o,jk = o, ^ = 0 correspondront trois coniques U = o,V = o,W= o; et, en général, à une courbe d'ordre n il correspondra une courbe d'ordre "^n, dont l'équation s'obtiendra en remplaçant dans l'équation donnée x^y, z respectivement par U, V, W. Nous avons déjà employé cette méthode (n°' 252,272). On en a un exemple simple quand la relation entre F et P est exprimée par les équations
à une droite quelconque Ix -\- my -I- nz correspond alors une conique Ix^ + ?ny'^ -f- nz'^ tangente aux côtés du triangle ^/z,
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THANSFORMAÏION I)U SECOND DEGIIÉ. !\?) l
tandis qu'aune droite de la secondefigure correspond une conique dans la première. A la courbe (a, b, c^f^ g^ h){x^y^ z'^) de la première figure correspond la cjuar tique
ax + by -H c^ 4- 2//- z-
