gz- x--\-2hx'^y-z=zo

et, comme l'équation générale d'une conique peut être écrite sous la forme

f fgf^r ' Vr fëV

il s'ensuit que l'écjuation de la qmartique correspondante

peut se mettre sous la forme ax'^ + by'^ + cz' + dw'- --= 0 ;

elle est donc trinodale et a les droites x, y^ z, iv pour bitan-

Sfcntes.

344. La méthode de transformation qu'on vient d'indic[uer, dans laquelle

n'est, en général; pas rationnelle ; en effet, étant donnés .r, jK, z^ nous en déduisons bien x' , y' , z' sous forme rationnelle; mais, quand x' ^ y^ z' sont donnés, nous avons, pour

, . . U Y W . trouver x^ y, s, les équations — y = — = — y-, qui représentent

des coniques ayant quatre intersections communes; par conséquent, à une position quelconque du point (^^5^/, z^) correspondent quatre positions du point (^, jk, z). Si les coniques U, V, W avaient un point commun, ce point, étant indépendant de la position du point variable (x^ , y' y z')y pourrait être laissé de côté; et à une position c|uelconque de l'un des points correspondraient trois positions de l'autre point. On traiterait de même le cas où U,V,W auraient deux points communs; enfin, si elles en avaient trois, les coniques

432 CHAPITRE Vlil.

outre les trois points fixes, n'auraient plus qu'un seul autre point commun. La transformation est donc rationnelle dans ce cas et à une position quelconque de l'un des points correspond une seule position de l'autre point. Nous n'aurions à faire qu'un changement pur et simple de coordonnées si, au lieu des coniques U, V, W, nous prenions trois coniques de la forme /U + ni\ -{- n'Vsf ^ et si nous nous donnions ainsi les droites correspondantes Ix + niy -|- nz pour nouveaux axes de référence. Nous ne perdrons donc rien en généralité si nous prenons pour U, V, W les trois couples de droites obtenus en joignant chacun des points fixes aux deux autres. La transformation rationnelle du second degré la plus générale est donc celle que nous avons déjà employée (n°^ 283) et dans laquelle deux points correspondants sont liés par les relations réciproques

X '.y \z=z y' z' \ z' œ' \ x' y' et

x^ \ y' \ z' :=. yz\ zx \ xy,

345. Nous avons établi (n'^283) que le point xy aura pour correspondant un point quelconque situé sur la droite 5^ =r o ; et si nous transformons une courbe quelconque, à chacun des /2 points où elle rencontre la droite ^ correspondra le point xy^ qui sera en conséquence un point d'ordre ji de multiplicité, ou, plus rigoureusement, à chacun dje ces ii points correspondra la direction d'une tangente au point ^^upie^ Ily aura une coïncidence parmi ces tangentes, quand la droite z' sera tangente à la courbe originale. Donc, à une courbe du n}^^^ degré qui ne passe par aucun des trois points fixes j)/'^', z' x' ^ x' y' correspondra une courbe du degré *i n ayant les trois points yz^ zx^ xy comme points multiples d'ordre n. Supposons cependant que la courbe passe par le point jkV; la droite x devra faire partie du lieu, et, en la mettant de côté, l'ordre de la courbe correspondante se troi:-

vera diminué d'une unité. Mais, comme la droite x passe par chacun des points zx^ xy^ la courbe correspondante ne passera plus par chacun de ces points que (/i — i) fois au lieu de n\ et, de la même manière, nous voyons, en général, qu'à udf courbe du degré n qui passe par les trois points principau> (comme nous les nommerons) f, g el h fois respectivemen! correspondra une courbe dont l'ordre n' sera 2 n — / — g — h et qui passera parles trois points principaux de l'autre figure /^, g' j h' fois respectivement, ces quantités étant définies par les relations

346. Il est facile de vérifier que les nombres ainsi assignés vérifient la relation réciproque qui existe entre les courbes correspondantes ; c'est-à-dire que nous avons aussi :

71 =: 2 71^ — f — g' — h\ /— 72' — g' — h', g^n' — h'—f, hz=zfl'~f^g'.

Nous montrerons aussi que les deux courbes ont le même genre. En effet, si une courbe passe /fois par un point, cela équivaut à|/(/ — 1) points doubles (n^* 43). Donc le genre de la première courbe est

et, si nous nous servons des valeurs que nous venons de trouver pour Ti! ^ f ^ g' ^ h'^ il est facile de vérifier que le nombre que nous venons d'écrire est égal à

l[in'-i){n'-2)-f'{/'-i)-g'{g'-i)-h'{h'-j)-}.

347. La méthode d'inversion ou de transformation par rayons vecteurs réciproques, décrite au n° 122 et dans les Sections coniques n"" 121 (e), est un cas particulier de la transformation du second degré. Dans cette méthode, nous avons un point fixe O, et les points correspondants P, P' sont

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situés sur une droite passant par O et à clés distances de ce point dont le produit est constant : OP.OP^= i. Si nous prenons le point O pour origine, il est facile de voir que les relations entre les coordonnées rectangulaires de P et P' sont

f oc y œ' y'

Mais ces équations donnent

X^ -f- IV^ ■=. :, X^ — iv' = .

^ X — ly ^ X -\- ly

Si donc nous posons

X, Y, Z =1^ — if, X -h iy, 1; X',Y',Z'=:x'~^iy, x'-if, I, il vient

x^ : Y , : z^ z=z YZ : zx : XY,

c'est-à-dire que la transformation est du genre de celles que nous considérons dans cette Section. Le point O est appelé le centre d^ inversion; et le cercle dont le rayon est la racine carrée de la valeur donnée OP.OP^ est appelé le cercle d'inversion. Si P décrit une courbe, celle que décrit le point P est appelée la courbe inverse.

En particulier, l'inverse d'une droite est un cercle passant par O ; si OA est la perpendiculaire à cette droite et A^ le point correspondant à A, la courbe inverse est le cercle qui a OA^ pour diamètre. Le point O correspond au point à l'infini sur la droite. De même l'inverse d'un cercle est un cercle {Sections coniques^ n*' 121 ) et, en particulier, rinverse d'un cercle C, qui coupe à angle droit le cercle d'inversion, est ce même cercle C; autrement dit, le point P^ qui correspond à P se trouve sur ce même cercle qui est à lui-même son inverse. Nous donnons cet exemple pour faire connaître une théorie qui sera étudiée plus complètement dans une Section séparée, où la théorie générale de la trans-

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formation se présente comme théorie de la correspondance de points sur une courbe donnée. Si nous nous contentons de considérer le cercle C, les points P, P^ situés sur cette courbe se correspondent l'un à Tautre ; et, pour trouver le point qui correspond à un point donné P, nous n'avons qu'à joindre ce dernier à un point fixe O et à prendre le] point où OP rencontre de nouveau le cercle.

348. Revenons à la théorie générale de l'inversion; il est évident que deux couples de points correspondants A, A^; B, B^ sont situés sur un cercle qui coupe orthogonalement le cercle d'inversion ; et, d'après la propriété du quadrilatère inscrit dans un cercle, la droite qui joint deux points A, B fait avec le rayon vecteur OA le même angle que la droite qui joint les points correspondants A', B' fait avec le rayon vecteur 0B^ A la limite, si AB est la tangente en un point A, la tangente correspondante à la courbe inverse fait le même angle avec le rayon vecteur. Il en résulte immédiatement que l'angle que font entre elles deux courbes en un point est égal à celui que font les courbes inverses au point correspondant.

On peut former immédiatement les inverses des courbes comprises dans l'équation p" = a"cosn(o. Pour 72 = 2, la lemniscate est l'inverse de l'hyperbole équilatère; pour n = |, la cardioïde est l'inverse de la parabole qui a l'origine pour foyer, etc. L'inverse d'une conique, en général, est une quartique trinodale, qui a pour points doubles l'origine et les points circulaires à l'infini. Si Torigine est le foyer. Finverse est le limaçon; si l'origine est sur la courbe, l'inverse est une cubique nodale circulaire, et l'origine est le point double. Il est évident que, en général, un cercle osculateur d'une courbe aura pour correspondant un cercle osculateur de la courbe inverse; mais si le cercle passe par l'origine, l'inverse sera une tangente d'inflexion.

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436 CHAPITRE V^Ii.

Exercice 1. — Les trois points d'inflexion d'une cubique nodale circulaire sont sur une droite; donc, par tout point d'une conique on peut mener trois cercles osculateurs à la courbe, et leurs points de contact sont situés sur un cercle passant par le point donné. Les trois pointu seront tous réels quand la courbe est une ellipse; mais si c'est une hyperbole, il y en a deux d'imaginaires (*).

Exercice 2. — De la même manière, par un point quelconque d'une cubique circulaire ou d'une quartique bicirculaire on peut décrire neuf cercles osculateurs à la courbe; et parmi eux, trois seront réels et leurs points de contact seront situés sur un cercle passant par le point donné.

Exercice 3. — T^es pieds des perpendiculaires abaissées d'un point d'un cercle sur les côtés d'un triangle inscrit sont en ligne droite.

Inversement, si sur trois cordes dun cercle AB, AG, AD, comme diamètres^ on décrit des cercles^ les points d'intersection de ces cercles pris deux à deux seront sur une ligne droite.

Exercice 4. — Le cercle qui est circonscrit à un triangle dont les côtés sont tangents à une parabole passe par le foyer.

Inversement, si l'on décrit trois cercles passant par le point de rebroussement d'une cardioïde et tangente à cette courbe, leurs points d'intersection sont en ligne droite.

Exercice 5. — Si une droite rencontre un limaçon en quatre points, la somme de leurs distances au point double est constante.

Inversement^ si un cercle passant par le foyer rencontre une conique en quatre points, la somme des inverses de leurs distances au foyer est constante.

Exercice 6. — Trouver l'enveloppe des cercles passant par un point fixe et dont le centre se trouve sur une courbe donnée.

Prenons ce point fixe pour centre d'inversion ; le lieu des extrémités des diamètres passant par ce point est une courbe semblable à la courbe donnée. Il est facile de voir que la podaire négative (n** 121) de

(1) Ce théorème est dû à Steiner (Voir Sectio?is coniques, n«> 244, Ex. 3). La démonstration donnée ici est du D"" Ingram

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TRÂNSF0R31ATI0N DU SECOND DEGUfi. ^^'J

l'inverse de cette dernière courbe est l'inverse de l'enveloppe demandée et, par conséquent (n° 122), que l'enveloppe est l'inverse delà polaire réciproque de cette courbe (i).

349. Il nous reste à faire connaître les cas de transformation rationnelle du second degré qui ne peuvent pas se ramener à la substitution j: \ y, z ^=:y z' ', z' x' [ x' y'.

Des trois points communs aux coniques U,V,W, deux peuvent coïncider : supposons que la droite j^ soit la tangente commune aux coniques au point yx^ et soit xz le troisième point commun aux trois coniques; l'équation de chacune d'elles peut alors se mettre sous la forme

aœ- -h 2fyz -+- 2 hxy = o.

Nous pouvons prendre x^,j^^,^j^ pour les trois coniques et la substitution à employer est celle dont on a fait usage n° 289 : x^ \y \ z' ■=. xy \ x'^ \yz ; ces équations impliquent réciproquement les relations x\y \ z^= x'y' \ x''^ \ y' ^' - I^ans cette substitution comme dans Tautre, au point x' z' correspond la droite y] Qi k une courbe rencontrant cette droite en Il points correspondra une courbe ayant le point comme point multiple d'ordre n. Au point x'y correspond la droite x ; mais, quel que soit le point sur cette droite, la direction correspondante de tangence sera y' =:zo. Donc une courbe qui rencontre la ligne x en n points aura pour correspondante une courbe ayant le point ^y comme point /z"p^^, où toutes les tangentes coïncident. En un mot, la théorie est, en substance, la même que ci-dessus, mais elle est modifiée seulement par la coïncidence de deux des points principaux. Supposons enfin que les trois points coïncident (5'^c^. coniques, n" 239); les équations des trois coniques doivent alors être de la forme by'^ + ihxy -\- 2f[yz — mx-) = o et

(') Cet exemple est emprunté à un Mémoire du D'Stubbs sur cette méhode [Phil. Mag., vol. XXIII, p. i8).

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nous sommes conduits à la substitution employée dans le n« 290 :

oc' \ y' ! z' = xy : /- : yz — mx*^^

qui implique réciproquement

x\y\zz=L x'y' : j'^ \y z' — mx"^.

3S0. Avant d'aborder la théorie générale de la transformation rationnelle, il convient cependant de mentionner d'abord, comme extension de ce qui a été établi n^ 347, que la substitution générale de X'^, Y'', Tj^ à X, Y, Z prend une forme simple quand la droite Z est à rinlini et quand X, Y passent par les deux points circulaires. En effet, en rapportant l'équation à des coordonnées polaires, les équations de X et Y deviennent

p ( ces ô ±: i sin 6 ) =:z o,

et il est évident que remplacer ces fonctions par leur ^^ième puissance équivaut à remplacer p par p'^ et 9 par ^9. Cette transformation n'est pas rationnelle, mais elle peut s'appliquer avec avantage aux courbes de la forme p^ = a^ cos mM qui se transforment toujours ainsi en courbe de la même famille. Pour n = 2, un cercle devient une cassinienne, et pourri r=r |un limaçon. M. Robert a aussi remarqué (Joz^r/z^^/ de Lioiwille^ XIII, 209) que l'angle sous lequel deux courbes se coupent n'est pas altéré par cette transformation. En effet, la tangente de l'angle que fait la tangente à la courbe avec le

rayon vecteur est (n°95)p -7- et elle ne change pas de valeur

quand on remplace diù par nd(j) et — par — -- Ainsi les

théorèmes donnés comme exemples d'inversion conduisent chacun à autant de théorèmes qu'il nous plaira de donner de valeurs différentes à n. Les théorèmes qui concernent les angles sous lesquels des courbes se coupent se transforment

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facilement aussi par cette méthode; tels sont, par exemple, les théorèmes suivants : Le cercle est le lieu des intersections de deux droites rectangulaires qui passent chacune par un point fixe. Une série de cercles concentriques sont coupés orthogonalement par des droites passant par le centre commun, etc.

351. Nous passons maintenant à la théorie générale de la transformation rationnelle, dans laquelle un système de valeurs de {x^y^ z) a pour correspondant un seul système de valeurs de x' ^ y'^ z' (par exemple x' \y \z' =^\i \Y \ W, où U, V, W sont des fonctions connues de x, y, z que nous supposons du /i'"'"^^ ordre) et où^ réciproquement, un système de valeurs de x'^y'^ z^ a pour correspondant un seul système de valeurs x l y\z = 1]' lY' l W. Quand il est possible d'exprimer ainsi les coordonnées en fonctions mutuelles les unes des autres, U^, V, W doivent aussi être du /i'*'"'^ ordre en x'f y^ 2^ En effet, aux n intersections d'une droite arbitraire Ix -\- niy -f- nz, avec une courbe quelconque

aU-i-6YH-cW,

correspondront dans l'autre système les intersections de

/U^ + mV^-|- ;^W avec la droite ax' -{-by' -\- cz' ^ et ces points doivent aussi être au nombre de n,

352. Examinons maintenant les conditions à remplir pour qu'une telle expression réciproque puisse être possible. En général, si l'on nous donne les coordonnées d'un point dans un système x' '.y' \ z' ^= a\b\c^ ce point aura pour correspondant dans l'autre système les intersections des courbes

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44o CHAPITRE VllI.

et el!es seront au nombre de n- si U, V, AV sont des courbes

générales de leur ordre. Cependant, si U; V, W ont y? points

U Y W communs à elles trois, les courbes— = 7- = — passeront

toujours par ces points et il y aura seulement n- — p points d'intersection variables, et ce seront les points qui correspondent au point donné dans l'autre système. Enfin , si /? = ii^ — 1 , il existe un seul point d'intersection variable, ou^ en d'autres termes, toutes les intersections de U ! V ! AV = a \h\ c étant connues, sauf une, les coordonnées du point d'intersection restant sont déterminées d'une manière unique; elles seront de la sorte des fonctions rationnelles de a, 6, c^ c'est-à-dire de x^ ^ y y z^ j et nous obtenons ainsi pour elles des expressions de la forme

353. Une des conditions pour la transformation rationnelle, c'est donc que les courbes U, V, W aient n'^ — i points d'intersection communs ; mais il y a une autre condition de plus. Le système de courbes aU -\- bY + cW doit être aussi i^énéral que le système de droites ax' -\' by' + cz' auxquelles elles correspondent; autrement dit, une courbe du système ne doit être déterminée que quand on donne deux conditions pour déterminer les deux constantes exprimées a\b\c. Le nombre de conditions que U, V, W doivent être astreintes à vérifier doit donc être au moins de deux unités moindre que le nombre de conditions nécessaires pour déterminer une courbe du n^'''^^ ordre. Par exemple, si U, V, W sont des cubiques et si nous les assujettissons à la condition d'avoir huit points communs distincts, elles doivent aussi en avoir un neuvième (n° 29) : il n'y aurait donc pas de point d'intersection variable et la construction du n^ 352 serait en défaut. Pvlais nous pouvons encore satisfaire aux conditions du problème, en supposant que les cubiques U, V, W ont un point

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commun, qui soit un point double pour toutes, et quatre points ordinaires. Cela n'équivaut qu'à sept conditions, puisqu'un point double ne donne que trois conditions (n^^ 41); il faut donc deux conditions de plus pour déterminer une courbe quelconque aU + 6 V + cW. Mais les points communs donnent un total de huit intersections, puisque tout point qui est un point double sur deux courbes compte pour quatre intersections. Et de même, en général, nous ne pouvons pas prendre pour U, V, W des courbes du n''^'^^ ordre ayant /^^ — i points distincts communs, parce que (n étant plus grand que 2) elles auraient un autre point commun et pas de point d'intersection variable ; mais nous pouvons satisfaire aux conditions du problème en choisissant pour U, V, W des courbes a^^ant en commun a^ points ordinaires, as points doubles, a3 points triples, etc., de telle manière que tous ces points équivalent à 7i'^ — i intersections seulement et que le nombre des conditions qu'elles impliquent soit de deux unités moindre que le nombre des conditions nécessaires pour déterminer une courbe du 7z^^'"^^ ordre. Si nous nous rappelons maintena^nt que connaître un point multiple de l'ordre 7^ équivaut à ^(r+i)/^ conditions et qu'un pareil point, quand il est commun à deux courbes, compte pour r^ intersections, nous avons les deux équations

(i) ai+4^24-9a3-H . . . -l-''^a;-=>^^— ij

(2) ai-t-3a2 4-6a3-f- . . . + ^r( r -f- i)ar = | /^(/^ 4-3 ) — 2.

Multiplions la seconde équation par 2 et retranchons-la de la première; nous obtenons une équation qui peut avantageusement remplacer l'équation (2) et qui est la suivante :

(3) «1-4- 2a2-l- SagH- . . . -\- ra,.=: 3{/i — i).

Nous avons donc autant de modes de transformation par courbes du /z'''"^^^ ordre que ces équations admettent de solutions en nombres entiers et positifs pour a^, ao, ... ; à la

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condilion toujours que le nombre des points multiples d'ordre supérieur que les courbes sont supposées posséder sera soumis aux conditions limitatives indiquées (n" 43) (^)

354. Rigoureusement, l'argument du n^ 3S3 montre seulement que dans l'équation (2) le second membre ne peut être plus grand que la valeur que nous avons indiquée en cet endroit. Mais nous pouvons aussi démontrer qu'il ne peut être moindre. En effet, ajoutons un terme — t et retrancKons l'équation (2) de (i); nous obtenons

(4) «2 + 30(3-1- .. . -h\r{r— i)ar-='\{n—i){n — 2)-\-t.

Si nous nous rappelons qu\in point triple équivaut à trois points doubles, et un point multiple d'ordre r à {r{r — i) points doubles, nous voyons que le premier membre de l'équation représente le nombre de points doubles auxquels les points multiples d'une courbe aU + 6 V + cW sont équivalents. Or, comme nous avons montré (n^ 42) que ce nombre ne peut dépasser ^[n — 0(^^ — ^)? iic>us devons avoir ^ = o, et l'équation (4) nous apprend que les courbes du système aU H- 6 V + cW ont chacune le nombre maximum de points doubles, ou, en d'autres termes, qu'elles sont unicursales. Il est d'ailleurs évident qu'il doit en être ainsi, puisque ces courbes correspondent aux lignes droites de l'autre système; non seulement une droite sera transformée en une courbe unicursale, mais il en sera de même pour toute courbe unicursale; car, si les coordonnées d'un point sont des fonctions rationnelles d'un paramètre, les coordonnées du point correspondant, qui sont des fonctions rationnelles des précé-

(^) Cette théorie est due à Cremoiia. Voir ses Mémoires Sulle trasformazione geometriche délie figure piane {Mem. di Bologna, t. II, i863, t. V, i865). Voir aussi un Mémoire de M. Cajley, Proceedùigs 0/ London mathem. Society, vol. III, 1870, p. 127-180.

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(lentes, doivent aussi être des fonctions rationnelles du même paramètre.

355. Nous avons vu que, si n est plus grand que 2, les équations ( i ) et (3) ne peuvent pas être satisfaites si les points communs à U, V, W sont seulement des points d'intersection simples. Nous allons montrer de la même manière que si n est plus grand que 5, il doit y avoir un point multiple d'ordre supérieur au second; et ainsi de suite en général. Soit r le plus grand indice; multiplions l'équation (3) par r et retranchons-en l'équation (1), nous avons

( r — I ) ai + 2 ( r — 2 ) a2 + 3 ( r — 3 ) ag 4- . . .

Tous les termes du premier membre sont positifs, donc r ne peut être moindre que|-(/z4- i). Nous pouvons prendre r égal à ce nombre dans le cas où \[n -\- i) est un entier; c'està-dire que, si n est de la forme 3/? — i, nous pouvons prendre/? = 7^; mais, s'il en est ainsi, tous les nombres a^,a2,a3,. . . cf.r-\ doivent être nuls, les courbes ne peuvent avoir de points communs que les points multiples d'ordre p et nous avons yoa^ = 3 (3 — 2), équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur entière de oLp, si p est plus grand que 3. Si donc on excepte les cas où tz = 2, 5, 8 ou 17, r doit être plus grand que f(/i+ i). Par conséquent, si 7i est plus grand que 5, il doit exister un point multiple d'ordre supérieur au second.

356. On établit de la même manière un théorème dont nous allons actuellement tirer une conséquence importante, à savoir que, si nous prenons les trois points multiples des ordres les plus élevés, la somme de leurs ordres doit être plus grande que n. Soient r, 5, t ces ordres : nous supposons que s n'est pas plus grand que r, et t pas plus grand que 5; faisons passer dans les seconds membres des équations (i) et (3) les

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termes fournis parles deux premiers; ces équations deviennent

a^ -H 4^2 + • • • -h ^^ai= /i^ — i — A*'' — 5^, aj 4- 2 a2 4- ... -}- ^ a^ =: 3 /i — 3 — r — S.

Nous déduisons, comme plus haut, une limite pour la plus petite valeur admissible de ï, de cette considération que, si nous multiplions la seconde équation par t et si nous en retranchons la première, le reste est essentiellement positif. Nous avons à montrer que n — r — 5 est une valeur trop faible pour t ou que, dans ce cas,

n} — I — r''- — s^^ tiZn — 3 — r — s).

Posons r + 5 = n — t\ cette équation devient

1rs — T 4-2 72^ — t^^ t{2n — 34-0-

Mais comme, par hypothèse, r et 5 ne sont pas moindres que t^ la plus petite valeur que puisse prendre cette première quantité se trouvera en supposant que r et 5 soient tous deux égaux à t\ l'inégalité devient alors

qui est évidemment exacte.

357. Gremona a réduit en table, jusqu'à n = lo, toutes les solutions admissibles pour le système d'équations que nous avons considéré. Nous allons donner quelques-uns de ses résultats; mais nous en avons dit assez pour montrer que nous pouvons toujours prendre pour U, V, W des fonctions du /^i"^le ordre en x^ y y z telles que les équations

représentent trois courbes ayant en commun un certain nombre de points fixes (que nous appellerons /jo/zz ^5 /^/^mc;'paux) équivalents an- — i intersections et un point variable

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THÉORIE GÉNÉRALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. f\t\^

dont les coordonnées exprimées en fonctions de x' ^y' ^ z^ àonnent le système réciproque d'équations

Nous avons déjà vu que U^, V^, W sont des fonctions du n}^"^^ ordre en x' ^ y' ^ z\ et il esL évident qu'elles doivent aussi représenter des courbes ayant en commun un nombre de points fixes satisfaisant aux conditions (i) et (2) posées précédemment. Il ne s'ensuit pas pourtant et il n'est pas toujours vrai de dire que la même solution du système d'équations soit applicable dans les deux cas; en d'autres termes, le système de courbes aU + ^V + cW qui correspond aux droites d'un système, etle système de courbes aU'+^V^-}-cW qui correspond aux droites de l'autre système n'ont pas en général la même distribution de points multiples.

358. Nous avons vu que, dans la transformation du second degré, l'un des trois points principaux a pour correspondant dans l'autre figure, non pas un point, mais une droite. Nous allons étendre ce théorème en montrant qu'en général un des points a^ a pour élément correspondant une courbe unicursale du n'^^^ ordre. Il est évident que le système d'équations

devient illusoire si nous cherchons le point (^',7^,2^) qui correspond à un point commun aux courbes U, V, W. Supposons d'abord que ce point soit un point d'intersection simple; si nous passons au point consécutif, x ^ y' ^ z^ sont respective aient proportionnels à

Sx

iSj +

\,iz,

OÙ U^,... sont des quotients différentiels. Nous obtenons

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ainsi un point différent ce' ^ y\ z' comme élément correspondant à chacpe élément de direction au point (x^y^ z). Mais si trois courbes ont un point commun^ leur Jacobienne passe par ce points comme cela est évident en écrivant les équations U = o, . . . sous la forme

\j.^ œ 4- U. r + U3 ^ rzz o, Yi œ + Y2 j -h V3 z =10, Wj X + W2 r + W3 z — o

et éliminant ^,jKj z. Nous voyons ainsi c[ue, si nous éliminons S:r, Zy des valeurs cjue nous avons trouvées plus haut, ùz disparaîtra également, et cpe tous les points correspondant à x^ y^ z seront sur la ligne droite

359. Nous procédons de la même manière, si le point commun à U, V, W est un point multiple. Supposons, par exemple, que ce soit un point double ; les valeurs données (n° 358) pour x\ y ^ z' s'annulent alors. Mais si nous représentons comme plus haut les dérivées secondes par a, b, c^ . . . , nous verrons que ^', y, z' sont respectivement proportionnels à

-\- 2g-^zox -^ 2h^x 8j : a' 8^2 ^ ^ . ^'/ § -3^9 |

Or la relation du point xyz avec UVW est telle qu'elle permet l'élimination entre ces équations de S^, Sj-, 8^. En effet, les formes ci-dessus sont en apparence des formes ternaires, en S^, §7, S^, mais elles sont binaires en réalité. En effet, la quantité ax^ + by^ + cz- +. . . égalée à zéro représente le couple de tangentes à la courbe U au point double et peut être ramenée à la forme

a{x — 7J2zy -^ 2h{œ — mz){y — nz) -\- b{y — nzy. Il n'y a donc que deux quantités hx — mZz^ hy — nZz à

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THÉORIE GÉNliP.ALE DE LA TRANSFORMATION RATIONNELLE. (\i\-'j

éliminer entre les équations, et il reviendra pratiquement au même d'écrire S^ = o et d'éliminer S.2?, ùy. Il en est de même pour un point multiple quelconque ; les quantités ^',jkS^' sont proportionnelles à

8^, '^y s'éliminent de la manière indiquée n"" 14 et x\y^ ^ z\ qui sont des fonctions rationnelles d'un paramètre, sont les coordonnées d'un point d'une courbe unicursale d'ordre /'.

360. Les courbes d'un système qui correspondent aux points principaux de l'autre système peuvent être appelées courbes principales, et ces courbes prises ensemble constituent la Jacobienne du système de courbes aU + 6 V + cW. En effet, la Jacobienne est le lieu d'un nouveau point double sur les courbes du système qui ont un point double en plus des points principaux multiples qui leur sont communs à toutes. Mais, comme chacune de ces courbes a déjà son nombre maximum de points doubles, elle ne peut en acquérir un nouveau qu'en se décomposant en courbes de degré inférieur, et cela arrivera seulement quand la droite correspondante de l'autre système passera par un des points principaux. Dans ce cas, la courbe aU -H b\ -H cW se décomposera en la courbe fixe de degré r qui correspond au point principal, jointe à une courbe résiduelle variable avec la droite qui passe par a^.. Si, en général, nous avons deux courbes unicursales, dont la somme des ordres r et r' soit égale à n, la multiplicité complexe qui provient des singularités des deux courbes et de leurs intersections équivaut à

|(r— i)(r — 2)-h|(r^ — i) {r' — i) -\- rr\

c'est-à-dire à \{n — i) {n — 2) + i points doubles. Nous voyons ainsi qu€, dans la courbe que nous considérons, la courbe complexe a, outre les points principaux, un nouveau

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448 CHAPITRE VIll.

point double qui sera le point d'intersection de la courbe fixe correspondant à a.r avec la courbe résiduelle variable ; et le lieu de ces points est par conséquent la courbe {\^q, La somme des ordres de toutes les courbes principales constitue l'ordre de la Jacobienne du système aU + ^V -h cW, comme l'exprime l'équation (3)

a^ -i- 2 a2 4- 3 ag H- . . . H- ra,. r= 3 (^ — i).

J3e la théorie générale desJacobiennes, que nous traiterons plus complètement dans le prochain Chapitre, il résulte que le s^^stème des courbes principales passe deux fois par chacun des points ^^y cinq fois par chaque point a2, et 3r — i fois par chaque point a^. Il y a d'autres théorèmes cju'il suffit d'indiquer et qui concernent la position des courbes principales par rapport aux points principaux. Par exemple, prenons une ligne droite d'un système, qui ne passe pas par un point principal a^, la courbe correspondante aU + 6V 4-cW ne peut avoir aucun point ordinaire commun avec la courbe principale a,^, et les intersections des deux courbes seraient exclusivement des points principaux. Nous pouvons voir de cette manière que toute droite principale passe par deux points principaux dont la somme des ordres est /z, et que toute conique principale passe par cinq points principaux dont la somme des ordres est in,

361. Nous pouvons maintenant déterminer les caractéristiques de la courbe qui correspond à une courbe de l'ordre k que nous supposons ne passer par aucun point principal. Il est évident que, si nous remplaçons x\ y y z par U, V, W dans une fonction de l'ordre k^ nous obtenons une fonction de Tordre nk\ et si les courbes U, V, W ont un point a commun, la droite qui correspond à a dans l'autre figure rencontrera la courbe S en /r points qui correspondront tous à a; ce sera donc un point k^^'^ et de la même manière chacun

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des points principaux ^r sera un point multiple d'ordre rk. Si la courbe originale n'a pas de points multiples, la courbe transformée n'aura d'autres points multiples que les points principaux. On voit ainsi que la courbe transformée sera de l'ordre nk et que le nombre maximum correspondant de points doubles sera {(/lA" — \){nk — 2); les points principaux seront des points multiples et le nombre de points doubles auxquels ils sont équivalents sera

\^^k{k — i) +-|a22A-(2A-— j) 4- . . . -\-\i,rk{rk— i) ou

ou bien, en vertu des équations ( i ) et (3),

En effectuant les substitutions, le genre de la courbe transformée est

il est donc le même que celui de la courbe primitive. Si cette dernière a des points multiples autres que les points principaux, ces points ont pour correspondants dans les courbes transformées des points multiples du même ordre, et les genres des deux courbes restent égaux.

Si la courbe primitive passe par l'un quelconque des points, principaux a^,, pour chaque fois que le passage aura lieu, la courbe correspondante a^ fera partie de la courbe transformée, et le degré de la courbe transformée proprement dite sera diminué en conséquence. Il y aura aussi une réduction correspondante dans le nombre des passages de la courbe transformée par les points principaux par lesquels passe a^. L'effet de ces modifications sera de conserver toujours l'égalité entre les genres des deux courbes. Ainsi, par exemple, si la courbe originale passe par un des points a^, la transformée S. — Courbes planes. 29

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45o CHAPITRE VIll.

renfermera comme partie intégrante une ligne droite et le degré de la courbe résiduelle se réduira de nk à nk — i ; il y aura; comme conséquence, une diminution de nk — i dans le nombre maximum des points doubles; ainsi, si une droite passe par deux points a,., a^, le nombre des passages de la courbe résiduelle par ceux-ci sera réduit d'une unité pour chacun, et le nombre de points doubles équivalents se réduira de sk — I et tk — i ou de nk — i, puisque s -\- t^=^ n. Il n'est pas nécessaire d'entrer dans plus de détails, parce que nous allons arriver aux mêmes résultats par une autre méthode.

362. Toute transformation de Cremona peut se ramener a une succession de transformations du second degré, — Considérons la transformation la plus générale dans laquelle les lignes droites d'une figure aient pour correspondantes dans l'autre des courbes du ji'^"^^ ordre, ayant en commun ci.^ points ordinaires, a2 points doubles, etc. Nous avons vu (n^'SSô) qu'il y a trois de ces points dont la somme des ordres dépasse n. Prenons-les comme points principaux et effectuons une transformation du second degré; le degré de la courbe transformée étant in — r — s — t est moindre que n. De la même manière, par une nouvelle transformation du second degré, nous pouvons réduire le degré de cette courbe; et ainsi de suite jusqu'à ce que nous arrivions à la fin à des lignes droites correspondant aux courbes du ^'^^^ degré. Gomme on a démontré (n° 346) que le genre n'est pas altéré par une transformation du second degré, le théorème de ce numéro montre qu'il ne l'est pas non plus par une transformation de Cremona. L'exemple particulier qui suit rendra la méthode plus claire et montrera comment on peut suivre la disposition des courbes principales. Considérons la transformation dans laquelle des lignes droites sont transformées en courbes du cinquième degré, ayant trois points ordinaires a^ a^, «3, trois points doubles 6^ b^i b^ et un point triple c. Pre-

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THÉORIE GrsNÉRALE DE LA TRAIVSFORMATIOIV RATIONIVELLE. /4b l

nous cb^b2 comme points principaux; par une transformation du second degré, lesquintiques deviennent des cubiques, ayant 63 pour point double et a, a^ «30' comme points ordinaires. Prenons encore ^3 ^3 d comme points principaux et opérons une nouvelle transformation du second degré; les cubiques deviennent des coniques passant par a[a^bl] enfin une nouvelle transformation, où nous prendrons ces points pour points principaux, transformera ces dernières courbes en droites. De la même manière, nous pouvons voir comment sont transformées les droites du premier système, ou, plus généralement, comment sont transformées les courbes de l'ordre k passant a^ fois par le point a\,, . . . Après la première transformation, nous avons

k' = 2 /{■ — c — bi — Z?2,

b\ = k — c—b^, b\^-=.k — c — bi, 63—63,

a\ = a^, a'o = a^^ ci'.^ = a^.

Après la seconde transformation, où a!^, 63, d sont les points principaux, nous avons

c" -rz^ik — C — a^ — 61 —-62 — 63,

a.^-zm k — c — 63, a'2 = «2, d\ -m a^.

Enfin, après la troisième transformation, les points principaux étant a"^, a'^, 63, nous avons

k"' = 5 /{• — 3 c — 2 61 — 2 62 — 2 63 — Ui — «2 — <^3?

a[=i2k — c — 61 — 62 — 63 — «2, àl^ik — c — b^ — 62 — 63 — «j,

b'l^=i k — c — bi, b'l-=z k — c — 62,

h'lz:=L?>k — 2c — b^~ b^ — b^ — a^^ a^ — a^.

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452 CHAPITRE YllI.

Si nous posons k = i et si nous supposons que les autres lettres soient égales à zéro, nous voyons que des lignes droites se transforment en courbes du cinquième degré ayant en commun un point triple, trois points doubles et trois points simples. Pour suivre la correspondance des points principaux, nous remarquons que dans la première transformation au point c correspond la droite b\b'^] dans la seconde transformation, celle-ci a pour correspondante une conique passant par d' a^b\V[^h'^ et enfin à cette conique correspond une cubique ayant b'I comme point double et les six points restants comme points ordinaires. Les Tableaux suivants donnent les effets des différents genres de transformation de Gremona jusqu'à n^=^6. Les valeurs indiquent aussi les courbes qui correspondent aux points principaux. Ainsi (Exemple 3) la valeur d -zzzZk — ic — S(a) indique qu'à G correspond une cubique a^ ant c comme point double et passant par les points a.

Exemple 1 (II). — n =^ i, «i = 3.

k' = ik — «1 — «2 — ^zi a\=^ k — a^ — «3, a'^ = k — a^ — ai, a'^ = /c — ai — a^*

Exemple 2 (III). — zi = 3, a^ = 3, «2 = 1.

k' =3/1: — ib — ai — «2 — ^3 — «4, b' = ik — h — ai — a^ — a^ — «4, a\ = k — b — ai — ....

Exemple 3 (IV, 1 ). — n = 4, «i = 6, a2 = o, cts — i.

k'^ 4/c — 3c — i:(a), c' = 3k — ic— S(a), a!i = k — c — ai — ....

Exemple 4 (IV, 2). — /i = 4, aj = 3, «2 = 3. k' ^ ik — il.{b) — l.{a), b\=2k — S(è)— «2 — «3, 62—.. , a\ = k — ^2 — ^3^ • • ' '

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Exemple S (V, 1). — n = 5, ai = 8, «2 = 0, <x^ = o, a^ = i.

k'=5k — ia — I.(a), a' = /ik — 3 a — S (a), a\ = k — a — a^.

Exemple 6 (V, 2). — zi = 5, a^ = 3, a2 = 3, as = i.

c' = ?,k~ic--Y.{b) — Ua), h\^ ik — c — a^—y.ih'), a^=:^ k — c — b^.

Exemple 7 (V, 3). — n = 5, a^ = 0, a2 = 6.

k'^Sk — i-Lib), b\ = ik—b^i—bi--b,^—b-^—bQ^ ...

Exemple 8 (VI, 1). — /i = 6, aj = 10, a^ = i.

Exemple 9 (VI, 2). — 71 = 6, a^ = i, ag = 4? «3 = 2.

k' = Q^k — ^Z{c)— iZ{b) — a, e\ = 3 A: — 2 Cl — ^2 — ^ ( ^ ) — «; b\ = 2k—I.(c)—b.2—bi— 64,

Exemple 10 (VI, 3). — n = 6, ai = 4, ag = t, as = 3.

d'= ik — 21.(6)— b — I,(a),

a\=^ k — e:~cs, a^ ==....

Exemple 11 (VI, 4). — ^ = 6, ai = 3, aa = 4, «3 — 0, a4 = i.

c\ = 3k — 2d — I,(b)^a2 — «3, Cg^..., 03 = ..., ....

a\—k^a — bi, a'.2 = ...■, aj=:..., a'^ — . . . , ....

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454 CHAPITRE YIII.

363. Les conditions assignées dans la Sectionprécédente sont nécessaires pour la transformation rationnelle générale entre deux plans, de manière qu'à un point quelconque de l'un ou l'autre plan corresponde un point unique dans l'autre. Mais elles ne sont pas nécessaires pour la transformation rationnelle si nous considérons seulement la transformation d'une courbe donnée S = o. Appliquons à la courbe S une transformation ^' : y ; y == U : V : W, dans laquelle U, V, W sont des fonctions du n^"^^^ degré en oo^ y^ z, mais qui ne satisfont pas nécessairement aux conditions de Cremona; il est évident qu'à un point quelconque du premier plan correspondra un point unique du second plan, puisque cc^^ y , z' sont donnés sous forme de fonctions rationnelles de x^ jk, z. Mais, d'après la théorie précédente, si U, V, W ont en commun a, points ordinaires, cl^ points doubles, etc., à un point quelconque du second plan correspondront n'^ — a^ — 4<^-2 — • • • points du premier plan, et ce nombre, que nous appellerons 6, sera ordinairement différent de l'unité. Le lieu des points dans le second plan, qui correspondront aux points de la courbe S, sera une courbe S^ correspondant à S, et un point quelconque de la première courbe aura pour correspondant un point bien défini P^ de la seconde. Mais, d'après ce que nous venons de dire, on voit qu'à P^ correspondront dans la première figure, outre le point P, 9 — i autres points; ces derniers ne seront généralement pas sur la courbe S, et la courbe de la première figure qui correspond à S^ se composera de S et d'une courbe résiduaire, lieu des 9 — ^i autres points. Et si nous n'avons égard qu'aux points de la courbe S, nous voyons qu'un point P de S a pour correspondant un seul point P^ de S' et que de même à un point P^ de S' correspond aussi un point unique, bien défini, P de S.

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ÏIIANSFORMATION b'uNE COURBE DONNÉE. 1\5d

Ainsi, bien que les équations x' ly ', z' = U :Y ', W ne suffisent pas par elles-mêmes pour donner des expressions rationnelles de ^, y, z en fonction de ^^, y^ z', les circonstances sont différentes quand nous combinons l'équation S == o avec ces équations. Si, entre toutes ces équations^ nous éliminons x,yj z^ nous obtenons une équation S^ = o qui est la condition de la coexistence du système d'équations. Et quand cette condition est vérifiée, nous avons montré (Algèbre supérieure. Leçon X) que nous pouvons en général déterminer rationnellement les valeurs de x, jk, z qui satisferont à toutes les équations du système. Nous voyons ainsi que, quand une courbe donnée S est transformée par la substitution x' \ y \ z' :=\] \Y \ W, nous pouvons en général obtenir une relation réciproque rationnelle x\ y\ z =^\]' \\' \ W^

Exemple. — Supposons qu'on nous donne

x' : y \ z =^ yz -4- x^ : yz -\- xy \ yz -h xz .

Ici des lignes droites dans le second plan ont pour correspondantes dans le premier plan des coniques qui ont en commun les deux points/^, zx\ et par conséquent à un point du second plan correspondront en général deux points du premier. On trouve facilement les expressions générales de x^ y, z en fonction de x\ y\ z' , en remarquant que X — y^ X — z sont respectivement proportionnels à x' — y\ x' — Z] le sens géométrique de cette relation consiste en ce que les points {x, y, z)^ {x\ y\ z'), considérés comme appartenant au même plan, sont collinéaires avec le point (i, i, i). En d'autres termes, les équations sont satisfaites en posant x=^x'-\~\., y=,7'+^> z =■ z' -\~ X, et X est déterminé par l'équation du second degré

Il est évident qu'à un système quelconque de valeurs de {x' , y' , z) correspondront deux systèmes de valeurs pour {x,y, z). Mais il n'en est plus ainsi si nous considérons la transformation d'une courbe donnée. Par exemple, prenons dans le premier plan une droite ax -h ^y + Y^î 1^ relation entre un point de cette droite et le point correspondant du second plan est donnée par les équations a? = ^'-H X,. . ., dans lesquelles (a -H p 4- y)^ — — (a^'4- pj'-H Y-^')-

456 CHAPITRE Vin.

De même, si nous avons une conique S dans le premier pian, et si, par la substitution x ~ x' ^1^ . . ., S devient X^-h PX h- S', la courbe qui correspond à S est la quartique obtenue en efFectuant l'élimination entre les équations

X2 + p X -f- S' .- o, 1\^-^-(x' -hf + ^')l -h-y'z' r= O

et l'on obtiendra l'expression de x en fonction de x' en prenant pour X la racine commune à ces équations et qui est donnée par l'équation [2P — {x' -hy -4- z')]"^ -f- iS' —y' z' = o.

364. Le genre d'une courbe n'est pas altéré, non seulement par une transformation de Cremona, comme nous l'avons déjà démontré, mais encore par une transformation quelconque, dans laquelle un point d'une courbe a pour correspondant un point unique de l'autre courbe (* ). On peut le démontrer de la manière suivante.

Remarquons d'abord que dans la transformation rationnelle entre deux plan,}, dans laquelle un point A a pour correspondant un seul point A', si une courbe passe deux fois par A, la courbe correspondante doit passer deux fois par A' ; autrement dit, à un point double d'une courbe doit correspondre un point double sur l'autre courbe. Mais si A correspond à plus d'un point, par exemple à A', B^, . . . , si la seconde courbe passe à la fois par A' et B^, la première courbe passera deux fois par A, c'est-à-dire qu'un point double d'une courbe peut avoir pour correspondant un point double, mais il peut aussi lui correspondre un couple de points distincts

(^) C'est Riemann qui a le premier déduit ce théorème de la théorie des fonctions abéliennes {Journal de C relie, LIV, i33). La démonstration donnée ici est la même, en substance, que celle deZeuthen {Mathematische Annalen, III, i5o). Mais le D"" Fielder m'apprend qu'elle a été indiquée auparavant par Bertini {Battaglini Giornale, VII, io5; 1869). Voir aussi une démonstration dans la Théorie der Abelschen functloneii de Clebsch et Gordan, p. 54, pour le cas où les courbes d'un système qui correspondent aux droites de l'autre n'ont pas en commun de points multiples d'ordre plus élevé que le second.

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TRANSFORMATION d'uNE COURBE DONNÉE. /JSy

sur l'autre courbe. De la même manière, si A/, B^ coïncident, nous pouvons avoir sur l'une des courbes un rebroussement qui corresponde à un rebroussement ou à un couple de points coïncidents sur l'autre.

Considérons maintenant deux points fixes correspondants A, A^ situés chacun sur chacune des deux courbes correspondantes S, S'; supposons que les ordres respectifs de ces courbes soient m et m! ^ et admettons qu'elles soient dans le même plan. Considérons aussi deux points variables correspondants M, M', et cherchons le degré du lieu de l'intersection des droites AM, A' M'. Prenons une position fixe quelconque de la droite AM; comme elle rencontre la première courbe en /?2 — i points différents de A, il y a /n — i positions correspondantes de la droite A'M^, et en conséquence AM rencontre le lieu en 772 — i points distincts de A. Mais si nous considérons la droite AA', il est facile de voir de la même manière qu'elle ne rencontre le lieu qu'au point A compté m! — I fois et en A^ compté m — i . Nous voyons ainsi que le lieu est du degré îïi -\- tu' — 2 et que les points A, A^ sont respectivement des points multiples de l'ordre m' — i , jn — i .

(Cherchons maintenant dans quels cas AM est tangente au lieu. Ceci aura lieu quand deux des droites A'M^ correspondant à AM coïncideront sans que nous ayons en même temps une coïncidence de deux des droites AM qui correspondent à A^M^ En effet, dans ce dernier cas, l'intersection de AM, A'M^ serait un point double du lieu, et AM ne serait pas une tangente ordinaire. Mais i^ si AM est tangente à S, AM sera évidemment tangente au lieu. 2" Si AM passe par un point double de S, suivant que ce point double aura pour correspondants sur S un point double ou deux points simples distincts, nous avons comme correspondants sur le lieu un point double ou un couple de points distincts ; mais dans aucun de ces cas AM n'est une tangente ordinaire. 3° Si AM passe par un point de rebroussement de S, suivant qu'à ce rebrous-

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senienl correspondra sur S^ un rebroussement où un couple de points coïncidents, AM passera par un point de rebroussement du lieu ou sera une tangente ordinaire.

On Yoit d'après i° et 3^ que le nombre des tangentes ordinaires issues de A, joint au nombre des rebroussements, est le même pour le lieu et la courbe S. C'est en exprimant cette égalité que nous obtenons la relation qui lie les courbes S et S^ Nous avons démontré (n° 79) que le nombre des tangentes qu'on peut mener à une courbe du m^""^^^ degré par un point multiple d'ordre r est m^ — m — r(r + i), ou bien qu'il est inférieur à Ja classe de la courbe d'une quantité égale à 2.r. Si donc N est la classe de la courbe, lieu étudié, le nombre des tangentes qu'on peut lui mener de A (qui est un point multiple d'ordre m' — i) sera N — 2{m' — i) ; et si nous représentons par k le nombre des rebroussements du lieu, et par n la classe de S, l'égalité que nous voulons exprimer est

De même, si nous considérons les tangentes issues de A^, i] vient

et nous en déduisons en conséquence

ou bien, si nous remplaçons /i par sa valeur //z- — m — 2ù — 3;:,

(^) Zeiithen démontre de la même manière que si, au lieu de la correspondance rationnelle des deux courbes, a points de S correspondent à un point de S', et a' points de S' à un point de S, et si t, t' représentent les nombres des cas où deux des points a ou a' coïncident, on a

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TRANSF0R3IATI0N d'uNE COURBE DONNÉE. 4'^9

36o. Nous démontrerions, comme dans le n° 361, que si nous transformons une courbe S du nV^"^^ ordre à l'aide de la transformation x' \ f \ z' =^1] \Y \ W, dans laquelle U, V, W sont des fonctions du p^""^^^ ordre, comme les points où une droite arbitraire rencontre la transformée correspondent aux points où aU + ^ V + yW rencontre S, l'ordre de la courbe transformée est mp — a, — 2a2, . . . ; ici a, , a2, ... représentent les nombres de jDoints simples, doubles, etc., communs à U, V, W et qui sont aussi situés sur S. Cherclions maintenant comment, par cette transformation, nous pouvons abaisser autant que possible l'ordre de la courbe transformée. Nous voyons, comme dans le n^ 353, que U, V, W peuvent être assujetties à satisfaire à deux conditions de moins qu'il n'en faut pour déterminer une courbe d'ordre p, c'est-à-dire k~p{p -{-?>) — 2 conditions; et nous disposerons évidemment de ces conditions de manière à réduire le plus possible Tordre de la courbe transformée si nous faisons passer U, V, Vv^ par autant de points doubles de S que cela sera possible. Soit D le genre de S, le nombre de ses points doubles est en conséquence \{jn- — 3 m) — D + i ; prenons en premier lieu p z= m — I ; dans ce cas, nous pouvons faire passer U, V, W par 7 (m- + m) — 3 points. Nous pouvons donc faire passer les courbes par tous les points doubles et par 2 7?2 + D — 4 autres points de S. Si donc nous posons a, = s/n -[- D — 4 7 a2 = ^( m- — 3 m) — D + i , /> = m — i , nous trouverons que l'ordre de S^ est mp — a^ — sao = D + 2.

Supposons maintenant p ■=z m — 2, ce qui implique évidemment que m est plus grand que 2. En procédant comme ci-dessus, nous voyons que nous pouvons prendre

«2 =r:-|- ( 772^ — 3 772 ) — D + 1 , a^ rzr 772 -+- D — [\

et que l'ordre de la courbe transformée sera encore D -f- 2. Enfin admettons que p z= m — 3 ; nous pouvons prendre ao =^(77z- — 3 777) — ^ D 4- 1 , a, = D — 3, pourvu toujours

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46o CHAPITRE VIII.

([Lie D soit plus grand que 2, et nous trouvons que l'ordre de la courbe transformée est D + i . La courbe transformée a, comme nous TaVons démontré, le même genre que la courbe primitive; il s'ensuit alors qu'une courbe d'ordre m et de genre D, ou qui a ^^{^m- — S/n) — D + i points doubles, peut se transformer en une courbe d'ordre D + 2, de genre D, c'est-à-dire qui a ^(D- — D) points doubles ; ou bien, quand D est plus grand que 2, en une courbe de l'ordre D + i avec ;(D2 — 3D) points doubles.

Ainsi, en particulier, une courbe peut être transformée comme il suit :

Si D = o, en une conique (^).

D = I, en une cubique.

D = 2, en une quartique avec un nœud.

D := 3, en une quartique.

D = 4? 611 une quintique avec deux nœuds.

D = 5, en une courbe du 6^ degré avec 5 nœuds.

D m 6, en une courbe du 7° degré avec 9 nœuds.

D = 7, en une courbe du 8^ degré avec i4 nœuds, ou une courbe du 6® degré avec 3 nœuds.

336. Nous n'avons pas besoin de nous arrêter au cas des courbes unicursales. Ici D = o et la courbe transformée est une conique; les coordonnées x\ y\ z' peuvent, comme on Je sait, être exprimées sous forme de fonctions du second degré d'un paramètre 9; les coordonnées Xj y^ z^ qui sont exprimables sous forme de fonctions rationnelles de x' , y\

(') Bien que la méthode qu'on vient d'exposer transforme le cas D = o en une conique seulement, la transformation crémonienne permet de transformer encore la conique en une droite.

Pour plus de détails, voir Jung et Armenante, Giornale de Battaglini, t. VII, p. 235, et Brill et Noetiier, Mathemat. Annalen, t. VII, p. 298.

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TRANSFORMATION d'UNE COURBE DONNÉE. 4^1

y, peu\'ent donc être exprimées sous forme de fonctions rationnelles de 9.

Considérons maintenant le cas D = i . Ici la courbe transformée est une cubique et il faut remarquer que, de quelque manière qu'on effectue la transformation, la cubique résultante aura toujours le même invariant, c'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre tangentes menées d'un point de la courbe sera le même (n° 229). Quand D = i, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre 9 et de ^^0, où 0 est une fonction du quatrième degré de 9. Il suffit de démontrer cette proposition pour le cas d'une cubique, puisque ce, y, ^peuvent s'exprimer comme fonctions rationnelles de^', y, z^\ et pour le cas d'une cubique, ce résultat se voit immédiatement en prenant cette courbe de manière qu'elle passe par le point xy ^ en posant dans l'équation j^=i: 9^, ce qui permet d'obtenir immédiatement les rapports x\y\z sous la forme en question. De plus, il est bien évident que les valeurs de 6 pour lesquelles 0 =: o sont précisément celles qui correspondent aux quatre tangentes menées de xy à la cubique.

Nous avons vu de cette manière que les coordonnées d'un point d'une courbe pour laquelle D = i peuvent s'exprimer sous forme de fonctions rationnelles de 9 et de sj% ; et par une transformation linéaire de 9, c'est-à-dire en remplaçant 9

par une fonction convenablement déterminée — r ^-^ nous

pouvons mettre \l% sous la forme y/(i — 9-)(i — A*- 9^). Si nous posons 9=:sinamï/, cette quantité est cosamwAam?^ et nous pouvons dire que les coordonnées d'une courbe dont le genre est i peuvent s'exprimer sous forme de fonctions elliptiques d'un paramètre u.

367. Il existe une théorie semblable pour le cas où le genre est égal à i et où, par conséquent, la courbe est réduc-

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402 CHAPITRE YIII.

tible à une qiiartique nodale. Si nous prenons le nœud de la quartique pour le point xy et si nous posons J' = ^a^, nous pouvons exprimer immédiatement les rapports x ] y ', z sous forme de fonctions rationnelles de 8 et ^0, 0 étant maintenant une fonction du sixième degré en 9; ceci équivaut à dire que les coordonnées sont exprimables comme fonctions hyperelliptiques de première espèce d'un paramètre u. Pour des valeurs plus élevées de D, les coordonnées sont des fonctions irrationnelles d'un paramètre, et ce n'est que dans des cas particuliers cpi'elles peuvent être exprimées au moyen de radicaux.

368. Avant de quitter cette partie du sujet, nous devons indiquer une autre méthode à l'aide de laquelle on peut étudier le même problème. Nous pouvons partir des équations qui lient les coordonnées {x,y, z) et (x', y, z'). Supposons que ces équations soient A = o, B = o, G =: o et que chaque équation soit homogène en xyz et x^y z^ ^ et ait par rapport à ces variables les ordres a, b, c\ a\ b\ d respectivement. Si entre ces trois équations nous éliminons [x' , y\ z')^ nous obtenons une équation S = o de l'ordre ab' c' + hd a' + cdV en xyz, et si nous éliminons xyz, nous avons une équation S^=: o, de l'ordre a' bc + b' ca + d ab en x'y'z^. Les conditions 8 = 0, S^= o doivent être satisfaites pour que les équations A=o,B = o, G= o puissent coexister; mais, pour tout système de valeurs {x,y, z) vérifiant l'équation S = o, nous pouvons trouver un système correspondant de valeurs de x'yz' qui satisfasse aux équations A = o, B = o, G = o, et par conséquent à S^ = o. On peut chercher le nombre de points doubles de la courbe S parles méthodes exposées dernsV Algèbre supérieure, et le résultat que j'ai obtenu est le suivant :

hU^ {U d — i)a} -\~\d a\d a^ —Y)h'- -\-\a^ b\a^ h^ — Y)d-' -4-[(a^6^~i)(c'a'-i) — !(«' — i)(a' — 2)]&c -i-[(6'c^ — i)(a'6' — i) — i(6' — i)(6^— 2)]ca -h[(c'a^ — i)(Z?'c' — i)— |(c''-i){c' — 2)]a6.

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Il existe évidemment pour le nombre des points doubles de S^ une expression semblable qu'on réduit de la précédente j3ar un échange de lettres accentuées et non accentuées. Dans l'un et l'autre cas, nous trouvons que le genre est ^(0 + 2), où

a — a^b'c' ~{- b'-c'a' -^c'^a'b' -{- a'^bc~\- b'^ca -\- c'^ab

-h laa' {bc' -^ cb')-^ ibb' {ca' ^ ac')-^- icc' {ab' -\- ba') — ?>{ab'c' -^ bc'a' -\- ca'b^ -\- a' bc -^ b'ca-^ c' ab).

Nous retrouvons ainsi le théorème énoncé précédemment, que les deux courbes ont le même genre.

369. Ce que nous avons dit jusqu'ici suffît pour faire comprendre la théorie de la correspondance rationnelle; dans ce qui suit, nous considérons la correspondance générale de deux points P, P^ situés sur une même courbe et tels que l'un d'eux détermine l'autre. Supposons qu'à une position donnée de P correspondent a' positions de P^, et à une position donnée de P', a positions de P; on dit que la correspondance est une correspondance (a, a'). Quand a= a/= i, elle est appelée rationnelle.

Gomme exemple simple de correspondance sur une courbe donnée de ni}^^^^ ordre, supposons que les points P, P^ soient collinéaires avec un point fixe O (c'est-à-dire que la droite PP^ passe par O ) ; si P est donné , il y a m — i positions de P^, et si P^ est donné, il y a 7n — i positions de P; en d'autres termes, ceci constitue une correspondance (w — i, m — i). Nous avons déjà indiqué ce genre particulier de correspondance dans le cas du cercle {voir n° 347). Cette correspondance est évidemment rationnelle dans le cas delà conique, ou quand m = 2.

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464 CHAPITRE YIII.

Si le point O est sur la courbe donnée, à une position donnée de l'un des points correspondent m — 2 positions de Tautre, ou plus généralement, si O est un point multiple d'ordre a de la courbe, à une position donnée de l'un des points correspondent m — a — i positions de l'autre point, c'est-à-dire que la correspondance est une correspondance [m — a — I , m — a — i ). Remarquons que nous aurons de cette manière une correspondance (i, 1) de points sur une cubique (en prenant le point O à volonté sur la courbe) ou sur une quar tique nodale (en prenant O au point double), mais que nous ne pourrons pas obtenir une correspondance (i, i) de points sur une quartique générale.

370. Dans ce qui précède, la correspondance a été symétrique, ce qui revient à dire qu'en partant d'un des points l'autre s'obtient par la même construction et que a = a! . Mais, comme exemple de correspondance non symétrique, supposons que P^ soit défini comme le tangentiel de P; ici, P étant donné, P^ est l'une des intersections de la tangente en P avec la courbe (et par suite à une position donnée de P correspondent m — 2 positions de P^). Mais, P' étant donné, P est un des points de contact des tangentes menées par P^ à la courbe (et conséquemment à une position donnée de P^ correspondent n — 2 positions de P, si n est la classe de la courbe); nous avons ainsi une correspondance (/n — 2, n — 2). Il est à peine nécessaire de remarquer que nous pouvons avoir 0L=. aJ sans que la correspondance soit symétrique.

371. Dans le cas d'une courbe unicursale, à un point donné sur la courbe correspond une seule valeur du paramètre 9; et une valeur donnée de 6 détermine un seul point sur la courbe (en d'autres termes, si nous généralisons la notion de correspondance, nous pourrions dire qu'un point de la courbe et le paramètre de ce point ont une correspon-

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dance ( i , » ). Il en résulte immédiatement que, si le point P a a positions, son paramètre doit être donné par une équation de Tordre a; si donc, comme ci-dessus, les points P, P' ont aussi une correspondance (a, a'), la relation entre leurs paramètres doit être déterminée par une équation de la forme (9, i)^(9', i)^'=: o, c'est-à-dire que, 9 étant donné, l'équation sera de Tordre cf! en 9^; mais, 9^ étant donné, elle sera de Tordre a en 9.

372. Un point peut se correspondre à lui-même; on dit alors que c'est un point uni: ainsi, quand les points P, P^sont collinéaires avec un point fixe O, il est clair que le point de contact d'une tangente menée par O à la courbe est un point uni; et si ce sont les seuls points unis, leur nombre est égal à n.

Les seuls autres points qui, à première vue, pourraient sembler des points unis sont les points doubles et les points de rebroussement de la courbe. En effet, si nous supposons P situé en un nœud ou en un point de rebroussement, la droite OP rencontrera la courbe au point P, qui compte comme une des m — I intersections et en m — 2 autres points ; ou ce qui revient au même, la droite menée de O au nœud ou au rebroussement rencontrera la courbe au nœud ou rebroussement compté deux fois et en [m — i) autres points. Mais dans le cas du nœud, les deux intersections en ce point appartiennent à des branches de courbes différentes; en d'autres termes, nous pouvons dire qu'elles sont coïncidentes, mais qu'elles ne sont pas consécutives; la distinction se voit bien quand il s'agit d'une courbe unicursale ; pour ce point double, nous avons alors deux valeurs distinctes de 9, pour chacune desquelles les coordonnées ont les mêmes valeurs; dans le cas d'un point de rebroussement, ces deux valeurs de 9 deviennent identiques; ou, ce qui revient au même, la droite menée de O au point de rebroussement (quoique n'étant pas S. — Courbes planes. 3o

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4bb CHAPITRE yiii.

uQe tangente à la courbe dans le sens propre de ce mot) est une tangente dans un certain sens, alors que la droite menée de O à un point double n'est pas une tangente à la courbe. Nous en concluons qu'un nœud n'est pas un point uni; dans une acception spéciale, un rebroussement est un point uni et nous avons en outre les points unis proprement dits, qui sont les points de contact des tangentes menées de O à la courbe. Revenons à la courbe unicursale et à l'équation

en un point uni nous avons 9 == 9^ et pour trouver ces points nous avons une équation (9, i )°'+'^^= o; c'est-à-dire que si les points P, P^ ont une correspondance (a, a^), le nombre des points unis est égal à a + a^ Appliquons le théorème au cas où P, P^ sont colMnéaires avec le point fixe O : la correspondance est (/n — I, m — i), c'est-à-dire que le nombre de points unis serait égal à 2 (m — i). Le nombre des points de contact ou points unis proprement dits est égal à n\ celui des rebroussements ou points unis particuliers est égal à x et nous devons avoir

Al 4- z z= 2(m — I ),

ce qui a lieu en effet pour une courbe unicursale ayant x rebroussements.

Dans le cas où P^ est un tangentiel de P, on a vu que la correspondance est (/z — 2, m — 2) et le nombre des points unis devrait être égal à m + /i — 4- Nous avons ici comme points unis proprement dits les points d'inflexion et comme points unis spéciaux les rebroussements ; leur nombre total est égal à i + X ; le théorème donne donc i4-x=:/72-4-n — 4 ou, ce qui revient au même, i == 3(/?2 — 2) — 2X : c'est ce qui a lieu réellement pour une courbe unicursale à x rebroussements.