QI-3Q,Q,:--=R

THÉORIE GÉNÉHAIE DES COURBES. ^Sj

:t en conséquence l'équation de la courbe bitangenlielle est

c'est-à-dire que si S, écrit tout au long, est égal à

cette équation est

dW ^dlP dIP ^^cm dE

éo)'^ dy- dz^ ^ dy dz

^ dll dll ^,dn d\l

dz dx dx dy

r= 3 II

dx'^ dy'^ dz^ dy.dz

2 G - — j — h 2 II

dz . dx dxdy

c'est une courbe du quatorzième ordre.

391 . L'équation qu 'on vient d^obtenir peut être transforniéc au moyen de l'expression donnée (^Sect. coniques^ n^ 381, Exemple i) et qui exprime la condition pour que la droite polaire d'un point par rapport à uae conique soit tangente à une autre conique. Nous avons vu que, si ax^ -}-. . ., , a! X- -{- » , . sont les deux coniques, nous obtenons

( ^c -^f) (a'x -H hy + g^zY -i- . . .

=:[a^(bc^f^)-^,.,]{dx'-i^,.. )---¥,

où F représente un covariant conique des deux coniques; et nous avons trouvé de la même manière que

çt^c^ -~f^){ax + hy + gzy-{-.. .

Si maintenant a, bj Cy . . . ont la même signification que cidessus, et si a\ b' ^ . . . représentent les dérivées secondes ae la Hessienne, son degré é tant /i^, les quantités (a'^4-/i^ r+g^^^), .. .

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l88 CHAPITRE IX.

sont égales k (n — i) fois les dérivées premières et (bc — /-) (a' X -h H y -\- g' zy + ... est égal k{ji' — 1)2 fois le covariant que nous avons appelé 6 (n° 231). Nous pouvons représenter par 0' le covariant correspondant dans lequel les dérivées de la courbe et de la Hessienne ont été échangées en tre elles, et dont l'annulation exprime la condition pour que la droite polaire d'un point par rapport à la courbe soit tangente à la conique polaire du même point par rapport à la Hessienne. De la même manière, o! [hc — /-)-{-... est égal à $ et d X- +. . . à i{{i^ — i)H. Nous avons alors les identités

el, dans le cas particulier de la quartique où Ji! z=. 6,

25 e — 3olï * = 0' — IJ *'.

Ainsi les points de contact des bitangentes sont donc les intersections avec la courbe, non seulement de 6 — 3H^ comme on l'a déjà obtenu, mais aussi de i5 6 — 6^ ou de 8^ — 43H<Ï>; les courbes bitangentielles pourraient aussi s'exprimer en fonction du covariant F.