k{n -^ i)R4.(Q^.,) -- n{n - i) /cP,..,lL
388. Au moyen de ces formules, nous pouvons former une Table des valeurs de P3, Q3, .... Ainsi, pour commencer, il est évident que P^ = o, Q^ = o et (n^* 383)
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[\ = —l, Q,zz.-H. Donc Vî= - A (S), Q3== - A(H). Quand la courbe est une cubique, A=^ n'est rien autre que la (onction cubique elle-même, et la valeur que nous venons de donner pour Qg peut s'interpréter géométriquement comme il suit: si une droite quelconque olx -{- PjK + y^ rencontre une cubique et que de chacun des points de rencontre oti mène quatre tangentes à la courbe, les douze points de contact sont situés sur la quartique
Hi H, H3
car cette condition, comme nous l'avons vu, doit être vérifiée pour un point quelconque de la courbe, dont la tangente coupe oLjc -}- '^y -i- y z sur la courbe. Ce résultat découle immédiatement aussi du n^ 183.
Passons maintenant à Q^ ; nous avons (n^^ 387)
Q,=:-V(AH)-h3(AZ~l)(A2 — 4)SH
--3(/z — i)R^ (H) + 3/^/^ — 1) SH rr= — V(aH) + 6(^? — I)(/^— 2)i:H — 3(ai— i)R'].(Hj.
Mais, conformément au résultat de la fin du n^ 385, si nous posons A^ = I, et si nous représentons par n^ le degré de la llessienne, ou ?>{ji — 2),
d'où
V(AlI)r=:Ani— (/i— l)Rt};(H)-|-(/Z— I)/^^I:fI, q,r=z — ^^:l H- (/i — I }n'l.ll — 2{n~ l)RJ;(H).
389. Nous avons maintenant les matériaux nécessaires [)our calculer l'équation de la courbe bitangentielle d'une quartique. Suivant la méthode indiquée (n° 384), nous devons d'abord former le discriminant de A = o ou de
A''îx2;
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THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. /\Sd
])uis, après avoir remplacé ^, par My — N^, ..., nous devrons faire disparaître a, p, y, au moyen de l'équation de la courbe. En effectuant la substitution avaut de former le discriminant, l'équation devient
QaV-
dont le discriminant ne diffère que par un facteur numérique de Qfj — 3Q2Q/i ; cette fonction renferme encore a, p, y au second de^^ré et par conséquent a encore besoin d'être réduite. La formule suivante va nous être utile pour cet objet.
390. Si nous bordons la matrice du Hessien horizontalement et verticalement avec trois rangées et trois colonnes, le déterminant résultant est évidemment égal au produit changé de signe des deux déterminants qu'on a ajoutés horizontalement et verticalement. Si en particulier V, W sont des lonctions des ordres 7i^ , ii!' ^ nous avons
a h g oL y ^ h
g f c Y Yb N
ou bi
A( Y) A (W) =z n' II" YW (/"^ — n' VR ( ^^
n"WR
n' YR
Vw
et, quand x' y' z' satisfait à l'équation U =: o, le dernier terme est nul. Ainsi, en particulier,
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486 CHAPITRE ÏX.
OU, dans la nota lion que nous avons employée plus haut,
Ql ={M{y=z n'^Wl ~ 2 «^HR^( II.) -f- R^ [^
Ce dernier terme représente le résultat obtenu en remplaçant dans S les quantités a, [i, y par les eoefficients différentiels de H.
Nousobtenonsprécisémentdela même manière une formule de réduction pour A^V en écrivant dans le déterminant précédent -r—, -,-r — - à la place de Vi , Vo, V3 et de W| , W2, W.}, dx cly dz ^
et en supposant l'opération effectuée sur V. Alors, dans la réduction, au lieu de n!Y el àenl'Y^ nous avons
x^' -7—, ■+- l'-j—i -+- ^' "/^ dx' ^ dj dz
et la formule devient
Dans cette relation, le dernier symbole représente le résultai obtenu en remplaçant dans S les quantités a, [3, y par les symboles de différentiation et en opérant sur V.
Introduisons la valeur ainsi trouvée pour A^H dans la valeur donnée pour Q^ (n"^ 388), il vient
et, comme Q2 = — H, nous avons en général
(n'~n)Ql~n'q,q,=zR'
dans le cas de la quartique, pour laquelle /z= 4, n' -'=' 6,
