Q, --ZZ — 362 A + 8 R>F( H) — R'M

Pour former la courbe bitangentielle d'une cjuartiqiie, la quantité à calculer est

(.7Q,Q,-5Q,Q4)^ = 5(4Q^-9Q2QO(5Q?-.2Q:,Q,);

c'est une expression qui renferme a^ [3^ v au sixième ordre, et il faut prouver au moyen de Féquation de la courbe qu'elle est divisible par R^. Mais, en vertu d'une- formule déjà obtenue^ nous avons

4Ql-9Q2Q.'. = R'-(4e-9H<î>).

Il est facile de démontrer aussi que '^yQ^^Q,^ — ^Q:}Q'. et 5Q^ — 12Q3Q5 sont chacun divisibles par R; mais je n'ai pas pu mener la réduction plus loin.

Nous avons montré ailleurs [Algèbre supérieure, w!^ 295) comment tous ces calculs peuvent se faire au moyen des méthodes symboliques.

393. Une autre méthode (*) pour résoudre le problème des tangentes doubles est suggérée par la démonstration qu'on a donnée (n°^ 183-235) que le point où la tangente à une cubique la rencontre de nouveau est déterminé par l'intersection de la tangente avec la droite xHi 4-jrH2 + SH3 = o. Il vient à l'idée de chercher à calculer de la même manière l'équation d'une courbe de l'ordre n — 2 qui passe par les (/i — 2)

(^) J'ai donné cette méthode dans \c Philosophical Magazine, oct. i858, et dans le Quarterly Journal of Mathematics, vol. III, p. 317. Voir aussi les Mémoires de M. Gayley, Phil. Trans. (iSSg), p. tgS, et (1861), p. 357,

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490 CUAIMTRE IX.

points OLi la tangente à une courbe de Fordi?e n la rencontre à nouveau. L'équation de cette courbe tangentielle une fois obtenue, si nous formons la condition pour que la tangente donnée lui soit tangente, nous aurons immédiatement l'équa- Lion de la bitangentielle. La proposition que nous avons déjà démontrée relativement à l'ordre de la bitangentielle nous permettra de voir quel doit être Tordre de la courbe tangentielle par rapport à x y zl et aux coefficients. La condition pour que la droite L^ + My + N^ soit tangente à une courbe de l'ordre {n — i) est de l'ordre {n — 2)(n — 3) en L, M, N et de l'ordre ^{n — 3) par rapport aux coefficients de cette courbe. En conséquence, si les coefficients de la courbe tangentielle contiennent x' ^ y' ^ z' k Tordre /? et les coefficients de la courbe originale à Tordre q^ la l)itangentielle doit être de Tordre {n — i){n — 2)(n — 3)+ 2p(n — 3) en x' y z' et de Tordre (n — 2)(/z — 3)+2^(/2 — 3) par rapport aux coefficients de l'équation originale. Mais actuellement la bitangentielle est de Tordre (/i: — 2)(« — 3)(/2 + 3) en x'yz et de Tordre (/i 4- 4)('^ — 3) par rapport aux coefficients de l'équation originale (n° 382) . Il s'ensuit alors que pz=.2(n — 2), qzz^Z, c'est-à-dire que la taugentielle doit être de Tordre i{n — 2) en x'yz^- et dti troisième ordre par rapport aux coefficients de l'équation originale. De plus, si nous savons que (x', y ^ z^) est situé sur la Hessienne, la tangentielle doit passer par (^x'\, JK^ z') et, par conséquent, si nous remplaçons x^y, ^ par ;r^ y\ z\ ïa tangentielle devra se réduire à H. Cette considération et la forme connue de la tangentielle dans le cas de la cubique fait supposer que la tangentielle en général est la [n — 2)''°^^ polaire de ^y^ par rapport à Hou A^^^-H. En effet, c'est une courbe d'ordre convenable par rapport à xyz^ à x' y z% et aux coefficients, et elle passera par x' y z' quand ce point est situé sur la Hessienne. En conséquence, dans le ]3rocliain paragraphe, nous examinerons si la courbe A"~^(H) passe par les points où la tangente rencontre de nouveau la

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THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. l\gT

courbe; nous trouverons^ il est vrai,, que cette hypothèse est inexacte, mais notre mode de recherche nous conduira à la vraie forme de la tangentiellë.

394. Prenons rorigine sur la courbe et l'axe des jk pour tangente; et soit alors l'équation de la courbe

nby 4- -|i/i ( /^ — i ) ( Co ^^ -I- 2 Ci^y 4- c^j^'^

Il faut observer, et la remarque sera utile dans la suite, que les différentes polaires de l'origine, par rapport à la courbe, s'obtiennent en remplaçant n par n — i, n — 1, ... dans cette équation. Pour que la courbe puisse passer parles points tangentiels, son équation doit être telle qu'en y faisant/K=o elle se réduise à

\n{n — i)Co4- — ^ /i(/i — i).(/i —i)dç^x -i- . . . — o-

Formons maintenant l'équation de la Hessienne;. comme nous avons à trouver ses courbes polaires par rapport à l'origine, puis à y fairejK = o, nous n'avons à nous occuper que des termes de la Hessienne qui ne renferment pas y, Les dérivées secondes de la courbe donnée sont

a ■-■= eo + (ai — 2 ) <:4 ^ H- 1( ^ — Q.){n — 3 ) ^o ^^ + • b:=iC^-^{n — 2) d^oc -\- ^^{n — 2 ) ( /2 — 3 ) ^2 -3?^ -1- . . . . c — \{n — 2){n— 3).Co^^-}-. .

f -=-b -i- {n — 2 ) c^a^ -H |( ^ — ^ ) ( ^^ — ^ )^i -^^^ + • g-=z {n~ 2)Co^+|(/z:- — 2){n — 3):^Q^2|^

k —=: Cj -h{n — 2).diœ -\-^{n — 2 )(/i • — 3 )ei x^-\-. .... .

On trouve facilement alors que l'équation de la Hessienne est

Cq 6^ + (n -— 2) dob^ ^ -h [| (ai — 2)(n — 3) eo b^ -\-{n~i){n~ 2)? ]^- 4-|[(/i-2)(;i-3)C/i-4)yo^- + (/z-i)(/^-2rQ

492 CHAPITRE ÏX.

dans laquelle nous avons posé^ pour abréger,

2 P = c^cl — CqcI -\- 2 bc^d^ — ibCi^d^j

2Q=: d^cl — ^c^c^di -H cld^,

3R =: CoÇo^^o — d^cl-^ 2eç^bc^ — 2c^be^\

mais les valeurs actuelles de ces quantités n'ont rien à faire avec l'objet que nous avons en vue. Ce qu'il y a d'important, c'est de remarquer que l'équation se divise en groupes de termes ayant chacun pour coefficient numérique la même fonction de /z, en sorte que, si nous voulons former l'équation delà Hessienne de la première, de la seconde, . . . polaire de la courbe donnée par rapport à l'origine, nous n'aurons qu'à remplacer n par n — i, n — 2, . . . dans l'équation ci-dessus.

La droite polaire, par rapport à l'origine, d'une courbe du /i'^""^ degré u^-\-u>, -4-, . .==0 étant nu^i -f- i/|==o, la droite polaire de l'origine, par rapport à la Hessienne qui est une courbe de Tordre 3 (n — 2), est, d'après l'équation précédente, 3(^3 + dç^x = o, avec un terme en y^ étranger à la question actuelle; et comme cette équation ne contient pas n, nous voyons que la polaire d'un point de la courbe par rapport à la Hessienne de la courbe elle-même ou de ses courbes polaires rencontre la tangente en un point qui reste le même pour toutes les polaires. En ejQTet, la polaire est dans tous les cas la même droite. Si /^=:3, 3co -h doX est le résultat qu'on obtient en faisant jk = o dans l'équation de la courbe, c'est-à-dire que la polaire par rapport à la Hessienne est la tangentielle, comme nous l'avons déjà vu.

L'équation de la conique polaire de l'origine par rapport à une courbe du n}^"^^ ordre est ^n(n — i) Wo + (^ — 1)^1 + U2=^o ; et en conséquence la conique polaire par rapport à la Hessienne est

l{n ~ 2){37i —'])cqP -h {n — 2){^n~j)dob^-x

^-[^(/^ — 2)(ai — 3)eo^"^ + (^ — i)('^ ~ 2)P]^'-=:0,

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THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES. Zj93

et il est évident à première vue que, dans le cas de la qnarlique, cette conique polaire ne peut être la tangentielle, parce qu'elle contient le groupe de termes P qui n'entre pas d'une manière semblable dans l'équation de la courbe. Mais nous pouvons aisément former une équation qui ne renferme pas ces termes. Représentons par A^H^o l'équation que nous venons d'obtenir et soit A^Hj la conique polaire par rapport à la Hessienne de la première polaire de l'origine; comme nous l'avons déjà vu, A^H se déduit de A- H en remplaçant n par n — i. Il est alors facile de vérifier que

{n — 2 ) A- H — 2 ( /i — 1 ) A^ Hj — - (/z — 3 ) ^- [6 Co 4- 4^0-^ + ^o<^"]-

Mais quand la courbe donnée est dn quatrième degré, le second membre est ce que devient l'équation de la courbe donnée quand nous faisons jk = o. Il s'ensuit alors que A- H — 3 A- H 4 est la tangentielle cliercbée pour la quartique.

On trouve exactement de la même manière que la troisième polaire de l'origine par rapport à la Hessienne est

J(3ai — 6)(3/i — 7)(3 7i — 8)co^2 + H^^ — 2)(3ai — 7)(3/i — 8X/o^^r -h|(/i — 2)(/i — 3)(3ai — 8)eo^'^'+(^ï— 0(^^— 2)(3/2--8)Px2

et l'on obtient A^Hj, A^H^, . . . en remplaçant /zpar(n — i), 1,1 — 2), .... Nous pouvons vérifier que

(,^__3)(,i__4)A3H — 2(/i— i)(ai— /i)A=^H.i + (/z— 1(^0 — ^^^'^2

et si 72 = 5; le second membre de l'équation est ce que devient l'équation primitive quand nous y faisons j^ = o; en conséquence, il en résulte, comme plus haut, que l'équation de la tangentielle est

A^lI-4A-^H,-H6AqL---=:o.

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Si /^ = 6, la tangentielle est de même

J'ai été amsi conduit par iTiduction à cette coDcliision, que IM. Cayley a vérifiée d'une même manière, que la tangentielle est en général

A«-2H — (n~i) A«-2Hi H- { ( n — i){n — 2 ) A^-^H, ...:= o.

395. Il est facile d'établir la proposition que nous avons énoncée plus haut, à savoir que les droites polaires de rorigine sont les mêmes par rapport à la Hessienne et à la Hessienne d'une quelconque des courbes polaires. Nous avons

clYl dR da

dx da dx

ou, si nous employons les abréviations ordinaires, en remplaçant 4 par bc — /^, . , .,, nous avons

dx dx\ ^ dx^- dy- dz- dydz dz dx dxdyj

et nous trouvons des expressions semblables pour les dérivées par rapport à jk et ^. Il est bon de remarquer qu'on peut les

écrire sous la forme abrégée -j~ = — -y- I , I • Les dérivées