CIX .cix

de la première polaire x'Ui -^yV^ +^^U3 se déduisent des dérivées correspondantes de la courbe primitive en effectuant sur elles l'opération^^ IT '^ '^ T"^ ^ ~d-'^ ^^ nous rem-' plaçons xyz par x'y' z' ^ cette opération revient à muliiplicr chacun d'eux parles facteurs n — i , 11 — 2, . . . .Mais, comme le même facteur numérique est commun à chaque terme dans l'expression de H, , il est évident que ^H, + j^^Hs -|- ^H;., représente la même droite, que la polaire soit prise par rapport à la Hessienne de la courbe originale ou à la Hessienne

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TÏTT'OÎIIE GÉNÉRALE DES COUKBES. 4f 5

ôe sa première polaire,. Le même raisonnement s'applique aux autres 00 II rîbes polaires.

Passons à la conique poilaire. Si nous difierentîons les équations qsuie nous venons de donner pour H, * . .,les différentielles se composeront de deux groupes de termes : les différentielles prises dans l'hypothèse ou A, B, C, ... sont constants, elles termes obtenus en différentiant ces quantités. Si, pour abréger^ nous no la s servons des lettres Ç, t], Ç pour représenter les symboles de différentialion par rapporta ^,k, ^, nous avons

il est bien entendu que les accents, dans le dernier groupe de termes, peuvent être supprimés après le développement, le terme f^^ a y)^'^^^ tenant, par exemple, la place de

dxdy' dxdz^ La dernière équation peut être écrite sous la forme abrégée

Ainsi l'équation de la conique polaire d'un point, par rapport à la Hessienne, peut être mise sous la forme V + W = o ; V représente un groupe de termes dans chacun desquels une dérivée quatrième est multipliée par le produit de deux dérivées secondes, et W un groupe où chaque terme renferme une dérivée seconde multipliée par le produit de deux dérivées troisièmes. Prenoes maintenant la Hessienne de la première polaire ; comme on l'a énoncé plus haut, les dérivées secondes, troisièmes et quatrièmes sont alors respectivement multipliées par n — 2, n — 3, n — 4? ^t le résultat est

A^'Hi - (7i — 2 ) ( /^ -- 4 ) V 4- ( /i — 3 )2 W r^ o ;

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pour ^ = 4? il se réduit au dernier groupe de termes. L'équation de la tangentielle d'une quartique est évidemment alors de la forme V + /i:W = o, et elle peut être transformée en conséquence. Ainsi elle peut être mise sous la forme

! d cl cl . ^,,

cl d d \^ / . d^, . -.^,

L'équation de la courbe bitangentielle s'obtient en formant la condition pour que la tangente hx + My + Nz soit tangente à la conique qu'on vient d'écrire; elle se composera évidemment de trois groupes de termes, puisque la condition pour qu'une droite soit tangente à S + A" S' est de la forme S -+- A- <ï> -{- /r' S^ = o . La quantité qui correspond ici à S est le covariant appelé 6'; et j'ai vérifié que les deux autres groupes de termes peuvent ainsi s'exprimer sous la forme 6 + AH <[> ( ^ ).

396. 11 convient de réunir ici quelques propriétés de la Jacobienne d'un système de trois courbes, propriétés qui ont été énoncées {Algèbre supérieure , n^^ 88 et 176) et çà et là dans ce Volume. La Jacobienne est le lieu des points dont

(*) J'ai essayé de même de former l'équation de la courbe bitangeiiliellc d'une quintique en prenant, pour représenter la courbe dont l'équation est donnée au n° 394, un covariant d'ordre convenable et tel que son terme absolu s'annule si Taxe des x est tangent une seconde fois à la courbe donnée. Parexemple, si<{> = 4€) — 9H<ï>,

sont des covariants d'ordre convenable. Bien que je n'aie pas réussi, il peut être utile de donner, à titre de renseignement, les valeurs que j'ai obtenues

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POLES ET POLAIRES. /j97

les droites polaires par rapport aux trois courbes se rencontrent en un même point; son équation est

Jrrz

Wi Wq, w^

Nous avons vu (n^ 191) que la Jacobienne est lieu des points doubles des courbes du système

\u-\- [JL^ 4- v(^ =1 o.

Si les trois courbes ont un point commun, il est situé sur la

dans ce cas, pour les covariants. On verra que nous pouvons, sans rien perdre en généralité, supposer c^ et c^ nuls. 11 vient alors

l{=zb''-c-\- Zb''{d,x + d,y) -\-?>{b''e,— f^bcd^)x'' 4- 3 ( 2 ô"-^ gj — 5 bcd^ ) xy + 3 ( ô^ e.^ — bcd^)y'^ -h(ôVo— i6bce^-i-i8c^d^)x^ -+- {ob'^f^— 3ç)bce^— gbd^d.^-h ^bd\ -\- i8c-d^)x^y + ( — bbc/^ — 1 2 bd^ e, + 1 2 6^0 <^i -f- i8 c^ ^2