a( — -|7722 — Zmn

rs^> ■

rr!' -

(2) {jt.^^=za, v'^=i2a, p" = 2a, œ" nz a.

(2jl) < V^ == 24m 4-24^ + a(2772-h27l — 24).

[ {JL = 24^^ H- 3077271 4- 1271^ — 168772 — 16872. l 4- a (m^ 4- 2 77i7Z 4- -| 72^ — 26 772 — ^- 7Z -f- I 3 8)-

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DES SYSTÈMES DE COUKBES. SsQ

{x ■—- — 14m — 3 n + 3 a, . v^ r=: — 8 /ri — 8 /i -|- 6 a,

ij. ~ — 8 m^ — 12 mn — 3 /^^ + 56 m -\- 53 /?

( 4 ) jJ, rtz — I O W — 8 /2 4- 6 a, V rr:; — 8 /??. — lOn -\- 6a.

420. Il reste encore à établir les formules qui donnent le nombre de coniques qui satisfont à cinq conditions inséparables, comme par exemple (5) le nombre de coniques ayant avec une courbe donnée un contact du cinquième ordre. Ces nombres se trouvent en étudiant le cas où une courbe à laquelle les coniques sont ta gentes est un complexe de deux autres courbes : ainsi les coniques qui ont un contact du cinquième ordre avec un complexe de deux courbes se composent des coniques ayant un contact semblable avec les courbes séparées, et par conséquent l'expression pour (5) doit être une fonction de /??, n, or. telle que

fî> (m H- 7??/, n -I- ;?/, a + a') = ^1^(7?!, 71, a) 4- '-^{m', 11' , c. ) ;

donc (5) est évidemment de la forme am -{- bn -{- col. D'après la symétrie, nous devons avoir a = b; et connaissant le nombre de coniques sextactiques quand m = 3, nous déterminons a et c et nous trouvons (5)== — i5m — iS/i-l-ga. De même aussi, les coniques (4?0 ^^ composent des coniques ayant ce même contact avec courbe séparée et des coniques ayant le contact 4 avec une courbe et le contact i avec l'autre . Le nombre de ces dernières coniques se trouve au moyen des formules du numéro précédent, en sorte que

fï>(;?2+ m', n 4- n' , a -|- ol') — cî> m n^ a) — {^ m\ n\ a)

est fonction connue de m^rij a. C'est en suivant la marclie que

S. — Courbes planes. 34

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53o CHAPITRE IX.

nous Indiquons ici que M. Cayley a établi la table suivante : 8^2 — 2omn — 8/1^-1- iol\{m -\- n)

+ 6a (772 4- Al — II).

\ m} —lom'^n — 10 mn'^ — f ti^ + if^ ni^ (3, 1,1) ] -f-ii6m7i + -i|^7i2— 434^^ — 434^

-\-(^{\m'^-\-Q> mn H- 1 ti^ — -^ t?? — ^ tz + 29 1 ) — | a-.

4 a( — 8771 — 8 71 4- 327 ) 4- a2 (i 771 + i /i — 12). = 6772'^ 4- ?>om}n 4- 3o 77271^4- 6 71^— \']n{m 4- /ï)^

— iV ( ^ * + ^* ) "■ I '^^ (^^^ 4- /^^ ) — 2 772^ 71^

■-W(^^'-i-^^')--W^^(''^-l-^) + -ri-(^' + ^')

(^ï)ljl^ï) \ I 5 9J.^,, — ■ 3159 (m -4- n^-l-a/l

-^mn ~^^{m 4- 71)4- «( — j^^^ — I /?^^/^

MM. Zeuthen et Cayley ont aussi cherché les formules relatives aux cas où les conditions impliquent le contact avec une courbe en un point donné. Le Mémoire de M. Cayley contient des recherches sur une formule de M. de Jonquières, qui donne le nombre de courbes de l'ordre r ayant, avec une courbe donnée de l'ordre m, t contacts de l'ordre a, 6, c, ... et passant en outre par p points de la courbe. Mais le sujet est trop étendu pour être traité en détail ici.