On peut observer, en ce qui a trait à ce sujet, que le

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5o4 CHAPITRE IX.

tact-invariant d'une courbe et de sa Hessienne étant de l'ordre 3(/72 — 2) (5 m — 9) par rapport aux coefficients de la courbe et de Tordre m{jjn — i5) pour ceux de la Hessienne, cet invariant est de l'ordre 6{6m^ — î'jm-\-g) par rapport aux coefficients de la courbe originale. Quand m = 3, le tact-invariant est la sixième puissance du discriminant ; et si nous supposons, en conséquence, que la sixième puissance du discrimant entre toujours comme facteur dans le résultat, il reste un facteur de l'ordre 6 (m — 3) (3m — 2) qui, égalé à zéro, expriuie la condition pour que la courbe ait un point d'ondulation.

Prenons encore la condition pour que la courbe, sa Hessienne et sabitangentielle aient un point commun; cette condition, étant respectivement des ordres 3 ( 7?2 — 2)-(/?i^ — 9), m(/?2 — 2)(/?2- — g)^3m(?n — ■ 2) par rapport aux coefficients de ces courbes, est de l'ordre

en fonction des coefficients de l'équation originale. Quand 771 = 4, cet invariant paraît être la douzième puissance du discriminant multiplié par le carré de l'invariant considéré en dernier lieu. Si nous supposons qu'on doive trouver les mêmes facteurs en général, il reste un invariant de l'ordre 3{m — 4)(3/n3 H- 5m2 — 32m+i8), qui sera nul quand la courbe a une tangente inflexionnelle qui lui est tangente en un autre point quelconque.

401. De même que la Jacobienne est le lieu des points dont les droites polaires, par rapport aux trois courbes, se coupent en un même point, de même nous pourrions étudier le lieu des points où ces droites polaires se coupent; ou, ce qui revient au même, le lieu des points dont les premières polaires par rapport aux trois courbes ont un point commun. Nous nous bornerons au cas où les trois courbes sont les

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POLES ET POLAIRES. 5o5

trois premières polaires d'une courbe donnée; dans ce cas, la Jacobienne est la Hessienne de la courbe et l'autre lieu que nous venons d'indiquer en est la Steinerienne (n° 70); la théorie que nous allons exposer est la généralisation de celle que nous avons indiquée pour la cubique (^) (n° 175).

A un point P de la Steinerienne correspond un point Q de la Hessienne; la première polaire de Pa Q pour point double et la conique polaire de Q se compose de deux droites qui se coupent en P. Considérons deux points successifs de la Steinerienne (n^ 178) ; l'intersection de leurs premières polaires sera alors le point Q compté deux fois et les points de contact de la première polaire avec son enveloppe. Ainsi la polaire, par rapport à la courbe, d'un point Q de la Hessienne est la tangente à la Steinerienne au point correspondant P. En particulier, si Q est un point d'inflexion de la courbe, sa polaire sera la tangente en ce point; nous voyons ainsi que la Steinerienne est tangente aux 3 m (m — ■ a) tangentes stationnaires de la courbe.

402. Nous avons vu (n° 70) que les ordres de la Hessienne et de la Steinerienne sont respectivement 3(/72 — 2) et 3(7?2 — 2)-. La Hessienne n'a ordinairement pas de point double; et par conséquent ses caractéristiques Plûckériennes sont

[j-zzz3(7?2 — 2), 0=:0, X = O, V=:3(/?î — 2 ) ( 3 /?2 — 7),

l rrr 9 ( 772 — 2 ) ( 3 772 — 8 ) .

Comme il y a une correspondance (i, i) entre la Hessienne

(*) Les principaux théorèmes de cette section ont été énoncés par Steiner dans un Mémoire lu à l'Académie de Berlin, i8'j8, et imprimé ensuite dans \q Journal de Crelle, 1864, t. XLVII. En ce qui concerne les cubiques, j'en avais donné la théorie dans la précédente édition de cet Ouvrage (1862). Je ne connaissais pas les travaux de Steiner, que j'ai appris seulement par le Journal de Crelle.

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5o6 CHAPITRE IX.

et la Steinerienne, les genres des deux courbes seront les mêmes. Nous obtenons ainsi la classe de la Steinerienne; en effet, une de ses tangentes qui passe par un point fixe M doit avoir son pôle sur la première polaire de M, et, comme il doit aussi se trouver sur la Hessienne, il doit être une des 3 (m — ■ i)(7?2 — 2) intersections de ces deux courbes. Donc les caractéristiques de la Steinerienne sont

[j. = 3 ( 772 — 2 )^ , V = 3 ( m — i.){fn — 2 ) , 0 = ^ ( /?2 — 2 ) ( /?z — ^ 3 ) ( 3 in^ — 9/72 — 0 ) , X == 1 2 ( 7?2 — 2 ) ( m — 3 ) ,

i — ?>{m — 2){[\ni— 9).

Un point est un point double ou un point de rebroussement sur la Steinerienne, si sa première polaire a deux points doubles ou un rebroussement. Donc les nombres S et x cju'on vient d'obtenir sont les nombres des premières polaires delà coarbe donnée cpii ont les singularités en question (voir n«399).

403. Si les deux premières polaires de deux points A, B sont tangentes en un point Q et ont PQ pour tangente, deux des pôles de la droite AB coïncident avec Q; et la première polaire d'un point quelconque de AB (autre C|ue l'intersection de AB avec PQ) sera aussi tangente à PQ en Q. La première polaire du point excepté, ou de l'intersection de AB avec PQ, aura Q pour point double; Q sera un point de la Hessienne et P le point correspondant sur la Steinerienne. Donc la Steinerienne est l'enveloppe des droites dont deux pôles coïncident, et la Hessienne est le lieu de ces pôles coïncidents. Steiner a étudié l'enveloppe de la droite PQ qui joint deux points correspondants P, Q, ou qui est la tangente commune des deux premières polaires qui sont tangentes entre elles. Gomme dans le cas des cubiques (n^ 177), nous

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POLES Eï POLAIRES. O07

appellerons cette courbe la Cayleyenne^^). Elle a évidemment une correspondance (i , i) avec la Hessienne et la Steinerienne et par conséquent elle est du même genre.

Pour déterminer sa classe, nous emploierons les principes établis n° 372 et Sections coniques, Appendice, à savoir que si deux points sur une droite, ou deux droites passant par un point, ont une correspondance (m, m')^ il y aura ni-^m cas de coïncidence de ces points.

Considérons donc les droites qui joignent un point arbitraire M aux deux points correspondants P, Q. Comme la Steinerienne est une courbe de l'ordre 3 (m — 2)2, si la droite MP est fixe, il y aura 3(/?2 — 2)^ positions de P et autant de Q. De la même manière, à une position quelconque de MQ correspondent 3 (m — 2) positions de P. Il y a donc 3(771 — • 2)2 -f- 3(/?2 — 2) OU ?i[m — i) (/?z — 2) droites qui peuvent être menées par M, et qui contiennent deux points correspondants P, Q; c'est par conséquent la classe de la Cayleyenne. Elle est évidemment tangente aux tangentes d'inflexion de la courbe donnée. Elle n'a pas d'inflexions et ses caractéristiques sont

p. = 3 ( 7?2 — 2 ) ( 5 772 — II), V =: 3 ( /7i — I ) ( m — 2),

'Z ■=! \{in — lY{}n^ — 2 772 — l), l = G.

404. Les définitions déjà données peuvent être étendues plus loin, si l'on considère les points doubles non seulement sur les premières polaires, mais sur un système quelconque de courbes polaires. Le lieu d'un point, tel que sapolaire Q^'^"'^ ait un point double, est une courbe de l'ordre 3G(7?z — 9 — i)^ qui est la Q^'^^^^ Steinerienne ; et le lieu du point double est

(*) M. Gayley l'appelle la Steiner-Hessienne.

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5o8 CHAPITRE IX.

alors une courbe de l'ordre 3 9^ {m — 9 — i), qui est la 9' ''''' Hessienne. Nous savons que, si la 9'''"^*^ polaire d'un point P passe par un point Q, la {m — 9)''"'^ polaire de Q passe par P; et il est facile de voir aussi que si la 9^ '""^ polaire de P a un point double Q, la [m — 9 — i)^''"^ polaire de Q a un point double P. Donc la 9 Steinerienne est la même courbe que la {m — 9 — i) Hessienne, et la 9 Hessienne est la même que la (^m — 9 — ^ i) Steinerienne. De la même manière, nous pourrions considérer la 9 Gayleyenne ou l'enveloppe de la droite qui joint les points correspondants sur la 9'^"^"^ Steinerienne et 1^ Qième Hessienne; les trois courbes ont le même genre. Excepté dans le cas 9=1, ces courbes ont été peu étudiées.

405. Nous avons considéré (n^ 184) l'enveloppe des droites polaires, par rapport à une cubique, des points d'une ligue droite et nous l'avons appelée la polaire de cette ligne droite. De même en général, si un point P se meut sur une courbe directrice S de l'ordre 5, l'enveloppe de sa 9'^"^*^ polaire, par rapport à une courbe donnée U de l'ordre m, sera une courbe que l'on peut appeler la 9^*^™^ polaire de S par rapport à U. Nous avons vu (n^ 98) que l'on peut trouver l'enveloppe d'une courbe, dont l'équation contient comme paramètres les coordonnées d'un point mobile le long d'une courbe S, en considérant les paramètres comme des coordonnées et en exprimant la condition pour que la courbe mobile soit tangente à S. Donc la polaire 9'"^"^^ de S est aussi le lieu des points dont les polaires {m — 9) sont tangentes à S. Si nous employons l'expression (n° 97) qui donne l'ordre d'un tact-invariant, nous voyons que la 9''"^^ polaire de S est une courbe de l'ordre s {s -\- i^ — 3) (m — 9); ce nombre diminue de i[m — 0) unités pour chaque point double et de Z{m — 9) pour chaque rebroussement; et si la classe de S est /, alors la 9^""^^ polaire sera de l'ordre

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Elle sera de l'ordre 9( 25 4-9 — 3) en fonction des coefficients de S.

En particulier, si 9 = i, l'enveloppe des premières polaires des points d'une courbe S est la même que le lieu des pôles des tangentes de S et son ordre est s' [m — i). Si dans ce cas 5=1, cet ordre se réduit à zéro, comme cela doit être, puisque l'enveloppe se réduit alors aux [m — i)^ pôles de la droite S. En général, il est évident que chaque tangente double de S donnera naissance à (m — i)^ points doubles qui sont ses (m — i)^ pôles, et que chaque tangente stationnaire donnera (m — i)- rebroussements sur l'enveloppe. Nous avons donc pour la classe de l'enveloppe

{m — lYs — {m — i)s' — 2 (m — i)^ t — ?>{in — i)^ t;

ou bien, comme s'- — s — 2t — 3 i = 5, la classe de la première polaire est

{jn — i){j7i — 2)8' -\- {m — lYs,

Si 9 = /?2 — I, l'enveloppe des droites polaires des points d'une courbe S, ou le lieu des points dont les premières polaires sont tangentes à S, est de l'ordre s {s-^ im — 5) ou s' -h 2.s(m — 2). Et comme le nombre de ces droites polaires qui passent par un point arbitraire M est le même que le nombre des intersections de S avec la première polaire de M, la classe de l'enveloppe est (m — 1)5.

En général, le nombre des points doubles de la polaire 9'''"^^ de S est (m — 9)^ fois le nombre des polaires(m — i)''^"''^d'un point qui sont deux fois tangentes à la courbe et le nombre des rebroussements est (m — 9)^ fois le nombre de ces polaires qui osculent la courbe donnée.

Si la 9^*""^^ polaire d'une courbe S est une courbe R, la (m — ^y^'^^ polaire de R doit contenir, comme partie d'elle même, la courbe S. Ainsi, par exemple, si 9 =: m — i, R est

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5lO CHAPITRE IX.

l'enveloppe de la droite polaire d'un point P qui se meut sur S; mais comme le pôle de cette droite polaire peut êlre non seulement le point P, mais {jï% — i)^ — i autres points, il en résulte cjue, si nous cherchons le lieu des pôles des tangentes de R (ou, ce qui revient au même, l'enveloppe des premières polaires des points de R), nous obtiendrons la courbe S, avec une autre courbe qui est le lieu des points copolairesaveclespointsde S, c'est-à-dire des points ayant les mêmes droites polaires. Dans ce cas, où 9 = m — i, nous avons vu que la classe de R est s{m — i)-; par conséquent^ (n^^ 405) l'enveloppe des premières polaires des points de R est de l'ordre s{in — i)^; ou, bien il y aura, en outre de la courbe S, une courbe compagne de l'ordre sin(^jn — 2). Nous avons vu cjue tout point de la Hessienne est un point où coïncident deux pôles d'une tangente à la Steinerienne ; conséquemment les points où S rencontre la Hessienne seront des points de cette courbe compagne, cjui en outre rencontrera S en \s{m. — i)[in — 3) couples de points copolaires. Si 9 = I, R est le lieu des pôles des tangentes de S, et comme un point donné a une seule polaire, si nous cherchons l'enveloppe des droites polaires des points de R, nous devons retomber sur la courbe S, et il semblerait qu'il n'y a pas ici de courbe compagne. Il faut noter cependant que les tangentes communes de S et de la Steinerienne font partie de l'enveloppe. En effet, nous avons vu qu'à chacune de ces tangentes communes correspondent deux points coïncidents sur R et, par conséquent, cjuand nous employons la marche inverse, à ces deux points correspondront deux droites coïncidentes, dont chaque point a droit d'être regardé comme faisant partie de l'enveloppe. De plus la courbe S doit être comptée {m — i)^ fois dans l'enveloppe, parce que à chaque tangente de S il correspond [m — ï)^ pôles situés sur R, et, par conséquent, quand nous prenons réciprocjuement les polaires des points de R, chaque tangente de S est comptée (m— i)^ fois. Nous

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CONIQUES OSCULATRIGES. 5ll

avons vu que, si l'ordre et la classe de R sont r et r', l'ordre de sa (m — lyèuio polaire est r' H- i{jn — 2)r"; mais

/•'=: [m — i){in — 2) 5'+ (/?2 — i)^^, r^=^s' {m — i);

donc l'ordre de la polaire est 3 (/n — i)[m — i)s' -\-{m — 1)25, ce qui s'accorde avec ce que nous aA?ions établi ; car, la Steinerienne étant de la classe 3 (m — \)(^in — 2), le nombre de ses tangentes communes avec S est 3 (m — \){m — i)s^ . Il doit exister une théorie générale pour la réciprocité quand R est la polaire 6'*'"^'' de S et S la polaire {jii — Qy^'^^^ de R; mais elle n'a pas encore été étudiée.

CONIQUES OSCULATRIGES.

407. La forme d'une courbe dans le voisinage d'un point P de cette courbe est caractérisée par le cercle de courbure ; mais elle admet encore une autre définition. En effet, si nous menons parallèlement à la tangente en P une corde infinitésimale QR et si la normale en P la rencontre enN, les arcs PQ, PR et les droites NQ, NR regardées comme des quantités du premier ordre sont ég'ales entre elles; mais elles diffèrent de quantités du second ordre; en particulier, NQ, NR diffèrent d'une quantité du second ordre; ou, ce qui revient au même, si L est le milieu de QR, la distance NL est du second ordre. Observons aussi que PN est également du second ordre ; donc l'angle LPN,

qui est égala arc tang ( ^^ ? est en gênerai un angle iini ; c està-dire qu'en joignant P au milieu de la corde QR (parallèle à la tangente en P) nous avons une droite PL inclinée d'un angle fini sur la normale. Dans le cas du cercle, PL coïncide avec la normale; l'angle en question mesure donc la déviation de la forme circulaire ; nous pouvons l'appeler V aberration de

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5l2 CHAPITRE IX.

la courbure, et dire que la droite PT.est l'axe d'aberration (^).

Dans le cas d'une conique, Taxe d'aberration est le diamètre qui passe parP, et l'aberration est l'inclinaison de ce diamètre sur la normale. S'il s'agit d'une autre courbe donnée et si nous menons une conique ayant avec elle un contact ou une intersection quartiponctuelle en P, la courbe et la conique auront le même axe d'aberration ; c'est-à-dire que les centres de toutes les coniques qui ont avec la courbe une intersection quartiponctuelle en P seront situés sur l'axe d'aberration de ce point. On déduit aussi de là que l'axe d'aberration deP et celui du point consécutif de la courbe se coupent en un point, le centre d^ aberration , qui est le centre de la conique ayant une intersection quintiponctuelle avec la courbe, au point P ; cette conique est complètement déterminée parla condition d'avoir son centre en ce point, d'être tangente à la courbe en P et d'avoir en ce point une courbure égale à celle delà courbe.

Il est facile de démontrer que l'aberration au point P est donnée par la formule

tango -=1 p

oh. p, q^ r sont les dérivées première, seconde et troisième de^ par rapport à x,

408. Remarquons que l'axe d'aberration est une droite qui a des relations avec la droite de l'infini, mais qui est indépendante des points ciiculaires à l'infini; c'est-à-dire que si, au lieu de ceux-ci, nous avons deux points I, J, la droite en question peut se construire au moyen de la droite IJ, sans faire usage des points I, J eux-mêmes; on choisit la corde QR

(*) Voir Transon Recherches sur la courbure des lignes et surfaces, {Journal de Liouville, t. VI; i84i). Son expression déviation Qst remplacée dans le texte parle mot plus caractéristique aberration

CONIQUES OSGULATRICES. 5[3

de manière qu'elle passe par l'intersection O de la tangente en P avec la droite IJ, et le point L est alors le conjugué harmonique de O par rapport aux points Q, R.

Le théorème qui apprend que les centres des coniques à intersection quartiponctuelle sont situés sur une droite peut être présenté d'une manière plus générale; les coniques ont en effet une intersection quartiponctuelle les unes avec les autres; ou, ce qui revient au même, ce sont des coniques qui ont toutes quatre tangentes communes (la tangente en P comptée quatre fois); le théorème général est le suivant :

Dans le système des coniques qui sont tangentes à quatre droites, les pôles d'une droite quelconque par rapport aux différentes coniques du système sont situés sur ujie droite. Ce théorème est mieux connu sous la forme réciproque : Si Von considère les coniques cjui passent par quatre points donnés, les polaires d'un point quelconque par rapport à ces différentes coniques passent toutes par un seul et même point.

Dans le cas où les points circulaires à l'infini sont remplacés par une conique, il n'y a pas de théorie analogue pour l'aberration.

409. La recherche (n° 236) de l'équation de la conique à contact quintiponctuel en un point quelconque d'une cubique peut s'étendre aux courbes d'un degré quelconque. Soient S la conique polaire et ï la tangente au point, l'équation d'une conique quelconque tangente au même point sera S — PT = o; P représente Ix -\- my -\' nz^ /, m, n étant encore indéterminés. L'équation des droites qui joignent les intersections de la conique et de la courbe au point x' , y' , z' s'obtient en remplaçant x, ... par x' -^\x, ... dans l'équation de chaqis-e courbe et éliminant \ entre les deux équations. Le résultat de la substitution dans la première équation est

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5l4 CHAPITRE IX.

et le résultat de la substitution dans la conique est

2(,i i)T— P^T + X(S — PT);

en écrivant que cette dernière quantité est égale à 6T + ).Y, le résultat de l'élimination de X entre ces deux équations devient divisible par T ; le quotient est

il représente les 2(/2 — i) droites qui joignent le point a^'y' z' aux 2(n — i) autres points communs à la conique et à la courbe. Pour que la conique ait un contact triponctuel avec la courbe, une de ces droites doit coïncider avec T, autrement dit l'équation doit devenir divisible par T; comme chaque terme, excepté les deux premiers, est divisible par T, la condition est évidemment 9 = 2, et, comme

elle implique P^= 2(7Z — 2) (^). Introduisons cett« valeur de Q et effectuons la division par T^ l'équation se réduit à

qui représente les in — 3 droites qui joignent le point x' y' z' aux autres points d'intersection de la courbe et de la conique. Le contact sera quarti ponctuel si cette équation est encore divisible par T, ou si | A^ — PS est divisible par T. On obtient la condition pour qu'il en soit ainsi, comme dans le n" 382, en substituant dans cette quantité les coordonnées d'un point arbitraire de la droite T, à savoir My — N[3, iNa — Ly, Lj3 — Ma; le résultat doit être identiquement nul; et de cette

(*) Le problème qui consiste à trouver le cercle de courbure en un point quelconque de la courbe est évidemment celui qui revient à décrire une conique à contact triponctuel et passant par deux points lixes.

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CONIQUES OSCULATRICES. 5l5

manière nous trouvons immédiatement que P doit être de la forme

^ 2 / dll dR d\l\

où UL reste encore indéterminé. Ainsi la corde d'intersection

avec la conique polaire de toute conique qaartiponctuelle

rencontre la tangente au point fixe (mentionné n^ 394) où la

tangente rencontre à la fois la polaire cubique et aussi la

droite polaire de x'y z^ par rapport à la Hessienne, soit de la

courbe elle-même, soit d'une de ses courbes polaires.

„ , , . 1 / dU dE dU

Représentons par 11 la droite -rj I x -^ ^ y ~f~ + -^ -jr

en admettant que nous ayons l'équation identique

et, en introduisant ensuite la valeur de P, fil -j- [xT, l'équation devient divisible par T et donne pour l'équation des 2 7i — 4 droites qui joignent x^ , y' ^ z' aux autres intersections de la courbe el de la conique,

(|j -1- p2 __ ^^)yn-z 1 V'^-^ A^ + ...-- O.

La condition du contact quintiponctuel consiste en ce que cette équation doit être divisible par T, et nous déterminerons la valeur de [i. qui correspond à un tel contact en remplaçant X, y^ z, dans les termes écrits ci-dessus, par My — N[3, Na — Ly, L^ — Ma. L'équation identique du n° 235 nous permet de voir ce qu'est J, et j'ai trouvé qu'en effectuant la substitution qu'on vient d'indiquer J devient

où S, R et ^(H) ont la même signification que dans le n*^ 386.

Les résultats de la substitution dans S, P et A' sont Q.>, -~rz Q^

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5l6 CHAPITRE IX.

et Q/, respectivement. SI nous faisons usage des valeurs du n" 390, il vient

Ii.H2=|[3(;Z — l)(/2 — 2)2H-2(/2— l)Rt!;(H)]

-6(A^-2)(/^-3)SH^-4(/^-3)Rt};(H)--R2ci>

d'où, en réduisant, [a = j^— (4O — 3H^) et la conique

quinti ponctuelle se trouve déterminée.

410. M. Cajlej a poursuivi cette reclierclie pour savoir quelle condition doivent vérifier les coordonnées x' ^y j z' pour que le contact puisse être sextiponctuel {yo\v Phil. Trans,^ i85o, p. 545). Cette étude est trop longue pour que nous la donnions ici ; le résultat consiste en ce que x'y^ z' doit vérifier l'équation

(/n-2)(i2m — 27)HJ(U, H, *)~3(/n-i)HJ'(U, H, *)

Ici J représente la Jacobienne de ces trois fonctions, et J^ signifie que, en prenant la Jacobienne, ^ doit être dérivé dans la supposition que les dérivées secondes de H, qui entrent dans l'etpression de <ï>, sont constantes. L'équation écrite ici représente une courbe de l'ordre 12m — 27 dont les intersections avec U déterminent m{\iin — i^j) points sextactiques.

411. Le problème qui consiste à trouver combien il y a de coniques qui puissent avoir un contact sextiponctuel avec une courbe donnée appartient à la classe des questions sur lesquelles nous avons fait quelques remarques, Sections

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DES SYSTÈMES DE COURBES. 5l7

coniques, Appendice : Sur les systèmes de coniques assujetties à quatre conditions. Nous allons donner ici un peu plus de développement à la théorie indiquée dans cet Ouvrage. M. deJonquières {Journal de Liouville, t. VI, 1861) a considéré les propriétés d'une suite de courbes du m'^'"''' ordre, satisfaisant à \ra{jn-\-Z^ — i conditions, c'est-à-dire à une condition de moins qu'il n'en faut pour déterminer la courbe; cette suite de courbes est caractérisée par son indice N, où N est le nombre des courbes de la suite qui peuvent passer par un point arbitraire donné. Ainsi, si l'équation de la courbe, considérée au point de vue algébrique, contient un paramètre, N sera le degré où ce paramètre y figure, Ghasîes, dans des Communications insérées aux Comptes rendus, 1 864-1 867, sur le nombre des coniques qui satisfont à cinq conditions, a employé, au lieu de l'indice unique de M. de Jonquières, deux caractéristiques qui sont p., le nombre des courbes de la suite qui passent par un point arbitraire, et Y, le nombre de celles-ci qui sont tangentes à une droite arbitraire. Cette méthode est particulièrement commode, parce qu'elle donne des résultats symétriques dans le cas des coniques qui sont des courbes de même ordre et de même classe. Nous avons indiqué l'esprit de cette méthode [Sections coniques, loc. cit.); nous reproduirons ici quelques-uns des théorèmes en les établissant pour une suite de courbes d'ordre quelconque.

412. Le lieu des pôles d'une droite donnée par rapport aux courbes de la suite est une courbe de degré v. Car c'est évidemment le nombre de points où la droite elle-même peut rencontrer le lieu. L'enveloppe des polaires d'un point donné par rapport aux courbes du système est, de même, une courbe de la classe \k.

Le lieu d'un point dont la polaire, par rapport à une courbe fixe (dont l'ordre et la classe sont m^, n')y coïncide avec sa

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5l8 CHAPITRE IX.

polaire par rapport à une courbe du système, est une courbe de l'ordre v + \K(^mJ — i). En effet, pour déterminer combien il y a de points du lieu sur une droite donnée, considérons sur cette droite deux points A, A' tels que la polaire de A par rapport à la courbe fixe coïncide avec la polaire de A^ par rapport à une certaine courbe du système; le problème consiste à savoir dans combien de cas A et A' peuvent coïncider. En premier lieu, si A est fixe, sa polaire par rapport à la courbe donnée est également fixe; le lieu des pôles de cette dernière droite, par rapport aux courbes du système, est de l'ordre v, d'après le premier théorème; nous voyons ainsi qu'à une position quelconque de A correspondront v positions de A^ En second lieu, supposons A^ ïi^e; comme ses polaires, par rapport aux courbes du système, enveloppent une courbe de la classe [Ji, et comme les polaires^ par rapport à la courbe donnée, des points de la droite donnée, enveloppent une courbe de la classe m' — i (n" 405), il y a \k[m' — i) tangentes communes aux deux enveloppes, et par conséquent autant de positions de A qui correspondent à A. Donc le nombre des coïncidences des points A et A' est V -f- \K[ni' — i) : c'est le degré du lieu en question. Il est évident que ce lieu rencontre la courbe fixe aux points où les courbes du système lui sont tangentes, et par conséquent que le nombre de ces courbes qui sont tangentes à la courbe fixe est m'\y + [^(m' — i)] ou jn'v -H nJ \k.

413. En général, le nombre des courbes du système qui satisfont à une autre condition quelconque sera de la forme uia + v3 et les nombres a, ^ peuvent être considérés comme les caractéristiques de cette condition. Si une courbe est définie par un nombre suffisant de conditions de nature quelconque, et si ces caractéristiques sont données pour chaque condition, nous pourrons déterminer le nombre de courbes qui satisfont aux conditions prescrites. Nous en don-

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DES SYSTÈMES DE COURBES. SlQ

nons tin eKemple dans le cas des coniques. Le nombre des coniques déterminées par cinq points, par quatre points et une tangente, par trois points et deux tangentes, etc., est

et conséquemment les caractéristiques des systèmes déterminés par quatre points, trois points et une tangente, etc., sont

Le nombre des coniques qui satisfont à la condition dont les caractéristiques sont a, [3, et qui passent aussi par quatre points, ou par trois points et sont tangentes à une droite, etc., sont

a + 2 p, 2a + 4p5 4^ + 4pj 4a + 2p, 2a + 8.

Si nous appelons ces nombres \tJ" ^ y"\ ç'" ^ <7"' ^ i^" respectivement, nous voyons qu'ils ne sont pas indépendants ; mais nous avons

Les caractéristiques des systèmes formés avec la condition a, j3 et trois points, ou deux points et une droite, etc., sont évidemment

et par conséquent le nombre des coniques de ces systèmes qui satisfont à une nouvelle condition a', [3' est ]j!" cl -\- y^^' ^\ \J" Qfj ^ p'^^P', .... Développons ces quantités : si nous avons deux conditions dont les caractéristiques soient (a, [3), (a', ^') et si nous représentons par ^' ^ V\ p^^, d'^ le nombre des coniques qui satisfont à ces deux conditions et qui passent aussi par trois points, ou qui passent par deux points et sont tangentes à une droite, etc., nous avons

1,"=: aa' + 2(ap^ + PaO-f-4P?^ v'^=r 2 aa^ + 4(Pa' + aj^') + 4??', p^^zzz4aa^ + 4(pa^ + aP0-l-2pp^ a^^=:4aa'+ 2 (^a^-h apO -H ??\

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et il est bon de remarquer que ces nombres sont liés par la relation identique

De la même manière, les caractéristiques du système de coniques qui satisfont aux deux conditions (a, [3), (a, ^') et passent aussi par deux points, ou qui passent par un point et sont tangentes à une droite, ou qui sont tangentes à deux droites sont {\)J' , V^), (V^ p'^), (p'^ cr'^), et par conséquent les nombres de ces coniques qui satisferont à une troisième condition a'\ p^' seront ^'^ a'^ -\- v" ^'\ .... Si nous développons ces quantités et si nous représentons par ^' ^ v^, p^ le nombre de coniques qui satisfont aux trois conditions (a, [3), (a^, p^), (a'^, P'^) et qui passent aussi par deux points, ou qui passent par un point et sont tangentes à une droite, etc., nous avons

p' := 4 aa' a'^ + 4 2 aa' p'^ + 2 X ap' ^' + p pV ^/ .

Il est évident que les caractéristiques du système formé en ajoutant à ces trois conditions une quatrième (yJ'\ ^"') sont

^jj ^'f ^ ^^' i^i'f ^ v'a'''+ p^p^^^ ou bien, en les développant,

(x =z aa/ a'^ a'' + 2 S aa^ a" ^"^ + 4 S aa/ ^" ^'" + 42: apV p" ^'' -f- 2 pp' p^' p'^ v=:2a'/a'^a^^^ + 4Saa^a'^p'^^ + 4Saa^P'^p'^^H-2Sap^p'7y"+ pp^p^^S'^

Et enfin, si nous ajoutons une cinquième condition, le nombre des coniques qui satisfont à toutes les cinq à la fois est p.a^'^+vP'^ ou

aa' a" a" a^^ + 2 2 aa' a" a!" p'^ + 4 E aa' a" p'^^ P'^' + 4 ^ aa' p" p'^^ p^^' -h 2 2 ap' p" p"^ P'^ -H p p' p" p"^ p^^

Cette formule donne le nombre de coniques qui sont tangentes à cinq courbes données, quand on remplace a, p, . . • par la classe et l'ordre de chaque courbe. Nous pourrions

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trouver de même le nombre des coQrbes d'ordre quelconque, déterminées par la condition d'être tangentes à des courbes données, si nous connaissions le nombre qui se rapporte à chaque cas où les conditions sont seulement celles de passer par des points ou d'être tangentes à des droites.

414. Dans le numéro précédent, les conditions que nous considérions étalent indépendantes les unes des autres; mais nous pouvons avoir une condition qui soit équivalente à deux ou plusieurs autres, comme, par exemple, la condition qu'une conique soit tangente à une courbe donnée deux ou plusieurs fois, la condition qu'une courbe oscule une courbe ou ait avec elle un contact d'ordre supérieur. Une condition qui équivaut à deux conditions peut s'appeler deux conditions inséparables.

On trouve que les formules obtenues dans le dernier numéro pour des conditions indépendantes sont applicables, avec les modifications nécessaires, aux conditions inséparables. Si donc nous avons deux conditions inséparables, les caractéristiques ^\ V^, p'^, cr" sont le nombre de coniques déterminées en combinant avec la condition double donnée trois points, ou deux points et une droite, etc., et ces nombres seront toujours liés par la relation jj.'^ — f'^^' + fp'^ — a^^= o. Nous procédons précisément comme dans le numéro précédent pour trouver le nombre de coniques déterminées par la combinaison de la condition double avec trois autres conditions. Nous obtenons de cette manière les formules qui suivent : si m'^, Ji\ r^' ,s" sont les caractéristiques d'une seconde condition double, les caractéristiques du système de coniques déterminées par le couple de conditions doubles sont

m" [x'^ — I ( \>^" n" -H m%'0+ ( ''" \^"-^?" ^^^" )+-! ^^" "*"— \ ( 1'"'^ '+ ^^" ?" ) ^ ^" s" — I (.cr'^ r" + s" f ) + {^"s" 4- ?i" ^")^l fr" — ^p^^ iil' + r" ^'),

et si ]x\ v^ p' sont les caractéristiques d'une condition triple,

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le nombre de coniques déterminées par la condition double et la condition triple est

415. Revenons aux deux caractéristiques [i., v d'un système de courbes du m^^^^ ordre qui satisfont à une condition de moins cju'il n'en faut pour déterminer chaque courbe ; nous pouvons clierclier comme il suit la relation entre ces deux caractéristicjues. Considérons les points A, A^ où une courbe du système rencontre une droite donnée ; comme il passe par A[j. courbes de la série qui rencontrent chacune la droite en (m — i) autres points, il est évident qu'à chaque point A il correspond [jt.(/n — i) points A^ et que de même à chaque point A' correspondent [jL(m — i ) points A. Le nombre des points unis de la correspondance est donc 2^(m — i). Ce nombre sera v, si les points unis peuvent seulement exister quand une courbe du système est tangente à la droite AA'; mais il peut arriver qu'une courbe du système soit une courbe complexe contenant une portion de courbe comptée deux fois, et une courbe de cette nature donnerait naissance à des points unis qu'il faut déduire des 2[j.(772 — i) pour donner v, le nombre de tangences proprement dites. Ainsi, dans le cas des coniques que nous considérons spécialement, si \ est le nombre des coniques du système qui se réduisent à deux droites coïncidentes, nous aurons v = 2 p. — X.

416. Une conique considérée comme courbe du second ordre peut dégénérer en deux droites, ou en couples de droites; dans ce cas, l'équation tangentielle trouvée par la règle ordinaire devient un carré parfait ; autrement dit, géométriquement, toute droite menée par le point commun au couple de droites doit être considérée comme doublement tangente à la courbe. Semblablement une conique considérée comme courbe de la seconde classe peut dégénérer en deux

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points ou en un couple de points, et tout point delà droite commune du couple de points peut être considéré dans un certain sens comme appartenant doublement à la courbe. Dans ce dernier cas, le couple de points peut être considéré comme la limite d'une corûque dont l'axe transverse est fixe et qui s'aplatit par la diminution graduelle de son axe conjugué, de manière à tendre vers un segment de droite ; les tangentes à la conique s'approchent de plus en plus de droites passant par deux points fixes, à savoir les points qui terminent la droite ; si donc X est le nombre des couples de points du système et rn celui des couples de droites, nous avons

ixz=z2y — JUj V=z:2,a — X, 3(JL=:2X4-^, 3 '^ = 2 717 -}- X.

Dans les recherches de Zeuthen relatives aux systèmes de coniques, les nombres 7^ et tâj sont substitués aux caractéristiques [jt. et V de Chasles; dans la plupart des cas, il est plus facile de déterminer le nombre des coniques d\in système donné qui se réduisent à un couple de droites ou de points, que le nombre de celles qui passent par un point arbitraire ou sont tangentes à une droite arbitraire.

Un cas spécial se présente quand les deux points d'un couple de points coïncident, la droite du couple continuant à exister comme droite bien définie ; ou bien les deux droites d'un couple de droites peuvent coïncider sans que leur point commun cesse d'exister comme point bien défini. Ceci peut s'appeler un couple de ligne et point.

417. Dans un système de coniques qui satisfont à quatre conditions de contact, il est comparativement iacile de voir quels sont les couples de points ou de droites du système; mais, pour trouver les valeurs de X et 757, chacun de ces couples doit être compté non pas une fois, mais un nombre convenable de fois, et c'est dans la détermination de ces multipli-

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cités cjLie consiste la difficalté du problème» Dans ce bat, Zenthen emploie les considérations suivantes : Prenons le système élémentaire d'une conique déterminée par quatre points ; le nombre des couples de droites est évidemment alors 3 et celui des couples de points o. Mais, comme ja = i , v = 2, nous avons )^ = 0, th = 3 ; d'où l'on conclut qu'un couple de droites qui joignent deux à deux quatre points donnés compte une fois parmi le nombre des couples de droites. Prenons au contraire le système de coniques déterminé par trois points et une tangente; nous pouvons avoir ici trois couples de droites qui sont : la droite qui joint deux quelconques des points et la droite qui joint le troisième point à l'intersection de la tangente fixe avec la droite qui réunit les deux premiers points. Dans ce cas, il n'y a pas de couple de points. Nous avons jji ==.- 2, v = 4? d'où X = o, (ît == 6; il en résulte qu'un couple de droites compte pour deux, s'il se compose de la droite qui unit deux points donnés et de la droite qui joint un troisième point donné avec l'intersection de la première droite et d'une droite donnée.

Enfin, prenons le système de coniques déterminées par deux points et deux tangentes; il ne peut y avoir qu'un seul couple de droites, qui est le couple joignant les deux points à l'intersection des deux tangentes; mais comme, dans ce cas, [j. r= 4, p == 4> ^ = ^ = 4? on en déduit que le couple de deux droites compte pour quatre quand il joint deux points donnés à l'intersection de deux droites données. Il n'est pas nécessaire de s'arrêter aux singularités réciproques.

Le mouvement d'une conique qui est tangente à une courbe donnée peut être considéré ou comme une rotation autour du point de contact, ou comme un glissement le long de la tangente en ce point. On conclut de là que, dans le cas d'une conique déterminée par la condition d'être tangente à quatre courbes données, nous devons pour les couples de droites compter une fois (A') un couple se composant de deux droites

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dont chacune est une tangente commune aux deux courbes ; deux fois (B^) un couple consistant en une tangente commune aux deux courbes et une tangente menée à la troisième courbe par le point où cette tangente commune rencontre la quatrième courbe; nous compterons quatre fois (C^) un couple composé de tangentes menées à deux des courbes par l'intersection des deux autres. Réciproquement, parmi les couples de points nous comptons une fois (A) une droite dont les extrémités sont chacune une intersection de deux courbes, deux fois (B) une tangente à l'une des courbes terminée d'une part par une autre courbe et de l'autre par un point d'intersection des deux autres courbes; et quatre fois (G) une tangente double à deux courbes, terminée sur les deux autres courbes. Dans ces cas, on peut à l'intersection de deux courbes substituer l'intersection d'une courbe avec elle-même^ ou un point double, et à une tangente commune à deux courbes on peut substituer une tangente double d'une seule courbe.

418. Gomme exemple, cherchons le nombre de couples de droites dans le système des coniques qui sont tangentes à quatre courbes données. Nous avons nn'nJ'n"^ couples de droites se composant d'une des nn' tangentes communes aux deux premières combinées avec une des nJ' n^" tangentes communes aux deux autres; et comme nous avons trois manières de former deux couples au moyen des quatre courbes, le nombre A est ?)nn' n" n'" , Il y a encore jin' n!' m!" couples, se composant d'une tangente commune aux deux premières courbes et d'une tangente à la troisième menée par un des points où la première tangente rencontre la quatrième courbe ; et comme nous avons le même nombre, en prenant une tangente commune à la seconde et à la troisième, ou à la première et à la troisième, il vient

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couples de tangentes du genre (7. Nous avons par conséquent

w — ZnnJnJ'n!" -f- ^l^nri' 11!' m" -^ [^'^nn^ ni!^ m!" ,

et de la même manière

\-=i [\1i nn' m" m'" + 62 nm' m" m"' + 3 nnn^ m" in'\

et de ces nombres on déduit pour [ji et v les mêmes nombres que ceux que nous avons déjà trouvés.

419. Nous procéderons de la même manière, si les conditions du problème consistent en ce que la conique doit être tangente à la même courbe plusieurs fois, ou avoir avec elle un contact d'ordre plus élevé. M. Gayley emploie la notation suivante, qui est très commode, (i) représente un contact simple, (i, i) un contact simple avec la même courbe en deux endroits, (2) un contact du second ordre ou triponctuel, et ainsi de suite. Ainsi, le système que nous avons étudié, coniques ayant un contact simple avec quatre courbes, est représenté par (i), (1), (i),(i). Considérons maintenant le système (i , i), (i), (i), c'est-à-dire celui où les coniques ont undouble contact avec une courbe et un contact simple avec deux autres courbes. On voit précisément, comme ci-dessus, que

A' = T ji' II" M- nn' nn" ;

nous avons aussi

B' ~ T ( /z' m" + n" ni' ) -\- nn' {m — 1 )n" -\- nn" {m — 1) n' + nn' ni" {n — i ) -H nn" m' {n ■ — j) -\- n' n" m{n ■ — 2 ),

C ~ S n' n" 4- mm' {n~-2)n"

-\- mm" {n — 2 ) n' + m' m" \n{n — i ) .

En dernier lieu, nous devons compter séparément (D^) les %n!n!' couples de droites, cpi se composent de couples de tangentes menées par chaque rebroussement de la première

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courbe aux deux autres. Zeuthen montre que chacun d'eux compte pour trois, en introduisant tout d'abord dans les formules un multiplicateur inconnu x et en le déterminant par un examen des cas élémentaires où la seconde et la troisième courbe se réduisent à des points ou à des droites. Si nous réunissons maintenant les nombres A' + 2B' + [\Q} et si nous faisons les réductions, nous trouvons

w z=i n' n" {n} -f- 6m7i — 87^ — [\m -\-z -\- 45 + Zv^) -h 2 {il' II" + m" n' ) ( /^^ + 2 mn — n — [\m -^ z) 4- 2in' m" îi{ti — i^

et il existe une expression correspondante pour \, Nous en déduirons les expressions de \k, v,

{X -- ]i"' m' m" + \if ( m' n" -i- m" n' ) -f- \x' n' n" , V =r ^"' m' m" + v'^ ( m' n" -i- m" n' ) -j- v' ?i' n\ où

[jj rz= imi^ni ^ n — 3 ) -f- t,

]x" ^=zv'zzz 2 772 ( 772 -H 2 72 — 5 ) -h 2 T, ^Jf/ __ ^// __ 2 n ( 2 772 -+- 71 ■ — 5 ) -h 2 0 ,

Ces quantités représentent le nombre des coniques déterminées par les conditions d'être deux fois tangentes à une courbe, et en même temps de passer par trois points, ou de passer par deux points et d'être tangentes à une droite, ou de passer par un point et d'être tangentes à deux droites, ou enfin d^être respectivement tangentes à trois droites.

Il n'est pas nécessaire de considérer séparément le cas (i, i), (t, i) {voir n° 413), et les mêmes principes sont applicables aux cas (3), (i), (4)-

Nous renvoyons pour plus amples détails au Mémoire de Zeuthen qu'il est très profitable de consulter [Nouvelles AnnaleSy i866) et aux Mémoires de M. Caylej (FIiiL

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Trans., 1867). Noub donnons ici le Tableau dans lequel M. Cayley a résumé les résultats les plus simples, exprimés en fonction de m, /i et a (^voir n"" 83).

— im} — 3m/i — \n} — ^- -|-a( — 3m -*-\n -+- i3).

[\nxn ■

i^ ~\- m? n^ 1 mnr + 1-72^ — fm^

— Zmn — 2 71^ --^772 —

— -^gV" ^^^ — 2 ï ^^^^ — "^

iJl;

— ^772^ — i?7v^ n — Zmn^- — \n}