PREMIERE PARTIE

1. Le fondement de la théorie qui va être exposée ici réside dans une proposition d'Algèbre, dont voici l'énoncé :

Soit y une fonction algébrique de la variable x ^ et soit Xq une valeur de cette variable pour laquelle diverses déterminations de y prennent une valeur commune jko- Pour les valeurs de x — Xq, ayant leurs modules inférieurs à une limite finie et déterminée ^ ces diverses déterminations de y se répartissent en des groupes entièrement distincts entre eux. Toutes celles qui composent un même groupe se représentent simultanément, leur nombre étant égal à n, sous la forme suivante

( I ) X — x^-=iV^^ y — ro ^= a^t -\- a^f- ^ a-^t^ . . . ,

Nous admettrons cette proposition comme bien connue, en ajoutant les observations suivantes : i*^ Le nombre des groupes, constitués parles déterminations de jk acquérant la valeur ^^0 pour ^ = ^q, peut se réduire à l'unité. Le nombre n peut aussi se réduire à l'unité. Ces deux circonstances ont lieu à la fois si l'on prend Xq arbitrairement. 2" Quand le nombre n diffère de l'unité, il peut arriver que quelques-uns des coefficients a^, a^-," * manquent. Mais la totalité des indices des coefficients qui subsistent ne peut avoir, avec le nombre n, d'autre diviseur commun que l'unité; sans quoi les formules ( i ) ne fourniraient pas n valeurs de j^, différentes entre elles, pour chaque valeur de x. 3* Au lieu des formules (i), on peut écrire cette formule unique

( 2 ) y — yQ—^\{x~- Xq)" -\-a^{œ — XqY' + «3 (^ — ^0)" . . . j

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ÉTUDE SLR LES POINTS SINGULIERS. 54l

et dire que jk est développable en série convergente, procédant suivant les puissances à exposants croissants et fractionnaires de .2? — îCq. Le plus petit dénominateur commun de ces exposants est limité; c'est le nombre des déterminations de y représentées à la fois par la formule (2). Il faut avoir soin d'observer toutefois que, ce dénominateur étant appelé /i, on doit prendre, à chaque terme, une même détermination

de (œ — ^o)'^- Le groupe des déterminations dey, obtenues en changeant la racine n'^^^ de (x — ^0)5 et dont le nombre est 72, sera désigné par le nom de cycle.

2. Nous aurons fréquemment à considérer des séries procédant, comme la série de Maclaurin, suivant les puissances, à exposants entiers et croissants, d'une variable, sans qu'il soit besoin de préciser les coefficients de ces séries. Pour abréger^, il sera utile d'employer un symbole représentant de telles séries. Nous adopterons donc la notation

avec V expresse convention que le premier coefficient a^ sera toujours supposé différent de zéro.

Dans un même calcul, le même symbole pourra, sans inconvénient, représenter plusieurs séries différentes.

3. Après ces préliminaires, entrons dans la théorie des courbes algébriques.

Les variables x, y seront maintenant les coordonnées d'un point du plan. Ces coordonnées seront cartésiennes ou, mieux et plus généralement, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième.

La proposition du n° 1 revêt alors cette forme : Soient ^ojj'û l^s coordonnées dUin point sur une courbe algébrique. Aux environs de ce points les diverses branches de

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5^2 APPENDIGli:.

la courbe sont représentées paj^ un ou plusieurs systèmes d^ équations analogues au système ( i ).

La portion de courbe représentée par des équations telles que ( I ) sera appelée un cycle. Le point ^o? Jo sera dit V origine de ce cycle.

En employant la notation expliquée au n° 2, nous sommes obligés de mettre en évidence le premier exposant du développement àe y — -jKo? et de représenter un cycle ou bien par le système

(3) jj^,oc,^t\ y-y,^t'-[t-] ou bien par la formule unique

(4) r — Vo ^- {oc — œ,y[{x — ^o)^].

En intervertissant x, /, nous aurons une autre représentation du même cycle, sous forme du développement de ^ — ^o en y — jko* Ce développement pourra être obtenu par le retour de la suite (4). Il aura donc la forme

(4 bis) ^ - ^0 --= {/ - Jo )"".[(/ -Jo)^'J.

Des deux formules (4) et (4 bis), prenons celle où l'exposant mis en évidence n'est pas inférieur à l'unité. Admettons que ce soit, par exemple, la formule (4). Sous cette hypothèse — ^ I, le nombre n sera dit V ordre du cycle. Il est n ~

essentiel de rappeler la deuxième observation faite au n^ 1 ; les exposants^ dans le développement (4)? sont supposés réduits à leur plus petit commua dénominateur n.

4. V ordre d'un cycle, tel que nous venons de le définir^ est indépendant du choix des coordonnées. C'est ce qui va être immédiatement prouvé.

Soient X, Y de nouvelles coordonnées, devenant Xq, Yq à

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l'origine du cycle. Leur liaison avec les précédentes a la forme générale