X-Xo

a^\r-.ro)-f-r(7-yo)

i + a(^ — ^o) + ?(7 — ro)

Substituant dans ces relations les expressions (3) et observant l'hypothèse m^iiy nous obtenons deux développements dont la forme est rappelée ainsi :

pourvu que ^ et ^' ne soient pas nuls. D'autre part, le cycle devant être susceptible, avec les coordonnées X, Y, d'une représentation analogue à (4)> nous aurons cette représentation en éliminant t entre les deux dernières égalités. Le résultat a cette forme

Y-Yo--:=(X-Xo)[(X-XorJ.

On peut seulement craindre qu'un choix particulier des coefficients a, a', ... permette de réduire le nombre a dans cette dernière formule. Mais il n'en est rien, car si le dénominateur commun aux exposants du développement ne peut s'élever par un changement de coordonnées, il ne peut non plus s'abaisser. La proposition énoncée est donc établie.

5. Par un choix convenable du rapport ^' : p'^ on fait disparaître le terme du degré n dans le développement de Y — Yo suivant les puissances de t. Si, dans les formules initiales (3), ï)i est supérieur à /2, le rapport é : [3'' devra être pris, pour ce but, égal à zéro. Le premier exposant de Y — Yo sera alors égal à m. Si, au contraire, m est égal à /z, alors, le rapport a'^ : j3'' étant convenablement choisi, le premier exposant du développement de Y — Yq sera supérieur à n. Je désignerai dorénavant ce premier exposant par n -f- v; la droite, bien

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544 APPENDI E.

déterminée, dont l'équation est Y — Yq == o, sera dite la tangente du cycle. Le nombre v sera dit la classe. Ainsi, en prenant pour origine des coordonnées (^ ^=.y z=. o) l'origine d'un cycle, et pour axe des x (y = o) la tangente, on a pour ce cycle la représentation

ou, sous une autre forme,

(5) ^ = P, yz=t"-^'[t].

Les nombres n, v sont l'ordre et la classe du cjcle.

6. Pour justifier l'introduction du nombre v et le nom qui lui a été affecté, nous allons montrer que ce nombre v correspond à l'ordre n, au point de vue de la dualité.

Mettons en évidence trois coordonnées homogènes en

posant

Prenons maintenant des coordonnées tangentielles homogènes, en faisant

X,^YdZ-Z dY, Y, = ZdX-~X dZ, Z, -- Y dï — Y dX.

Substituant les expressio: s (5), nous aurons

X, = ZV/j = - 'iJJtA'''-^-'-' [t],

Y,~ . ZJ-dx = Z:-dt,V'-~\

Z,^ Z^x'-di^ -=z Z^dt.f"-^'-'[t'].

Prenons maintenant les rapports de deux de ces coordonnées

à la troisième

. Xj Z^

$ = -, ^'=Yl'

et déduisons deux développements pour ^et yj :

'^=:t'[tl r,.=.t-^''[t'].

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Le développement de v] en E se déduira de là et aura cette forme

Ceci est l'équation d'un cycle d'ordre v et de classe n, à moins toutefois que le dénominateur commun des exposants }3uisse être réduit à un diviseur de v. Mais, à cause de la dualité, cette réduction est impossible. Donc, dans le passage des coordonnées ponctuelles aux coordonnées tangentielles, l'ordre et la classe d'un même cycle s'échang-ent entre eux. Si l'on complète ce résultat par l'examen des coordonnées, on peut l'énoncer ainsi : Dans deux courbes corrélatweSj à un cycle de Vune correspond un cycle de Vautre courbe, La tangente de chacun de ces cycles est corrélative de Vorigine de Vautre cycle; Vordre de chacjue cycle est égala la classe de Vautre.

7. L'interprétation géométrique de l'ordre et de la classe, pour un cycle, se tire bien aisément du mode d'exposition employé. Revenons aux équations qui ont servi de point de départ

Si l'on prend pour variable indépendante x — Xq, à chaque valeur infiniment petite de cette variable répondent N déterminations infiniment petites pour ^, et aussi pour y — y^. Le nombre N, pour un même cycle, est susceptible de deux valeurs différentes : i" si la droite x = Xq n'est pas la tangente du cycle, alors 'N =^ n] 2^ si x = Xq est la tangente, alors N = 72 + V. De là cette proposition :

Si une droite mobile est infiniment voisine de Vorigine d\in cycle ^ il y a ^ parmi les intersections de la droite et de la courbe, des points infiniment voisins de cette origine et appartenant à ce cycle : leur nombre est Vordre du cyélê si la droite fait un angle fini avec la. tangente; au èofi- S. — Cofii'bes planes^ 35

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546 appj:ndics.

traire^ il est égal à la somme de V ordre et de la classe, si

la droite diffère infiniment peu de la tangente.

D'après la dualité, envisagée au n° 6, nous avons en même temps cette autre proposition :

Si un point mobile est infiniment voisin de la tangente d'un cycle j il y a, parmi les tangentes menées du point à la courbe, des droites infiniment peu différentes de la tangente du cycle, et lui appartenant ; leur nombre est la classe du cycle si le point est à distance finie de V origine; au contraire^ il est égal à la somme de V ordre et do la classe si le point mobile est infiniment voisin de V origine.

Si Ton prend les positions limites de cette droite ou de ce point mobile, on a ces conséquences : dans le nombre total des intersections d'une droite et d'une courbe, chaque point commun compte pour un nombre égal à la somme des ordres des cycles dont il est V origine, augmentée de la somme des classes de ceux de ces cycles auxquels la droite est tangente. Comme on sait, ce nombre total est indépendant de la droite envisagée : c'est le degré de la courbe.

Dans le nombre total des tangentes à une courbe, issues d^ un point, chaque tangente compte pour un nombre égal à la somme des classes des cycles auxquels elle appartient, augmentée de la somme des ordres de ceux de ces cycles dont le point considéré est V origine.

Ce nombre total, indépendant du point envisagé, est la classe de la courbe.

D'après l'avant-dernlère proposition, la somme des ordres des cycles ayant une commune origine est ce qu'on appelle habituellement Vordre de multiplicité de ce point sur la courbe. Ainsi un point est multiple ou. singulier quand il est l'origine de plusieurs cycles, ou bien encore d'un seul cycle, d'ordre supérieur à l'unité. Un point non singulier est l'origine d'un seul cycle, dont l'ordre est égal à l'unité. Une dernière observation, presquesuperflue : ayant employé des coordonnées

homogènes, nous n'avons pas à parler de points à rinfini. Ils sont compris dans l'exposé général qui précède.

8. Les deux nombres n, v donnent immédiatement l'aspect graphique d'un cycle réel. En nous bornant au cas où l'origine n'est pas à l'infini, nous voyons par les équations (5) que la courbe traverse ou non l'axe des jk et l'axe des x^ suivant que n et n + v sont impairs ou pairs. Par conséquent, les quatre cas que peut offrir un trait continu et sans jarret aux environs d'un point se rencontrent effectivement comme il suit :

1° n et V impairs. L'aspect est celui d'un point ordinaire. Une branche ordinaire correspond d'ailleurs au cas /z rrr v =: i . Cette forme est sa propre corrélative.

2° n impair et ^ pair. L'aspect est celui d'une inflexion. \J inflexion proprement dite ou ordinaire répond au cas

n-=^ \^ V cir: 2 .

3"^ npairQX, v impair. L'aspect est celui d'un rebroussement de première espèce. Le rebi^oussement ordinaire coYre?>^onà à/i==:2s V = I ; il est corrélatif de Finflexion ordinaire.

Les formes 2 et 3 sont corrélatives l'une de l'autre.

4° n el^/ pairs. L'aspect est celui d'un rebroussement de deuxième espèce. Cette forme est sa propre corrélative.

9. Quand une courbe est donnée par son équation en coordonnées rectilignes, l'étude de chaque point singulier se fait naturellement par la recherche des développements de y en x. suivant une méthode bien connue, qui remonte à Newton. Mais, dans les applications, les données revêtent des formes diverses dont il faut savoir tirer parti directement. Arrêtons-nous un instant sur l'étude des cycles d'après les expressions des coordonnées en fonction d'un paramètre.

Supposons quC; pour des valeurs de t à module limité, les coordonnées d'un point mobile soient données ainsi :

(G) x— x,-=zt''[t], 1- -r,^=iL"\t'].

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Suivant la convention du n° 2, les égalités expriment simplement que X et y sont développables en série procédant à la manière de la série deMaclaurin. On a seulement mis en évidence les valeurs XQ^y^àe .r,jKpour ^ = 0, et le premier exposant de t dans les développements. Cet exposant peut être supposé le même dans les deux développements sans restreindre la généralité.

Si l'on sait d'ailleurs que la courbe, lieu du point mobile, est algébrique, on pourra développer jk — j^o suivant les puissances de ^ — Xq. Ce développement pourra se tirer des précédents, et il aura la forme

On ne peut pas affirmer que cette égalité représente un cjcle d'ordre n.

Il peut arriver, en effet, que le dénominateur commun des exposants, le plus petit possible, soit un diviseur de n. Soit n^ ce dénominateur. La dernière égalité peut donc être réduite ainsi

r —jo ~ (-3^ — •^o)[(<^ — <^'o)'" ]•

Si l'on fait

f^ est un paramètre correspondamt ufii/ormé ment aux points du cycle; c'est-à-dire qu'à chaque point du cycle correspond une seule valeur de ^1, et en même temps à chaque valeur de ti correspond un seul point.

La comparaison des deux expressions de ;r — x^ donne

D'ailleurs ^^ est un diviseur de n ; soit donc n=^ 0 n^, Or^ tirera de là successivement

On voit par là qu'à chaque valeur de t^ correspondent

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0 valeurs de t. Ainsi la variable t ne correspond pas uniformément aux points du cycle, dès que p n'est pas l'unité. A chaque valeur de t coiTespond un point, mais à chaque point du cycle correspondent p valeurs de t.

En résumé: Si les développements (6) conviennent à une courbe algébrique^ et qu'à chaque point représenté par ces développements correspondent des valeurs de t en nombre p :

t° Ce nombre p est un diviseur de n\

1^ Les développements (6) représentent un cycle dont

1 ordre est - •

Ce n'est pas, d'ordinaire, sur les développements (6) euxmêmes que le nombre p sera reconnaissable ; mais, le plus souvent, il sera connu d'avance par la nature du problème. C'est ainsi que déjà dans deux cas, aux n°^ 4 et 6, nous avons rencontré des exemples où il est certain d'avance qu'on a p == i Dans ces deux cas, d'ailleurs, la question même nous afoiirn le moyen d'éviter la considération de ce nombre.

Toutes les fois donc qu'un cycle nous sera donné par les développements de deux coordonnées en fonction d'un paramètre ^, le nombre p étant connu d'avance, nous aurons Tordre de ce cycle en écrivant les développements sous la forme (6), c'est-à-dire en cherchant le premier exposant de t. Nous aurons la classe d'une manière analogue.

Comme il peut arriver que les développements contiennent des termes à exposants négatifs, il conviendra d'envisager le changementde coordonnées le plus général. Voici, en résumé, ce qu'on peut dire : Les trois coordonnées homogènes du point mobile étant développées suivant les puissances à exposants entiers et croissants d'un même paramètrCy on cherchera trois combinaisons linéaires et homogènes X, Y, Z de ces coordonnées de telle sorte que les développements de X, Y, Z commencent par des termes à exposants, tous les

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o5q appendice.

trois différents. Soient alors a^ 6, c ces ti^ois exposants dans

U ordre croissant : U ordre du cycle est ? et sa classe est

• La lettre p indique le nombre des valeurs du paramètre qui correspondent à chaque point du cycle. Cet énoncé est effectivement conforme à ce qui précède ; car, d'après les hypothèses, on aura, X, Y, Z étant supposés correspondre à «; b, c respectivement,

■ tf^--[tl ^-=^^-^[^],

10. Nous allons appliquer les notions précédentes à l'étude des points singuliers en coordonnées polaires. Les lettres r, 8 désigneront le rayon vecteur et l'angle polaire; il y aura avantage, pour cette étude, à considérer, en même temps que 6> la variable X ci-après :

rosO + jsin 0.

Les droites isotropes^ c'est-à-dire les asymptotes de cercles, sont celles dont la direction est définie par X = o ou X = co . Une courbe algébrique est définie par une équation algébrique entre r et \. Mais il faut observer qu'à un même point du plan correspondent les deux systèmes (r, 9) et ( — r, 9 4-1^)5 ou, ce qui revient au même, (/', \)el{ — r, — \). A cause de cette circonstance, les équations en coordonnées polaires se partagent en deux catégories : dans la première nous rangerons les équations qui, mises sous forme entière par rapport à r, et irréductibles, sont changées par le changement de r, \ en — r^ — X. Tel est le cas pour l'équation d'une conique, l'origine étant un foyer. Sur une telle courbe, à chaque point correspond un seul système (r, \). Dans la

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ÉTUDK SUR LES POINTS SINGULIERS. 55l

seconde catégorie se placeront les équations qui ne peuvent être mises sous forme entière sans jouir de la propriété de rester inaltérées par le changement de r, ). en — r, — a. C'est le cas le plus ordinaire.

11. Soit déduit de l'équation polaire, pour Q voisin de Qo^ un cycle de déterminations de la variable r\ Désignons par N le dénominateur commun aux exposants de (9 — 80) dans le développement de r. En faisant 9 — 9o = ^^5 ^t substituant le développement de r en ^ dans

œ ■=. r ces Ô, y ■=- r sin 0,

on aura ^ etjK développés suivant les puissances de t, comme il a été supposé au n" 9. Pour appliquer le procédé expliqué dans ce n"" 9, il suffira donc de connaître le nombre p.

Quand 9oest déterminé, c'est-à-dire quand )vo n'est ni nul ni infini, le nombre p est l'unité. Effectivement, pour les équations de la seconde catégorie, les deux couples (r, A) et ( — r, — \) qui correspondent à un même point ne peuvent appartenir à un même cvcle, puisque les valeurs origines sont différentes, au moins pour A, à savoir )^o ^^ — ^o-

C'est donc seulement pour X infiniment petit ou infiniment grand que p peut différer de l'unité ; et ceci ne peut avoir lieu évidemment que pour les équations de la seconde catégorie. Nous placerons l'examen de ce cas plus loin, et raisonnerons d'abord sur les équations de la première catégorie.

12. Nous examinerons d'abord les cycles correspondant à des valeurs déterminées de 9o. et, pour éviter une transformation évidente, nous prendrons immédiatem^ent les deux coordonnées

X ~- /'cos (0 — Oo), j^ = /'sln (0 — Oy).

Il y a plusieurs cas à distinguer. La discussion gagne en simplicité si l'on considère, au lieu de r, son inverse.

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1. Le développement de -ne contient pas de terme à exposant négatif, et le premier exposant fractionnaire, s'il en existe, est supérieur à l'unité :

Nous adjoindrons, pour ce cas, à ^ et j^, la troisième coordonnée z suivante :

D'après les hypothèses, ( - 1 et ( - j ne sont pas Infinies ;

ce sont précisément les coefficients A et B, qui d'ailleurs peuvent être nuls. Les trois droites ce =: o,y ^=^ 0,5 = 0 ne sont donc pas concourantes^ et l'on peut envisager ^,^', i> comme des coordonnées homogènes.

En écrivant

5^(^i)^cos(e-eo) + ^^ysin(9-eo)-i,

et substituant le développement de-; on volt que le développement de - commence par un terme de degré supérieur à

runité. Soit i --h y le degré de ce terme, b étant d'ailleurs le dénominateur commun des exposants dans le développement de -• Nous aurons r

?:^[0, ^-^nO, -^=-t^^V]

Donc, sur la courbe, nous avons un cycle dont l'origine est j^ = o, s = 0 ; la tangente ^ = o ; l'ordre 6, la classe a.

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ÉTUDE SUR LES POINTS SIxNGULlERS. 553

On voit par là que l'origine du cycle est à l'infini quand ( est nul, et que sa tangente est aussi à l'infini quand, en outre, ( - ] est nul aussi. Dans les autres cas, l'origine du cycle est à distance finie, etla tangente ne passe pas slu point a: = y = o.

II. Le développement de - ne contient pas de terme à exposant négatif; mais le premier exposant fractionnaire est inférieur à l'unité :

(7) £^A4-B(Ô-ôof..., a<b,

La lettre b désigne d'ailleurs le dénominateur commun des exposants.

En prenant la troisième coordonnée,

nous aurons

~^[ti j--nti ■l=^n'i

Le cycle a pour tangente la droitej^ = o, pour ordre a, pour classe b — a. Son origine est à distance finie si A n'est pas nul, à l'infini si A est nul.

III. Le développement de - commence par un terme à exposant négatif.

^ = A(0-ÔoP +-..., 6-00=:^^

L'origine du cycle est x=y=^o*^ la tangente jk == o; l'ordre a, la classe b.

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55/j APPENDICE.

13. Examinons maîntenant les cycles qui répondent aux directions isotropes. Supposant qu'il s^agisse de courbes réelles, nous nous bornerons à considérer l'une des directions, l'autre donnant des cycles conjugués. Nous prendrons donc seulement "k infiniment petit.

Les coordonnées appropriées sont

X i ■=-. a^ — ly :=! - y

IV. Le développement de r suivant les puissances croissantes de \ commence par un terme dont le degré n'est ni i , ni — I .

Soit^ le plus petit dénominateur commun des exposants dans le développement de r; nous aurons

D'après l'hypothèse, aucun des deux exposants a — h^a-^-h n'est nul.

En complétant par la troisième coordonnée ^ = i , nous aurons trois résultats différents suivant les grandeurs de a, h. Le nombre h est pris positivement; a est positif ou négatif.

Origine ^^ t= j/^ =: o; tangente ji = o ; I ordre a — è, classe 2 h.

^ ( Origine à l'infini; tangente j^r^o; ^ * j ordre è — a, classe ô 4- a.

iTangente à l'infini; origine sur j^ =0; ' ' \ ordre 2 6; classe — (h -\- a).