A = TT 4- [J- V

B = — ÎT + V —1, G = TT -1- X

Posons

il vient alors

ces A -f- i sinA(oue''^)r= a,

CCS B 4- i sin B ( ou e^^ ) = P?

ces G -H isinG(oue^^') = Y)

apY =: — I

et les coordonnées des points circulaires à Finfini deviennent ainsi

et

Il est évident que les expressions de chaque système de coordonnées sont identiques en vertu de la relation apy = — i . Les mêmes formules s'appliquent évidemment au cas où les coordonnées ^, JK? ^5 au lieu d'être égales aux perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle, leur sont seulement proportionnelles ; ce sont donc les formules qui se rapportent au système de coordonnées dans lequel l'équation

Hosted by

f2 CHAPITRE I.

de la droite à l'infini est

X sin A -f- j sin B + iJ sin G = o.

15. On peut ajouter que le système piimitif de relations entre x^ jk, ^ et X, Y donne

(/ + ^)(-s -f- r)sin A H-(^ + r)(^ -h/?)sinB

H- ( ^ 4- /> ) ( j -h ^ ) sin G = sin A sin B sin G ( X^ -h Y^ ) ;

ou, ce qui revient au même, on a

/^ sin A H- ^^ sinB +^j sin G

= sin A sin B sin G (X^ 4- Y^) 4- (une fonction linéaire de X, Y, i);

c'est-à-dire que l'équation

/^ sin A -j- ^^ sin B H- ^/ sinG = o

est l'équation d'un cercle qui évidemment est circonscrit au triangle fondamental. La formule subsistant dans le cas où ^, JK, z sont proportionnels aux distances perpendiculaires d'un point aux côtés du triangle de référence, les points circulaires à l'infini sont alors les intersections du cercle

yz sin A H- ^ .3? sin B H- xy sin G = o

avec la droite à l'infini

^ sin A -}- y sin B H- ^ sin G = o

(comparez Sections coniques, n^ 359). Il est facile de vérifier que les coordonnées des points circulaires à l'infini, données plus haut, satisfont effectivement à ces deux équations. Remarquons aussi que l'équation générale d'un cercle est

(j)^^ sin A 4- .^^ sin B -h ^y sin G )