TROISIÈME PARTIE

51. On appelle correspondance entre les points de deux courbes C, G^, une liaison entre un point x de la première et un point ^^ de la seconde, telle que, l'un de ces points x étant pris arbitrairement sur G, l'autre points' s'en déduise sur G^ Il n'est, bien entendu, question ici que de correspondances alg-ébriques, c'est-à-dire exprimables par des relations algébriques entre les coordonnées rectilignes de x et x' .

De la manière la plus générale, la correspondance peut être telle qu'au point x correspondent k points x' ^ et au point ^3;' Ix points X, C'est le cas de la correspondance multiforme

Si k et k' sont, tous deux, égaux à l'unité, la correspondance est uniforme, ou, comme on dit aussi, les courbes se correspondent point par point.

11 peut se faire que G et C! coïncident. On a alors une correspondance entre les points d'une même courbe.

On ne doit pas confondre la correspondance entre les points de deux courbes avec la correspondance entre les points de deux plans. Gette dernière est une liaison double, telle que, un point x étant arbitrairement choisi, le point x' s'en déduise. Assurément, une telle correspondance, appliquée aux points x d'une courbe G, donne une courbe G^ avec une correspondance entre les points de G et C^ Mais, dans cette application, les nombres k et k' peuvent être modifiés. Soit, par exemple, la correspondance

Envisagée pour le plan, elle est caractérisée par /:==!,

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/r'=4. Mais, appliquée à une courbe G qui n'a aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de symétrie, elle donne lieu à une correspondance uniibrme.

D'autre part aussi, une correspondance donnée entre les points de C, C^ peut être regardée comme l'application à G d'une correspondance entre les points du plan. Mais, en vertu des équations de G et G, cette dernière correspondance n'est pas définie, et peut être variée d'une infinité de manières.

11 s'agit ici des correspondances envisagées seulement pour deux courbes et non pas pour le plan.

52, Les correspondances pour lesquelles on a/c = i méritent une mention spéciale. En ce cas, les coordormées de x^ s'expriment rationnellement par celles de x. Dans les correspondances uniformes, les coordonnées de x s'expriment rationnellement aussi par celles de x'. Pour faire cette inversion, il faut se servir, non pas seulement des expressions de x^^y en x,y^ mais aussi de l'équation de G, excepté dans le cas où la correspondance considérée est FappHcation d'une correspondance uniforme dans tout le plan.

Par exemple, la correspondance considérée tout à l'heure, appliquée à la droite ax -i- by^= i, prise pour G, est uniforme ; l'inversion se fait par les formules

Si, au contraire, on applique la même correspondance du plan à la parabole jk ==i ^r 2, prise pour G, l'inversion se fait ainsi

a coïncide avec G, et l'on a A^= 2.

Toute correspondance peut être ramenée à la combinaison de deux autres daîis chacune desquelles U un des

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ÉTUDE SUR LKS POIMS SINGULIERS. 62I

nombres caractéristiques est V unité. Soit efïectivemerit une correspondance (/f, k) entre ^ et x' sur C et G^ On peut, d'une infinité de manières, pour chaque couple x^ x\ construire un point \^ tel qu'à chaque point \ corresponde à m fois un seul point x et un seul point x^ , On prendra, par exemple, le point de concours des tangentes de G et G^en^ et x^ ^ ou bien le point où la droite x^^ touche son enveloppe, etc. Le point ^ a un lieu F. Entre x et \ sur G et F existe une correspondance (A", i); entre \ et x^ sur F et G' une correspondance (i, k\ La correspondance {Xy x') est ainsi la combinaison des correspondances [x, ?),(i; x'). dont les nombres caractéristiques sont (A*, i), (r, k'),

53. Soit une correspondance (^, ^^) caractérisée par les nombres (A", i). Pour les coordonnées de jc^ conservons ^^,jkS entendant par là, comme précédemment, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième; pour ^ prenons des coordonnées homogènes u^yU^i ^^3. La correspondance donnée permet de considérer ^^^, z/2? ^^3 comme trois polynômes entiers en x\ y' , Désignons par q le degré commun de ces trois polynômes.

Gonsidérons un cycle (G') sur la courbe G'. Soit ^ une variable correspondant uniformément aux points de ce cycle (n*^ 9); prenons les développements de x^ et y suivant les puissances de ^ qui définissent le cycle (G^), et portons-les dans i/i, Ui^ M3. Les coordonnées de x étant ainsi développées suivant les puissances entières de t^ ces nouveaux développements définissent un cycle (G). Le paramètre ^ peut correspondre uniformément aux points de ce cycle (G) ; le contraire peut arriver également, suivant les cas. D'une manière générale, imaginons que p valeurs de ^ correspondent à chaque point de (C). La correspondance entre les points dès deux cycles (G) et (G^) est caractérisée ainsi par les nombres (/^^ 1). Au cycle (C) peuvent correspondre d'autres cycles (G'J,(G^)]> .:.

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sur C^ Soient p, , p^, ... les nombres analogues à p par chaque couple (C) (Gj), (G) (G'^);, .... La somme p -[- pi + p2. . • marque le nombre des points de la courbe G' qui correspondent à un point du cycle (G), c'est-à-dire à un point de la courbe G. Gette somme est donc égale à k.

Si le cycle (G^) est pris arbitrairement, c'est-à-dire si son origine est un point arbitraire de G^, les nombres p sont tous égaux à l'unité. Quand un de ces nombres est supérieur à l'iïnité, il y a coïncidence entre plusieurs points x correspondant à un même point x^. Nous allons trouver une relation entre le nombre de ces coïncidences et les éléments des courbes G et C déjà envisagés.

54. Gonsidérons une fonction linéaire des u^ soit a r=: «i Ui -h <^2 ^h H- <^3 ^^3-

Envisageant cette fonction le long de la courbe G^, appliquons le théorème du n'' 27. Les cycles relativement auxquels l'ordre de a diffère de zéro, quels que soient les coefficients a, sont : i^ ceux qui répondent aux coordonnées .r', j/ infinies ; 2° ceux qui correspondent aux zéros simultanés des trois polynômes a. En ce qui concerne ces derniers, désignons par h l'ordre commun aux trois polynômes relativement à un pareil cycle ; la totalité des zéros communs à Uif ?/2, U'i donne, pour la somme des ordres de a, l'élément S A. Quant aux premiers, chacun d'eux donne l'ordre — q; leur nombre est le degré m^ de la courbe O. Leur ordre total est donc— m'^.

Les cycles relativement auxquels l'ordre de a diffère de zéro, et qui varient avec les coefficients <2, répondent aux intersections de la courbe G avec la droite a =: o. A chacune de ces intersections correspondent k points de G^; ces intersections ont pour nombre le degré m de G. La somme des ordres relatifs à ces cycles est donc km. En égalant à ^éro la

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somme totale, on a ainsi régalité

km ^=z m' q — 2, ^' •

Considérons maintenant une fonction linéaire a des coordonnées tangentielles de x^ soit

/ du

Appliquons encore à a le même théorème.

Les points à coordonnées infinies donnent ici la somme

Ceux en lesquels dx' est nul donnent la somme — \i,\ la classe de la courbe ÇJ étant désignée par |ji^ Examinons maintenant quels sont les autres éléments de la somme des ordres, indépendants des coefficients a.

Prenons un cycle (C^), d'ordre /z^ Supposons que, relativement à ce cycle, les polynômes u aient l'ordre h. En faisant une combinaison linéaire de ces polynômes, on pourra faire disparaître le terme en t^. Soit alors /i + N le degré du premier terme qui subsiste. Il est visible que l'ordre de a, relativement au cycle (C), est^A + N — n. Tel est l'ordre de a, relativement à tout cycle (G^), où les coordonnées de l'origine sont finies^ et où la tangente n'est pas x' = const.

Enfin la somme des ordres de a, pour les cycles dont les origines varient avec les coefficients a, est égale à /rp., la classe de G étant désignée par [x. Nous avons donc

A- (ji. =r 2 m' {q — I ) --r- [-J-' — \^ ( 2 A 4- N — n'), ^'élimination de q entre les deux relations conduit à celle-ci:

( ?.-] ) . k{[j. — 2 m ) '— [X — 2 m' — /^ (N — îi').

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624 APPEiSDICE.

55. Pour dégager, dans la formule (27), les éléments géométriques, envisageons d'abord l'hypothèse A- = i . En ce cas, C et G se correspondent point par point. La variable t qui correspond uniformément aux points d'un cycle (G^) correspond uniformément aussi aux points du cycle (G). D'après le n*^ 9, N est l'ordre du cycle (G). Mettant alors n pour cet ordre, nous avons à prendre dans (27) tous les couples (G), (G') correspondants où (n — n^) n'est pas nul. En prenant ces couples, nous pouvons écrire

{JL 2 772 -h ^ (^ — 0 = (^^ 2 77l' H- \ (Vl' — l).

Mais, dans cette dernière forme, la sommation peut se faire, pour chaque courbe,, indépendamment de Tautre, pourvu qu'on n'omette aucun des cycles d'ordre différent de: F unité. Ainsi :

Le noTTibre ^ — 2 tu -\- ^ (/^ — i) se consente dans toute

co7^respondaiice unifoi^nie.

On verra plus loin que ce nombre est pair et a pour minimum — 2. On peut donc l'écrire i{p — i) :

Le nombre entier, non négatif, /?, s'appelle le genre de la cowohe. Deux courbes, qui se correspondent point par point, sont du même genre.

56. Prenons maintenant A" différent de l'unité. Lé nombre N est alors égal à pn, 7i étant l'ordre du cycle (G) correspondant à (G'), et p désignant le nombre des points de (G^) qui correspondent à un même point de (G). Pour donner à l'égalité sa forme définitive^ envisageons maintenantune seconde correspondance [x^ ,x") entre un point de G^ et un point d'une autre courbe G^', et supposons cette correspondance caracté-

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risée par les nombres (i, k"). Nous avons, en appliquant

régaiité(27)àc, cy, et à es G^

k" ( ^' — 2 ni!' ) " {i.^ — 2 772' + 21 ( P' ^^' — ^*^')-

La propriété essentielle des sommes ^ qui interviennent

ici consiste en ce qu'on peut les étendre à tant de cycles qu'on voudra, sous la condition de n'omettre aucun de ceux où l'élément de la somme n'est pas nul. On peut donc tirer des deux égalités cette autre

(29) k{^ — im) — k"{)y!'—im") — ^{fn!'~^n).

C'est là une , des formes qu'on peut considérer comme définitives, tous les éléments étant susceptibles de définilions simples. Voici, à cet égard, les observations à faire :

i^ Dans la formule (29), les courbes G et QI' ont entre leurs points une correspondance cjuelconque (A*, k")^ (n'^oS) ;

2*^ Les lettres n et n!' désignent les ordres de deux cycles correspondants (G), (G^^) sur ces deux courbes; chacjue point du cycle (G) ay sur (G^), des correspondants en nombre p, et chaque point de {G') a, sur (G), des correspondants en nombre f ,

57. Voici maintenant une autre forme de la même relation. Nous pouvons transformer (29) ainsi

A-(|i. — 2m) -^^^{^n— i) — k" {]y!' — im")

où chaque somme sera étendue aux mêmes éléments que précédemment. Mais, d'après (29), on peut les étendre à tant d'autres éléments qu'on veut. Pour chaque cycle (G) qui

S. ~ Courbes planes, (\o

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6m() appendice,

figure déjà dans ces sommes, prenons tous les correspondants (C^)' Comme on a \^p = /c, le second terme de la dernière relation devient /<^ X (^ — 0* Répétons la même transformation pour chaque cycle (G^) qui figure actuellement dans les sommes, et le quatrième terme devient //' ^ {7/ — 1). Étendons ces deux sommes V(/^ — i) et \ (/i'' — i) à tous les cycles (C) et (C) pour lesquels les éléments ne sont pas nuls. Il restera au second membre la somme ^(p'^ — p)

étendue à tous les couples (G) et (G") correspondants considérés, et cette somme se réduira à tous les couples (G) et (G^') pour lesquels (p'^ — p) n'est pas nul. Faisant usage de l'égalité (28), nous conclurons

Dans cette relation, la somme ^ (p^^ — ^ p) a la signification

suivante : a et a'^ étant deux points correspondants, à un point ^ infiniment voisin de a correspondent p points x'^ infiniment voisins de d\el à un point .r'^ infiniment voisin de a^ correspondent p^' points x infiniment voisins de a. Quand a et a'^ sont les origines de plusieurs cycles, on doit considérer successivement ces points comme appartenant à ces divers

cycles, pour faire la somme Tj (P' "~ P)* blette relation (3o), si remarquable par son extrême généralité, est due à M. Zeutlien.

Gomme on l'a observé précédemment, la correspondance peut avoir lieu entre les points d'une seule et même courbe. La démonstration précédente s'applique parfaitement à ce cas, et la formule (3o) donne

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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIÎ<llS. 6'>7

Le genre/?, se conservant dans toute correspondance point par point, se conserve par dualité. C'est ce qu'on vérifie par la formule (^9); en effet, si l'on écrit

on retrouve la formule (22).

En faisant usage des formules (3o) ou (3i ) dans des correspondances diverses, on peut établir par une voie toujours la même une foule de résultats concernant le nombre des points qui, sur une courbe, satisfont à une relation donnée, ou même concernant des groupes de points. Nous laisserons de côté ces applications pour aborder immédiatement une des questions les plus importantes qu'offre la théorie des correspondances, celle de la réduction des singularités.

58. Prenons les mêmes notations qu'au n^ 53, mais supposons que la correspondance envisagée soit caractérisée par les nombres (i; 1). Pour un cycle (C) nous avons un cycle correspondant(C) ; les coordonnées d'un pointde (C) se développent suivant les puissances croissantes de t, paramètre qui correspond uniformément, dans ce cas, aux points de (C) comme aux points de G). Ainsi qu'on l'a vu au n° 9, la condition nécessaire et suffisante pour que l'ordre du cycle (C) soit l'unité consiste en ceci : les développements des coordonnées Ui, 112, u^ doivent avoir la forme commune

dans laquelle les trois déterminants A/By — AyB/ ne sont pas nuls.

Quand l'ordre n' du cycle (C) n'est pas l'unité, cette condition ne sera pas satisfaite si l'on prend arbitrairement les trois polynômes u. Effectivement, si ces polynômes ne sont pas nuls à l'origine de (G^), leurs développements auront la forme A+B^"'+ ..., et le cycle (C) sera généralement

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d'ordre n' . On voit clairement que l'ordre de (G) ne peut être moindre que nJ ^ si les trois polynômes u ne s'évanouissent pas à l'origine de (G), en d'autres termes si h est nul.

Nous allons montrer qu'on peut former un polynôme u^ entier par rapport à x' ^ jkS et dont le développement, pour chaque cycle (C^) d'ordre n' ^ i ^ ait la forme

u =1 1^' {a , -\- bst~^ . , .),

les premiers coefficients as, bs-, ... étant donnés à volonté pour chacun de ces cycles.

59. Soit le cycle (Q) représenté par le développement de jK^ suivant les puissances croissantes de (x^ — ^'^), x'^ étant l'abscisse de son origine. Prenons, dans ce développement, l'ensemble des premiers termes jusqu'à un rang que nous allons préciser, et désignons cet ensemble par /^(^^),en sorte que le développement lui-même soit représenté par

la lettre F désignant le reste de la série. Le développement dey a /^Waleurs qu'on obtient touies en prenant partout une seule détermination de ^^, et en la multipliant par les diverses racines to^ de co^^^ = i. Les termes qui composent/ doivent être pris en assez grand nombre pour que fs{(^s^s) ait précisément n' valeurs.

Il peut exister d'autres cycles, ayant la même origine c[ue (C^) et qui soient représentés par des développements suivant les puissances de (x' — x[,)^ coïncidant avec le précédent dans un certain nombre de termes successifs. L'ensemble/ doit contenir, en outre, au moins le premier terme par lequel le développement/^ -}- F^ diffère de tous les autres.

Ceci fait, prenons un polynôme entier arbitraire en ^^, ^s(js), et formons la somme

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ÉTUDE SUU LES PO ï N T S S ÏNGU LI ERS. 629

appliquée à toutes les racines (x>s de Funité. Cette somme est rationnelle en y' et t^^ ; c'est donc une fonction rationnelle de x' et y, i'Vs{cc'^y). Pour chaque cycle (C^), dont Tordre diffère de l'unité, formons d'après la même règle une fonction rationnelle iVsy en prenant chaque fois cp^ indéterminé, et considérons la somme ç de toutes ces fonctions Wg. La propriété de cette somme ç^ qui va nous être utile, consiste en ceci : pour un quelconque (G^) des cycles précédents, le premier terme du développement de ç est fourni par la partie correspondante pp^.

Soit, en effet, a* le premier exposant de ts dans F^. Dans Vs-,

le terme /' /, — - a sa partie principale du desré — g*.

y~fs{ts) . .,

Tout autre terme, où ^^est multiplié par une racine de l'unité,a sa partie principale de degré plus grand ; car, d'après la première condition observée dans le choix de/, le dénominateur a sa partie principale de degré moindre que o-. Pour une raison analogue, la seconde condition, observée dans le choix de/, a pour effet d'assigner à la partie principale de chaque autre fonction ^r wn degré supérieur à — «t. C'est ce qu'il fallait prouver.

En prenant ^^ à volonté, nous aurons ainsi le développement de (^, pour le cycle (C^), sous la forme

Les coefficients a^, p^, . . . seront arbitraires en aussi grand nombre qu'on voudra, pourvu qu'on prenne le degré de cp^ convenablement.

Il suffit maintenant de prendre pour u le numérateur de la fraction rationnelle ç\ le développement de u, pour chaque cycle (C^), aura la forme demandée. Les coefficients a, 6, . . . et a, P, . . . se déterminent linéairement les uns par les autres. Donc asj bs, * » ^ peuvent être pris arbitrairement.