X.-|-)/== — min.de(S4-S

X — X' rzz max. de (S -f- 28^ ^ max. de (S' + 2S).

Les nombres s^s' ainsi choisis satisfont aux trois conditions requises.

Les nombres S etS^ peuvent être tous pris positifs; si l'on figure chaque couple S, S' par un point dans un plan, en donnant pour abscisse et pour ordonnée à ce point S et S', l'erisemble des couples (S, S') est figurée par divers points. Traçons alors une ligne polygonale tournant sa concavité vers l'origine des coordonnées, ayant pour sommets des points (S, S') et laissant d'un même côté l'origine et tous les autres points. Les sommets de cette ligne polygonale correspondent aux divers couples (S, S') qui sont susceptibles de rendre maxima Texpression Sv H- S'/i. Le sommet qui, pour une

Hosted by

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULM:î\S. 607

valeur donnée de -^ fournit le maximum est l'intersection ti

des deux côtés dont les inclinaisons sur l'axe des ^comprennent entre elles l'inclinaison dont le coefficient augulaire est

■ • Au cas où est le coefficient ansulaire d'un côté du

n II ^

polygone, les deux sommets de ce côté donnent tous deux le même maximum. C'est, comme on voit, la règle de Newton que nous appliquons ici. Le maximum de Sv -f- SOi correspond à celui de 5v + s^ n. Il résulte de cette analyse qu'on peut construire des covariants F pour lesquels l'application générale de la formule (2^7) oblige à distinguer, parmi les cycles d'une courbe, des catégories en nombre aussi grand qu'on voudra. Effectivement, prenons, en allant de l'axe des S vers l'axe des S', les coefficients angulaires des côtés successifs de la ligne polygonale; soient pour ces coefficients, changés de signC; les nombres positifs décroissants i.i,T2,T3j • • • correspondant aux côtés qui joignent les sommets successifs (SoS^', ),

(S^S;),(SoS:),(S3S;),.... Le maximum de ^ (^^-^ -^ s' a)

se composera des éléments suivants :

«^0 / '^0 + "^0 Z. ^^0 pour les cycles — >> ^i?

•^1 S '''1 "^ "^1 ^ ^^^ pour les cycles t^ > — > t,?

^- ^ '^- "^ "^^ ^ '^'^ pour les cycles ^^^ — ~>^à'>

et ainsi de suite. On peut cependant observer que le^ inflexions ordinaires et les rebroussements ordinaires donnent chacun un même élément, |c. Pour une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, la somme considérée est donc |c(r + p); d'ailleurs H est nul aussi dans ce cas, et la formule (27) se réduit à trois termes a [a -\- a' m -r le (/*-]- p).

Hosted by

6o8 APPE>DiCK.

48. De cette discassion résulte une conséquence importante : pour les questions où il s'agit de déterminer sur une courbe le nombre des points en chacun desquels a, lieu une relation donnée entre les éléments infinitésimaux de la courbe au delà du second ordre, les points singuliers ne peuvent être représentés par des équivalents en nombre limité, et dont la définition soit indépendante à la fois de la question particulière et de la courbe quon envisage.

Mais, si l'on particularise la courbe en restreignant le nombre des diverses sortes de singularités qu'elle possède, on peut obtenir des formules générales, les mêmes pour tous les covariants différentiels. Si, par exemple, on n'accorde à la courbe que des singularités ordinaires, on aura pour tous les cas la formule (24). Mais, tandis que cette formule (î^4) s'applique aux courbes quelconques, quand il s'agit de covariants du second ordre, elle ne s'applique plus qu'à des courbes particulières quand il s'agit de covariants d'ordre plus élevé.

Si même on veut se borner à des courbes sans rebroussement, on peut s'en tenir à la formule N = oj^jl -{- cj' m, qui est générale dans le cas où il s'agit de covariants du premier ordre, particulière quand il s'agit de covariants plus élevés. Mais cette dernière formule ne présente pas, comme la formule ('^4), l'avantage de contenir les singularités nécessaires^ c'est-à-dire celles qui existent forcément quand on envisage à la fois deux f «ures corrélatives.

49. Ces formules, d'application restreinte, portent cependant en elles un renseignement précis. Si l'on envisage une courbe sans aucun point singulier, on peut appliquer la seconde formule N = tojji. 4- to'm. Mais, en ce cas, on a ^=1 m{m — i).DoncN=, m(wm -f- to^ — w). Les points, dont cette formule donne le nombre, sont les intersections de la

Hosted by

courbe, du degré m, avec une courbe covariante. La formule nous fournit le degré de cette courbe. Ainsi, les points qui^ sur une courbe du degré m y satisfont à une même équation différentielle, sont à U intersection de cette courbe avec une autre , dont le degré est oj/?2 + to^ — -co, les nombres w et o)^ étant calculés comme au n^29.

Pour appliquer la formule (24) à une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, il faut calculer le nombre y. Or, d'après notre mode d'analyse, on trouve à cet effet le procédé suivant : substituez, dans le covariant, le développement

/ — jo -^^ix^ xç, y\ {x — x^f\'

Le degré, en (^ — ^o)> du premier terme est — - v.

Le nombre y étant ainsi connu, nous pouvons prendre la seconde forme (24), et supposer maintenant une courbe sans singularités tangentielles. Nous aurons alors m= ^.(m. — i), N =: pi [(o)^4- 3 y) ji. H- co ~ 0)' — ôy]. D'où cette conclusion : Les points qui, sur une courbe de la classe [x, satisfont à une même écjuation différentielle, sont les points de contact de cette courbe et des tangentes cjui lui sont communes avec une autre, dont la classe est

Exemples. — Prenons le covariant du n"^ 32. L'expression de Qi montre que ce covariant s'évanouit en chaque point d'inflexion (v = 2, /i = i ). Donc il contient le facteur D^ ce que le calcul direct permiet de vérifier. Pour le covariant, débarrassé du facteur D, les nombres co et w' doivent donc être diminués des nombres analogues, 3 et — : 3, relatifs à D. On a ainsi co= 12, to^ = — i5. Donc les points sextactiques d'une courbe de degré m sont sur une courbe eovariante, du degré 11m — 27.

S. — Courbes planes, 39

Hosted by

6ia APPKNDICfi.

La même expression de Qj donne, pour un point de rebroussement(v= i, /!= 2), — y = 4 — MjOuy^ 10. Donc les tangentes aux points sextactiques d'une courbe de classe [i. appartiennent à une courbe covariante de classe

Les deux exemples du n° 42 donnent ici ces conséquences : les points où une courbe de degré ?7i a des contacts du second ordre avec les coniques d'un réseau appartiennent à une courbe covariante du degré 3(m — i); les tangentes aux points où une courbe de classe p. a des contacts du second ordre avec ces mêmes coniques appartiennent à une courbe covariante de classe 3(ji. — i); ces nombres sont doublés s'il s'agit des coniques passant par un point fixe et bitangentes à une conique fixe ; et généralement pour une série de coniques à deux arbitraires, on a les nombres analogues 3 y ( m — i ), 3 y ( [J. — 1 ).

50. Nous allons maintenant prendre quelques exemples de la formule générale (26), relative aux covariants du troisième ordre et à des courbes quelconques.

Exemple 1. — Prenons le covariant G lui-même. Il n'y a qu'un seul terme, défini par les nombres a = a' = -y b = i ,

6*r=:/= — Le nombre des coniques ayant avec une courbe

des contacts du troisième ordre, et par rapport auxquelles un point donné est le pôle d'une droite donnée, ou encore qui louchent une droite donnée, en un point donné ce nombre est

N--Z: - (m -H[jO-h -"y {f^ -f-v) -{- II,

Application à la courbe

Hosted by

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS. 6ll

envisagée aun^33:m= [JL=5.Deuxcyclesv^7^,/^^ = 3,v^= 2, 71,3 = I , V3 = 2, ^ S (n + v) =: 4- Un cycle y = n=2,k=^ i, rir= I. DoncN== 10.

Application à la courbe x^r'^ = ^^+'7 :

N = 2(/? + ry).

Si l'on envisage l'équation différentielle des coniques ayant avec une courbe donnée des contacts du troisième ordre, cette équation sera du second ordre et son degi'é par rapport à D sera N. Nous reportant au résultat général établi précédemment (n'^ 43), nous avons cette conséquence : les coniques dont chacune a un contact du troisième ordre avec une courbe (niy jjt.) et un contact du second ordre avec une autre courbe (nti, [x^) sont en nombre

[^,{m 4- iK) -{-l^{n + V ) -H H] {3 m, -f- p,).

Exemple 2. — Pour le covariant F, nous allons prendre le premier membre de l'équation différentielle des coniques passant par un point et touchant une droite. Cette équalion étant compliquée, nous ferons le calcul sans la développer. En désignant par ^1,^2,(^3 les coordonnées du point donné, déterminons le3 coefficients de l'équation d'une conique par les équations

/•(l')=r rtjjP^ H- «22 ^2 + «^33^3 +-2 «i2^lt^2 H" 2 «23 ^2 ^3+2 «31 ('3 (^1 =1 O

puis

Formons, avec ces coefficients, ceux de l'équation taugentielle de la conique

^33 -=^11 «22 ^12' "^lâ ^=^ ^13^23 <^12«33? ••••

L'équation différentielle s'obtient en meltant dans l'équa^

Hosted by

6l2 APPENDICE.

tion tangentielle, les coordonnées de la droite. Toutefois il faut observer que les coefficients a/y contiennent tous un facteur étranger (^çuii'y ; on le vérifie aisément par le calcul, et la raison en est que la conique passant par un point ç et ayant avec une courbe, en un point donné ^, un contact du troisième ordre, se réduit à la tangente, si ç est sur cette tangente.

L'équation différentielle doit donc être débarrassée du facteur [vuu'Y^ sans quoi le nombre N que nous trouverions serait augmenté du double de la classe \k. Il faudra donc diminuer de deux unités le nombre (o calculé sur le covariant, tel que nous l'avons défini.

Par rapport aux indices de dérivation, chaque coefficient atj est du poids 6; le covariant est donc du poids 12. Diminuant ce nombre de deux unités, nous avons to = 10. Nous trouvons de même 8=16, par suite (0^= S — 20)=: — 8. Le degré 6, par rapport à la dérivée du troisième ordre, est évidemment 2. Il nous faut maintenant trouver les nombres qui caractérisent les divers groupes de termes. Mais, ne voulant pas développer le covariant, nous opérerons en substituant directement le développement relatif à un cycle

Les coefficients aij étant donnés par des déterminants, un raisonnement tout pareil à celui du n"^ 32 fait voir que les ordres de ces coefficients pour le cycle sont respectivement les suivants ;

^11? <^22j ^33) <^12j <^237 <^3lJ

2v — 2nj V — 2/1, 2v, V — 2/z, V — /^, 2v — n.

Il en résulte que, parmi tous les coefficients de l'équation tangentielle, c'est as 3 dont l'ordre est le plus petit, 2V — ^n.

Ce résultat, indépendant du rapport-? montre que, dans ce

covariant, il n'y a qu'un seul groupe {s^s') pouvant donner

Hosted by

ÉTUDK SUR LKS POINTS SINGULIERS. 6i3

le maximum de (^v + s' n). De celte analyse résulte

N=:: IO[X — 8/?2 + 211 4-^ {[\n-~ 2 V ) ;

en Combinant avec (22), on obtient la forme dualistique

N = m + {x-H V (az + v) --h 2H.

Ainsi les coniques qui ont des contacts du troisième ordre avec une courbe, et qui, en outre, touchent une droite et passent par un point, sont en nombre double de celles qui touchent une droite en un point donné. C'est une proposition connue dans la théorie des caractéristiques.

Exr.MPLE 3. — Le calcul précédent s'applique encore au covariant qu'on obtient en envisageant les coniques passant par deux points. Ce covariant est une fonction linéaire desa/y, tels qu'on vient de les trouver. On obtient ainsi la formule

N rrz i (m -f- 3 (x) 4- i ^ (/i 4- v) + H,

nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre, et passant par deux points. Corrélativement

est le nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre et touchant deux droites.

Le covariant dont il s'agit ici peut aisément être formé comme il suit. Soit au = o la droite qui joint les deux points, et soient bu'= 0, c^^ == o deux autres droites coupant la première aux deux points donnés y, p. L'équation d'une conique passant par y et [â peut s^écrire

où A, B,Esont les constantes à éliminer. Cette, élimination

Hosted by

se fait ainsi

cf-^

d'où, en effectuant les calculs,

{^lai')"^ {^uii')''"'{^^uy {iiii'u")

Quand [3 et y coïncident, on retrouve ainsi le covariant G sous la forme donnée précédemment. Pour l'équation différentielle corrélative, celle des coniques touchant deux droites Cm = o, bu = o^ en désignant para leur point d'intersection, on aura de même

qui donne encore G quand les deux droites coïncident.

Exemple 4. — Nous allons former un exemple dans lequel aient lieu effectivement les circonstances qui distinguent la formule (26) de toutes les précédentes.

Soit une courbe anliarmônique (K) donnée, et représentée par l'équation

dans laquelle auybw, Cu sont trois trinômes du premier degré en Wi, U2, Uz' Considérons les courbes anharmoniques (K'),

ayant le même exposant - , le même point singulier Cu = ûT// = o

avec la même tangente c« = o, et ayant en outre, avec (K)

Hosted by

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIEUF. 6l5

en ce point, le contact le plus élevé possible, quand d'ailleurs on choisit arbitrairement pour chaque courbe (K') le second point singulier et la tangente en ce point. Ges courbes (K') satisfont à une équation didérentielle du troisièniie ordre, que. nous allons former, et dont le premier membre sera le co variant que nous prendrons pour exemple. ^

Soit bu-\-^ciu-\-^Cu=^o la tangente de (K') au second point singulier, et soit au +^"cw = o la droite qui joint les deux points singuliers de cette courbe. L'équation de (R^) aura la forme

où le coefficient K est précisément le même que pour la première courbe, à cause de la condition relative au contact de (K) et (K^) au point singulier commun.

L'équation différentielle s'obtiendra par l'élimination de À, V, V,

Afin de bien préciser le calcul, introduisons les sommets du triangle de référence, en les désignant par a, [3, y et dénotant les coordonnées de chacun d'eux par la lettre correspondante affectée des indices i, 2, 3.

Supposons au-^bu-i Cu ainsi choisis :

Rappelons-nous aussi les identités

buctn' — a^bj = — (aj^Y) (TW"%

Ecrivons l'équation de (K') ainsi :

È^H X ^ + V =^ ià('^ Hh X") ' .

Dilférentiant une première fois et ayant égard à la pre-

Hosted by

:6l6 APPENDICE»

mière identité, nous obtenons

(a un')

(i^uii')

DifFérentiant de nouveau, en ayant égard à la seconde identité, nous aurons

Pour éliminer la dernière constante Y'^ nous n'avons qu'à résoudre par rapport au dernier binôme, puis différentier, ce qui nous donne

dt\

(^x^uY^uidn!')

^Kn«pT)]

Pour achever le calcul en développant cette équation différentielle et la mettant sous forme entière, nous n'avons qu'à introduire, comme il a été convenu,

■ (ap«)-^ "dt

Il vient ainsi, pour le co variant cherché,

Cette forme de F est entière si l'on a ^ >/>. Pour les autres cas, F prend la forme entière si on le multiplie par des puissances convenables de G et D; ce qui fait, en tout, trois cas à distinguer. Mais il est à remarquer qu'une seule formule suffît, comme on va voir.

Hosted by

GalcLilons la formule (26) dans l'hypothèse q>p* Nous trouverons

H\ ^ a ru Q

Vl P V2 p

D'après la définition du covariant F, on obtient le corrélatif par l'échange de p et q. En échangeant donc p et q^ m et [Ji, n et V; dans la formule précédente, on obtient celle qui convient au cas opposé, et qu'on pourra aussi calculer directement

iii ^ q n^ q

En supposant, dans la première formule, que la courbe (7?2, [Ji) soit elle-même une courbe anharmonique, caractérisée

Cf CI

par les nombres/?', q^, et admettant qu^on ait^^-? les données seront

m-~\kzi=i p' -\- q'^ II = 0, n^-=iq\ v^—y/; n^—p', V2 — ^'.

Il en résulte N = Zqq' + iqp' -{- pq' , Faisons l'application p=: p' z=z \^ qz=iq' z=zi]^z=i i^. Etant données deux cubiques de troisième classe, si l'on envisage les cubiques de troisième classe ayant avec chacune des deux proposées un contact du troisième ordre, en un point indéterminé pour l'une, au point d'inflexion pour l'autre, le nombre des cubiques considérées est égal à j8.

Ce dernier exemple fait bien voir que, pour les problèmes

Hosted by

6l8 APPENDICE.

dont il s^aglt, il n'y a pas d'équivalents, en nombre limité, aux points singuliers d'une courbe. Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion qui, pour les covariants du quatrième ordre et des ordres supérieurs, donnerait des résultats analogues, mais avec une complication toujours croissante»

Hosted by

ÉTLDE SUR LES POINTS SIxXGULlERS. 619