QUATRIÈME PARTIE
64. Nous allons étudier maintenant avec plus de détails les développements en série dont nous avons, au début de cette étude, introduit la notion. Soit donc un développement suivant les puissances ascendantes, à exposants positifs et fractionnaires de x ; soit n le plus petit dénominateur commun à tous les exposants. Considérons d'abord le premier exposant ^ et, le réduisant à sa plus simple expression, écrivons-le
t^=L—yq étant un diviseur de n et pouvant se réduire à l'unité.
Dans Jes termes qui suivent, laissons de côté tous ceux où Texposant a pour dénominateur q ou un diviseur de ^, et retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit ti^ ce premier exposant ; écrivons-le ainsi
^ Wi Les nombres ^i et q^ étant pris aussi petits que possible, ciq^ est le plus petit dénominateur commun à ^ et ^,, et gr, n'est pas l'unité.
Dans les termes suivants, laissons de côté ceux où l'exposant a pour dénominateur qq,^ ou un diviseur de qq\^ et retenons le premier qui ne soit pas dans ce cas. Soit t^ ce premier exposant; nous l'écrirons
En continuant de la sorte, nous distinguerons un dernier exposant
,o X s Si 5, Sj.
q qqi qq^q^^ qqiq-^'-qk
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et le produit qq^ qi » - * qk est précisément le dénominateur /2, commun à tous les exposants.
De cette manière, nous avons distingué dans le développement certains termes caractéristiques
Cl oc ^ CL Y oc \^^ (X^OC'^ij • . . Cl j^OC\^
dont les exposants sont donnés par la formule générale (32). Dans cette formule, les entiers positifs s^ q de même indice sont toujours premiers entre eux.
Par construction, l'exposant d'un terme quelconque, intermédiaire entre ceux d'exposants ti et ^/^j, a pour dénominateur celui de ti ou un de ses diviseurs.
Tous les exposants des termes qui suivent le dernier terme caractéristique ont pour dénominateurs n ou des diviseurs de n.
Les exposants t sont les exposants caractéristiques y les
s ' fractions — les nombres caractéristiques.
6S. Nous aurons besoin de considérer simultanément deux développements différents, mais ayant en commun un certain nombre de leurs premiers termes. Employons, pour ce second développement les mêmes lettres accentuées, et admettons que le premier terme différent de part et d'autre soit, pour j^,
pour y
K et l'un au moins des coefficients A et A' diffèrent de zéro. Voici, à ce sujet, la recherche que nous avons besoin de faire. Prenant une des déterminations de jk et successivement chaque détermination de y^ nous allons chercher l'ordre de la partie principale du développement de' chaque différence j' — y.
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Pour fixer les idées, soit cp l'argument de la quantité complexe x^ choisi entre o et tu, et admettons que la détermination, considérée pour y^ réponde à l'argument =
qqi . . . qii
pour ^'7'7i-. ^«
Nous obtenons une détermination de y en attribuant là encore à x l'argument cp, puis en augmentant successivement cet argument de circonférences entières.
Pour la première détermination de y^ la partie principale
de r — '■ y est du deerré tt -\ C'est encore le même
/ ^ ^ '^ qq,...qi
degré qu'on obtient en ajoutant à l'argument de x
ihqqi . . . qiiz.
L'entier h peut acquérir les valeurs
o, I, . . . ,{q'i+i. qU2 .. -q'/i'— i).
Soit g-i, q'i^^ . . , q'/,,z= Q] il y a Q dilïerences dont l'ordre
est ti -\ •
qqi.,. qt Ce résultat s'applique encore si tt -\ est l'expo-
sant caractéristique d'indice i-\-i, dans l'un ou l'autre des deux développements. En ce cas seulement, le nombre Kpeut n'être pas entier.
Quand on ajoute à oo l'argument ihqq^ . . . y/<'rr, en prenant h non divisible par qi on obtient, pour la partie principale dey — y'j l'ordre ti. De la sorte il y a Q(^/ — i) difïerences d'ordre ti.
En ajoutant à x l'argument ^hqq^^ . . , qi'^TZ^ h n'étant pas divisible par qi^ , j'ai Qqi{qi-\ — i ) dilTérences d'ordre ti 4 j e te . . . .
Enfin, en ajoutant à x l'argument 2/itc, h n'étant pas divisible par q, j'ai Qqiqi-i- - * q\{q — 0 différences d'ordre t.
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La somme totale des ordres des quantités jk — y' est ainsi
Wi " -qt j
ce cjiii peut s'écrire, en renversant Tordre des termes,
j--~-[sq{qiq.....qi)'^-^s,q,{g^q^..uiif-hS^q,^{q^q^,,.q '1 • • • qi
Prenons maintenant pour y successivement ses diverses
déterminations. Chacune d'elles conduira à ce même résultat.
Donc la somme totale S des ordres de toutes les quantités
{y — y') s'obtient en multipliant la précédente parç^^j . , . qk-
> — (<7/+i^/+2 • . . q/c){q'uzq'i+2 - . • q'k)isq{q^q^ . . . qiY-\- . . . -h 5/^7/ -h K].
Cette somme S est, comme on voit, symétrique par rapport aux éléments des deux cycles. C'est l'ordre d'un cycle par rapport à l'autre.
Si les deux développements n'ont aucun terme en commun, la somme placée dans les accolades se réduit à K.
66. Nous aurons à employer aussi une somme analogue obtenue en considérant les parties principales des différences y — y\ formées avec les diverses déterminations d'un même développement. L'analyse précédente s'applique fort bien à ce cas; et l'on ^ qn — i différences de l'ordre ^a, Çk{qk-\ — 1 ) différences de l'ordre ^a i, . . . , enfin
qk-qk-i "-qiiq — ^)
différences de l'ordre t. On a, bien entendu, considéré une même détermination y et toutes les autres jKi pour former
y—yi-
Le total est ainsi
7c — i)ik-^-qk(qk-i — i.)^A-i-H ... -i-qkqk-i .-.^iC^— 0^
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En multipliant cette somme par le nombre des diverses déterminations de jk et divisant par 2, on aura la somme T des ordres de toutes les différences jKi — JK2? formées avec les diverses déterminations d'un même développement :
iT — sq^cj.. . . g/,{qqi . . . q/c~-i)
En supposant 5 = ^ + y, et faisant
n-=.qq^... q,,, n' z=.qq^.., qtq,.^^ . . . q';„
nous pouvons partager les expressions de S et T chacune en deux parties, savoir :
6 et ^ ne sont autres que S et T où l'on a remplacée par-jç^. Si 7 est positif; les développements représentent des cycles tangents à Taxe des ^, J^f est là somme des ordres des contacts des branches de l'un des cycles avec les branches de l'antre; test la somme des ordres des contacts des branches du premier cycle entre elles.
67. La signification géométrique des nombres 6, ® montre clairement que les nombres caractéristiques sont indépendants des coordonnées. Cette propriété peut être aisément aussi prouvée par un calcul direct; mais nous ne nous y arrêterons pas, ce calcul étant très analogue à celui que nous allons faire pour un autre but : trouver les nombres caractéristiques en coordonnées tangentielles, étant connus les nombres caractéristiques en coordonnées ponctuelles.
Soient quatre développements suivant les puissances ascendantes d'une variable, et commençant par des termes de degrés positifs, ainsi :
f(œ) par aœ^,
yi(^i) par ai^i«.,
cp(^) par p^^ ^^ ^^^
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Considérons, d'une part, les équations
et, d'autre pan,
? =J{a^i) H-/i(^-,), -ni — ?(^i) H- Ti(.^)i.
Si l'on développe v) et y|i suivant les puissances croissantes de l par l'élimination de x et x^y les deux nouveaux développements auront en commun quelques-uns de leurs premiers termes. Cherchons le premier terme différent, ou mieux le premier terme du développement de v^i — */].
En supposant infiniment petites les quantités ^, ^^ , Ç, y), Tj , , on voit que la partie principale àe X\ — x est
celle devii — r\ provient ou bien de f(^0 — f(^)? ou bien de <p< {oCx) suivant les ordres infinitésimaux de ces quantités. Par suite, la partie principale de r\^ — r\ est Tune des deux quantités suivantes :
Si a s — a = b^ — 6, la partie principale est la somme de ces deux quantités^ pourvu toutefois que la somme des coefficients ne soit pas nulle : aoL^^ — boL^ ^^ o.
Appliquons ce résultat en prenant les développements proposés de cette manière. F(^) et Y^{x^) étant deux autres séries commençant respectivement par les termes Kx^ et Aj.a;/'^'^, prenons
^ . . d¥,{x,) . . , d FOr,)
S. — Courbes planes, t\\
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Nous aurons alors, pour la partie principale de v] ,
t \ tk^
68. Au moyen de ce calcul préliminaire, nous sommes en état de prouver que, si les nombres caractéristiques cVun cyclcy en coordonnées ponctuelles ^ sont
q q\ ^2 qk
le même cycle, en coordonnées tangentielles, a les nombres caractéristiques
X qi q^ qk
Prenons les coordonnées tangentielles comme au n"^ 0,
dx ' dx \x
Envisageons, comme précédemment (n° 66), deux déterminations du développement, y etjKo '^ seconde déduite de la première par addition de ^iqq^, , . qui'^ à l'argument de x. Prenant F(^)= jk, et pour le développement F^ prenant celui de y^ — y^ nous conclurons par le calcul précédent que, dans le développement dé 7| suivant les puissances de ç, il existe deux déterminations v), 7]^ dont la différence rj ^ — r,
a sa partie principale de l'ordre ? nombre qui est ici
X\ Wi qqiq^ qq,,..qi
X iqi ■ x^i^2 "* xqi-'-qi
Prenant successivement i=^ 1,2, ...,/:, nous concluons que le développement de 'r\ en \ contient les nombres caracté-
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ristiqiies énoncés. Le dénominateur commun à tous les exposants étant J^q^qi - * * ^k-, comme on le sait d'avance (n" 6), on conclut qu'il ne saurait exister d'autres nombres 'caractéristiques.
On peut de là tirer une conséquence relative au nombre uL (n"" 66). Prenant ce nombre et son analogue ^ en coordonnées tangentielles, on a immédiatement
2 (îi — ^) — (g — y ) ^1^2-.. qic ■=■11 — ^.
Cette égalité se traduit ainsi : La somme des ordres des contacts des branches d^iin même cycle entre elles et la somme analogue pour un cycle corrélatif diffèrent entre elles comme les demi-ordres des deux cycles.
69. Prenons maintenant deux cycles, comme au n" 65. Le calcul du n^ 67 fait voir que les développements relatifs à ces deux cycles en coordonnées tangentielles donnent lieu à deux déterminations dont les différences sont de l'ordre
